數學味:一個一線老師的應答

作為一線的老師，我對數學味也有一個從迷茫到清晰、從無意識到自覺的認識過程。在教學實踐的過程中，也曾產生過許多的疑問，做過不斷的調整，下面我就結合自己的教學來談談自己膚淺的體會。

一、低年級教的內容那么簡單，能有數學味嗎?

低年級的內容雖然簡單，但仍然可以做到充滿數學味。一方面簡單中可以見深刻；另一方面，知識可以是沒有難度的，但從具體到抽象的過程是可以經歷的，這個過程就充滿著醇厚的數學味。因為，在數學哲學層面上，任何的數學都肯定在量性特征方面經歷從具體到抽象的過程。

這是一節蘇教版第二冊的“認圖形”。其中要求學生擺三角形，請看兩種不同的教學處理：

案例1：教師給每紐學生發了紅、黃、藍3根小棒。要求小朋友用這3根小棒擺成三角形，學生很快就將三角形擺好了。坐正在那里等待老師表揚。

案例2：教師給每組學生發了紅、黃、藍、綠4根長短不同的小棒，讓小朋友從中任意挑選3根小棒圍成一個三角形，孩子們都選擇了紅、黃、藍3根小棒。

師：小朋友們為什么不選綠的那一根呀?

生：因為綠的那根太長了。

老師請學生到實物投影儀上演示，果然，綠的太長了，無論怎么擺，都不能和剩下3根中的任意2根搭成一個三角形。

師：看來，只有紅、黃、藍3根小棒才能手拉手圍成一個三角形。

同樣是用小棒擺三角形，案例1和案例2有著明顯的區別。案例1是由老師提供的3根小棒直接擺一個三角形，學生幾乎不用任何思考就可以完成任務，學生在這一過程中能得到鍛煉的恐怕只有手指小肌肉群的動作協調能力，而不是數學能力。， 而案例2則不同，從4根小棒中選3根來擺三角形，這就使得學生在活動過程中有了思維的參與，學生要經歷觀察、比較、嘗試才能完成任務?；顒訜o疑鋪墊了這樣一個數學事實：三角形的兩邊之和大于第三邊——但這僅僅是“暗示”而已，教學沒有跨越學生現有的認知水平，沒有拔苗助長，但是為學生提供了更為廣闊的發現空間。學生一邊擺弄，一邊還會有思維的萌動，他們會朦朧地感受到在問題情境的背后似乎還隱藏著某種奧秘，這就是暗香浮動的數學味。

可見。教簡單的內容并不一定味同嚼蠟。教師首先要提升自己的學科素養。站在數學學習發展的全局來看待教學。教低年級的老師要多接觸高年級的學習內容，教高年級的老師要多接觸中學里的內容。這種接觸，并不是要我們馬上將這些學習內容搬下來教學，而是讓我們站在一個更高的學科視野的高度，從而更好地把握當前的教學。打個最簡單的比方，如果老師不懂得加法交換律，那么他教低年級1+2=3和2+1=3，眼中看到的就是1+2=3和2+1=3。但是如果他懂得交換律，那么看到的1+2=3和2+1=3勢必不僅僅是l+2=3和2+1=3。由于看到的更多，他在教學中所傳遞的數學味會更加濃厚。

二、“統計”等生活味較濃的教學內容。怎樣更有數學味?

新課標教材中安排了許多跟生活聯系緊密的內容，比如統計。許多老師都認為“統計”是為了解釋生活現象、解決生活問題，其本身的數學性不強。其實我們同樣也可以讓統計在數學發現中大顯神威。

這是蘇教版第二冊的教學案例“統計”，教學的認知目的是要讓學生學會用符號來記錄所統計的事物。

案例1：每組4名小朋友圍在一起拋硬幣，要求學生一邊拋一邊統計正面反面朝上的次數各是多少。

案例2：每組4名小朋友圍在一起拋一個正方體，要求學生一邊拋一邊統計每個面朝上的次數各是多少。

案例3：每組4名小朋友圍在一起拋一個長方體，長方體按照面的大小不同，涂成了紅、黃、藍3種顏色，要求學生一邊拋一邊統計每種顏色朝上的次數各是多少。

其實，無論是拋硬幣、拋正方體還是拋長方體，如果就這一課的教學目標而言，都是可以達到教學目的的。當然，如果是拋硬幣，那么統計就只有硬幣的正面和反面兩個項目，項目嫌少了一些；如果是拋正方體，那么就要統計正方體6個面朝上的情況，項目又嫌多了一些：而長方體要統計3種不同的面朝上的情況，項目數恰到好處。

但是，更為關鍵的是拋長方體還有著更為重要的教學功能，學生統計出來的結果，也就是紅面、黃面、藍面朝上的次數，肯定會有差距。一般來說，紅面朝上次數最多，黃面其次，藍面最少，這就涉及概率的知識。暗示著可能性是有大小的；而為什么不同顏色的面朝上的次數有差別呢?那是因為紅面最大，黃面其次，藍面最小，這又涉及到長方體特征的知識。這樣同樣是拋物體做統計，不同的物體給學生展示的思維空間就不一樣，我們當然應該選擇一個為學生的思維提供廣闊背景的教學途徑。

數學來源于生活，這一點沒錯。可是生活是龐雜的，生活問題不僅僅是數學問題。這就涉及我們選擇怎樣的素材，這些素材既在生活中有一定的代表性，又對學生的數學認知發展產生著影響。上述案例中，拋長方體無疑是更有數學味的。因為它除了能達到統計的功用之外，還能產生新的矛盾沖突，激發起學生探求的欲望。作為數學學習的素材，我們除了要追求生活問題的“真實”，更要注重數學學習的“典型”。比如教學分數“解決問題”，說句實在話，這些問題都是“偽生活問題”，生活中會有人說“我喝了1/3升牛奶”嗎?但即使是偽造的生活問題，對學生理解數理關系仍然非常有價值，同時對他們今后理解復雜的生活問題也很有意義，所以它是典型的，是值得我們超越生活細節的真實而反哺生活整體的真實的。這種超越，說到底就是抽象概括的數學味。

三、“東南西北”等不像數學的內容。怎樣體現數學味?

國標教材中還有一些教學內容，比如“東南西北”、“觀察物體”等等，它們無需靠歸納、演繹、分析、比較來獲取知識和技能，看起來不太具備數學味，甚至有人認為這些內容不應該出現在數學教材里，而應該出現在社會、科學等學科的教材中。

對于這些教學內容，我們應該形成這樣的認識：首先，數學來源于生活，并最終服務于生活。數學素養是人的整體素養的一部分，我們不能因為它們不是典型的數學問題而將它們排除在外；其次，“生活中的任何問題都是數學問題”(笛卡爾語)，許多生活味濃的問題只要把握得當同樣具有數學味。

案例1：老師拿出幾張平面圖，反反復復地讓學生說這個建筑物在那個建筑物的什么方向，由此強化學生對“東南西北”的認識。

案例2：老師將教室的課桌擺成迷宮的形狀，給每位學生發一張“尋寶圖”。根據“尋寶圖”上的提示，先往哪個方向走，再往哪個方向走，最終找到“寶物”。玩好之后，每個學生再進行“藏寶”，并將自己藏寶的位置畫成平面圖，讓同伴來找。

從教學的效果來看，案例1的教學的確能很快地達成認知目標，但學生沒有經過獨立試誤的過程。也沒有經歷數學問題和生活問題的轉換，學生說到底還是通過死記硬背來學習的，根本就沒有數學味。

而案例2則是更為成功的數學教學。且不說它這種富有游戲色彩的學習方式能充分調動學生的學習積極性，讓孩子們既能學習知識，又能獲得快樂。就數學教學的本質而言，它也是遠遠勝于前者的。我們知道數學問題是對生活問題的提煉和概括，而只有將這個過程展現出來才是一個完整的數學化過程。案例2的教學遵循“從生活中來，到生活中去”的原則，學生首先要會辨別生活中的位置與方向，還要會辨認平面圖上的位置與方向，最后還要將二者結合起來，這其實就是“具體——抽象——再具體”的數學化過程。這賦予了數學真實的意義。而數學的意義，正是數學味的終極價值所在。

對于一個具有數學學科素養的老師，數學是無處不在的。他可以信手拈取一個例子來表達自己想要說明的關系。我就記得我上小學時候的老師最喜歡用吃餅來做例子講數學問題。他教加法時是講吃餅的故事，教減法時是講吃餅的故事，教乘法時是講吃餅的故事，教除法時還是講吃餅的故事。“吃餅的故事”像純數學問題嗎?根本不像。但我的老師照樣將它和數學靠在了一起?，F在想想，正是因為教學技藝高超，他將“數學”變了個法子哄我們吃了下去。

四、純計算的內容，怎樣教起來更有數學味?

計算教學固然少不了一定量的訓練，但是在算法產生的過程中，也是要經歷一番探索的。關鍵要看我們怎么來教。這和圖形的面積計算是一樣的道理，我們可以直接給學生一個計算公式，也可以讓學生經歷公式推導的過程。計算教學也同樣如此，可以直接告訴學生一個算法，也可以讓學生經歷算法的探究過程。二者的數學味肯定不一樣。

即使是同樣帶領學生經歷歸納算法的過程，不同的教學處理帶來的數學味也不一樣。以“小數的加減法”為例：

案例1：教師呈現了生活中幾樣商品的單價，讓學生以元為單位進行加減計算(即小數加減法)，發現不會做之后，轉換成以分為單位進行加減計算(即整數加減法)，再將結果轉化成小數。由此總結出小數加減法的計算法則。

案例2：教師同樣出示了相同的情境，先讓學生以分為單位進行加減法，復習整數加減法的法則，強調整數加減時要束位對齊；然后再用元做單位計算小數加減法，發現不能用末位對齊的方法進行計算，由此引發出問題：為什么小數加減法不能末位對齊?小數加減法里的數位究竟應該怎樣對齊?小數點對齊的意義是什么?經過層層遞進的剖析之后，最終得出小數加減法的計算法則。

應該說案例1也是有一定的數學味的。它至少有兩點可取之處：第一，引導學生將遇到的陌生問題轉化成已知的問題；第二，讓學生在已有經驗的基礎上進行自主歸納。但是和案例2相比，它還有明顯的不足，那就是它掩蓋了學生在學習過程容易產生的疑問和錯誤。換句話說。它只是為了迫切地求得一個結果，而把思維轉變的過程給忽略掉了。

案例2在保留了案例1的優點的基礎上做了進一步的開拓，它從一開始就制造強烈的認知沖突：為什么以前能夠順利解決問題的老方法遇到了新問題就行不通?解決新問題的途徑在哪兒?新方法和老方法究竟有何相通之處?學生在這個過程中不僅獲得了數學知識，還體驗了知識獲得的過程；不僅體驗到知識獲得的過程，還深刻地意識到怎樣實現認知的飛躍。這樣的教學怎能沒有數學味呢?

一談到計算教學，我們馬上想到的就是“簡單”、“枯燥”、“沉悶”。正因為如此，幾乎很少有人將計算教學拿來公開展示。可是，計算教學真的就沒有關注的價值嗎?在人類文明進程中，算術的發展占據了漫長的篇章。我們每個人對數學的思考都是從最簡單的“算術”開始的。事實上，只要我們認真揣摩，計算中同樣蘊含著豐厚的數學智慧，只是需要我們將它彰顯出來。

五、學生早就已經知道的數學知識。怎樣教才有數學味?

從某種意義上來說。數學追求的只是一個過程。數學和其他學科不一樣——比如語文學科，語文常常要求學生先預習，把第二天要講的課文先讀讀熟。而數學教學一般是忌諱讓學生事先預習的，因為如果學生知道了計算的公式，他們很可能就不再千方百計地進行探究，不再有“過橋”的沖動。這和看警匪片有點相似，假如觀眾早已知道謎底，故事就變得無聊了。

盡管我們不輕易暴露結論，但學生不是一張白紙，的確有很多時候學生早已知道結果了。比如還沒有教面積呢，學生就知道“長方形的面積=長×寬”了；還沒有教加法交換律呢，學生就知道“調換加數的位置和不變”了。

面對這種學生已經知道結論的現象，我們不能視而不見，更不能讓學生懂裝不懂，一切從零開始。我們能做的就是依據學生現有的知識經驗做進一步的數學化處理：由知其然到知其所以然(證明)，由不自覺到自覺(歸納)。

以長方形的面積為例，學生盡管可能已經知道了長方形面積的計算公式，可是他們卻并不一定知道這個公式是怎么得來的，也就并不了解這個公式的意義。這時我們就可以引導學生進行探究：為什么長方形的面積等于長乘寬呢?學生從觀察到動手操作再到不完全歸納，最終發現長方形的面積計算果然如此。

還有一種情況是面對學生已經知道的知識，我們可以由點及面、由特殊到一般來建構模型。比如加法交換律，其實學生在學前教育階段就有了加法交換律的意識，不過這些都是零散的、不自覺的前科學經驗，我們的教學目的就是使它系統化、模式化。在教學加法交換律時，我們可以先從幾個淺顯的例子出發，然后發動學生舉出不同類型的例子，發現沒有反例后可以歸納成“調換加數的位置和不變”。然后再由加法交換律聯系到減法、乘法、除法中是否也有交換律。至此，學生對交換律不僅有了一個更為清晰的認識，同時還經歷了一個“猜想——驗證——總結——應用”的過程，而這個過程正是所有的數學研究都要經歷的過程。就這樣，一個看似簡單的教學內容成了數學全程探究的演練場。教學也由此帶來了數學味。