重要的是“度”的把握

直到今天，頭腦中依然清晰地記得，在“走進圓的世界”一課以其美輪美奐的畫面、詩情畫意的語言以及悠揚抒情的音樂而博得一片叫好聲的同時，師父張興華老師丟下的那句刺耳的評價：“一堂好的數學課，真正打動人心的，還應該是數學本身的魅力和力量。除此，別無其他!”

對我而言，這是一次重要的提醒。并且，在隨后幾年的教學實踐與研究中，它始終成為我打磨數學課堂的一個重要尺度，即數學課堂究竟該如何向著數學本身挺進。數學味的回歸，正是其題中應有之義。

然而，一旦回到具體的教學語境，問題似乎就比想象的要復雜：撇開數學味是什么、數學味為什么等思辨層面的問題，僅就數學課堂如何去挖掘、呈現、彰顯數學內容自身的數學味，就有許多技巧或是實踐層面的東西需要我們去面對。事實上，在隨后自己所經歷的幾節研究課中，因為曾一一遭遇過，所以至今記憶深刻。

備“交換律”一課事出有因。同教研組有老師執教此內容，教學線索大致如下：由具體現實情境引出5+4=4+5，并引發學生形成猜想：“是否任意兩數相加，交換位置后和都不變?”進而引導學生通過舉例，試圖驗證猜想，并最終得出相應的結論。坦率地講，整個教學過程輪廓清晰，“猜測——實驗——驗證”的教學思路涇渭分明，探討的主要問題也基本在數學范疇內展開。但問題是，所有這一切是否已是數學課堂具備數學味的充分條件?尤其是課堂現場，當一名學生嘗試著計算247+678是否等于678+247而遭到同伴譏笑時；當舉例在不少學生心目中只是“依葫蘆畫瓢”，照樣子擺兩道交換加數位置的加法算式，在未經計算后直接畫上等號時；當一部分學生還沉浸在因給定時間內給出了多達十余個例子而獲得的快樂之中，而全然不顧這些例子其實只在同一層面上、意義并不大時……我們是否應該做更進一步的思考，即數學課堂上的數學味顯然不應該僅停留在表層，尤其是數學內容、數學方法及數學思想的實質等更里層的問題，應該成為我們探討數學味的重點。

從而，在試圖對本課進行重新梳理時，下述問題自然就成了我關注的興奮點：“由僅有的一個例子鼓勵學生提出猜想是否適宜?”“什么是數學上的不完全歸納法?”“對四年級學生來說，試圖用不完全歸納法獲得結論，舉出多少個例子比較合適?”“例子越多越好嗎?”“怎樣的例子是好的例子，怎樣的例子是不好的例子?”“舉例驗證猜想時，我們要不要關注反例?反例對猜想意味著什么?”進而，“舉例的過程僅僅是一個模仿與復制的過程，還是一個主動思考并進行試探與甄別的過程?”“經由不完全歸納法所給出的能不能算作結論?如果不算，小學課堂該不該引入必要的證明?”

應該說，上述思考正是對數學課堂內在數學味的一種更為深入的探尋與挖掘，其意圖也在備課過程中得到了同教研組不少老師的認同。然而，圍繞上述問題而展開的新一輪的教學實踐事實上并沒有獲得預期的效果。尤其是，某大型教研活動后，孩子們給出的如下質疑聲將現實與理想的巨大落差直接展現在大家面前：“其實，我本來覺得交換律還是挺簡單的，但上完這節課，我反而糊涂了!”一節基于對數學內涵有著深度開掘的數學課，為何反而使學生不知所云?課后交流時，評課者中一句輕輕的提醒讓大家一下子如撥云見日：“數學課堂深入挖掘數學內涵無疑是必需的，但如果試圖將教師所獲得的所有深刻理解都轉化為具體的教學行為，并經由這樣的行為使學生獲得同樣的深刻理解與體驗，這樣的企圖恐怕就有些不切實際了。說到底，課堂不應該是教師精湛數學功底的獨自或獨舞!”

一語中的啊!于是，第一次的嘗試雖因用力過猛而烙上了失敗的標簽，但收獲畢竟還是實實在在的：在具體的教學語境中，好的數學味一定還伴隨著必要的兒童視角和立場!

接著便是“分數的意義”一課的教學實踐。一節經典的老課。教學線索與理路也基本定型。但在試圖對數學內涵進行深入梳理時，不經意間卻被幾個小問題所梗住：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數是分數，這是分數意義的形式化表達，可這里的單位“1”究竟是什么?數學上，為什么我們把這些平均分的對象叫做單位“1”，而不是別的什么名稱，比如整體“1”或是對象“1”?稱其單位“1”究竟只是一種純粹的數學規定，還是另有其數學的合理性?進而，與百分數不同的是，分數既可以表示兩個量之間的倍比關系，還可以表示一個具體的數，用數學上的專業術語來講，分數既有其無量綱性，同時還具有量綱性。事實上，理解到這一點，對于未來學生更深入地理解分數的實質，以及對分數直接進行大小比較(不提供直觀圖的情況下)、分數和小數的互化以及理解分數乘除法實際問題的數量關系等，無疑具有重要的意義。然而，反觀各版本教材，在安排這一內容時所選擇的素材與呈現的情境，仍局限在“部分與整體的關系”這單一的維度，即分數的無量綱性上，分數始終只是在“把整體看作1時，其中的一部分如何用數學符號來表征”的情境下得以呈現的，而其所理應具備的有量綱性的一面，卻未能在具體的教學編排中得到相應的體現。事實上，由無量綱性向著有量綱性的跨越對學生來說是有一定的難度的，默認這種跨越可以自然而然地生成，實際上缺乏理論的支撐，在實踐層面也不具備說服力。此外，教材在編排分數意義這一內容時。似乎對如何更好地溝通分數、1及整數之間的關系也缺乏必要的關注，從而，“分數的意義”一課在許多時候還只停留在就分數論分數的層面，對于如何促進學生更好地形成有關數的整體認知圖景，還缺乏相應的實踐指導。

由此，筆者執教這一內容時，由對單位“1”的探討引入：先引導學生認識“1”這個數的包容性，即所謂“1個蘋果可以看做1，3個蘋果也能看做1，6個、12個蘋果同樣能看做1”。然后經由討論，使他們進一步理解到，一旦在某一語境下，我們將3個蘋果看做了“1”，那么，6個或12個蘋果通常就不再看做“l”，而應該看做“2”或“4”了。理由很簡單，3個蘋果既已看做“1”，6個蘋果中包含2個這樣的“1”，當然就是“2”，12個蘋果亦然。事實上，在上述情境及過程中，我們已然發現，3個蘋果所構成的“1”其實已經成為一個計數或計量的單位，此時，稱其為單位“1”已是順流而下的事，不再勉強。

進而，再通過引導學生經歷“把1個月餅看做單位‘1’，5個月餅可以看做( )，3個月餅可以看做( )：把一個月餅平均分成4份，其中的3份可以看做( )”的完整過程。這既豐富了學生對單位“1”的內涵的把握與理解，又有效地溝通了整數、1及分數之間的內在聯系，并使學生在結構性的框架中獲得“無論整數也好，分數也罷，其實都是以單位‘1’作標準計量后的結果——如果包含若干個單位‘1’，則可用整數表示；如果不足一個單位‘1’，則可根據把單位‘1’平均分的份數及表示的份數，用分數來表示”。分數意義的實質恰在這一過程中獲得了更為有效的建構。

進步是毋庸置疑的。和“交換律”相比，“分數的意義”一課盡管在深度開掘教學自身的內涵上仍與前者保持高度的一致，但后者在如何基于學生已有的知識經驗。通過必要的教學引導與策略促進學生獲得對數學的深刻理解上，還是與前者有著本質的不同。至少在某種意義上，數學沒有在課堂上成為教師唯一關注的東西，兒童的知識經驗、思維意趣獲得了足夠的尊重與關注。

然而，評課過程中仍有教師無情地指出：“深度固然讓人嘆為觀止，但課堂上，學生總有一種被教師牽引著去領略美好風光的意味。風景固然很誘人，但學生一路亦步亦趨，在教師精心設定的參觀線路上被動行走，如此這般，風景再美又如何?”想來也是!課堂本應屬于學生，回歸數學的同時，如果兒童永遠只是處于被動欣賞、感悟的境地，那么，這樣的數學內涵對學生而言，其意義與價值又有多大呢?

恰逢執教“平均數”一課。于是，決定重振旗鼓，在汲取經驗與教訓的基礎上，試圖在數學內涵與兒童立場之間找尋一種新的平衡。

作為反映一組數據整體水平的一種統計量，平均數與眾數及中位數既有相似之處，又有明顯的不同。無疑，如何將平均數置于統計的角度來審視，并努力開掘出其應有的統計意義與價值，當是這節課首要關注的問題。教材多采取“比較”的情境，由于“兩組人數不均的小組開展相應比賽，比總數不公平，所以應比平均每人的個數”，由此引入平均數。但在備課過程中，隨著思考的不斷深入，新的問題不斷涌現。首先，作為一個重要的統計學概念，平均數是否首先或主要地源自于比較的現實需求?事實上，就本人的視野而言，并無足夠的資料能夠對此做出正面的判斷，此處不贅述。其次，“平均每人投中的個數”和“每人投中個數的平均數”之間是否可以直接畫上等號?事實上，前者指向于將原始數據合并后重新分配，以使其變得均勻的一種動作。而后者則更側重于表示一組數據的整體水平的一種狀態。倘若如此，作為能夠代表一組數據的整體水平的平均數，其“代表性”如何能夠更好地為學生所理解與把握?再者，平均數既是統計學中的一個重要概念，那么，其誕生理應處于一個統計的活動背景之中，這是比較合理的一種預期，但事實上，不同版本的教材所呈現的問題情境，統計的意味似有似無，體現得都不夠充分。為此，設計教學時，我微調了教材中的情境結構。通過呈現如下的活動序列，將平均數重新置于統計背景下，并力圖還原其作為“一組數據的代表”的角色與身份，再現平均數的本來面目——

張老師和小明、小剛、小強進行一分鐘投籃賽，以每分鐘進球多少論勝負。

小明先投，結果一分鐘僅投中5個，他不滿意自己的成績，提出想再投兩次的要求。老師該不該同意他的要求?經過討論并最終獲得同意后，小明再投，結果第二、三分鐘均投中5個。此時引導思考：小明一分鐘究竟能投中幾個?用哪個數表示他一分鐘的成績比較合適?為什么?

小剛第二個出場，結果一分鐘投中3個，他會提出怎樣的要求?當征得同意后，他第二、第三分鐘分別投中4個、5個。引導思考：3次成績各不相同，用哪個數表示小剛一分鐘的個數比較合適?為什么?

小強第三個出場，3分鐘各投中3個、7個和2個。此時，又該用哪個數表示他一分鐘的水平?為什么?至此，在“移多補少”的直觀操作和“先合并再均分”的抽象算法的基礎上，揭示平均數，并幫助學生認識到平均數對于描述一組數據的整體水平的意義。

張老師最后出場，一開始便提出“水平不行，想投4次”的打算，如果是你，你會同意老師的請求嗎?在征得同意后，張老師前3分鐘的成績分別是4個、6個、5個，你覺得最后張老師會贏得這場比賽嗎?為什么?出示第四次成績(1個)后，學生再度討論：張老師贏了沒有?為什么輸了?如果最后一次投中5個或者9個，結果會怎樣?等等。至此，概念建立告一段落。

回顧上述環節，同樣是比賽的主題情境，但其根本立場和視角已然發生轉變。其一，由于相關數據是由同一個體所產生，求其總數顯然不具備充分的現實意義，而相對來說，從產生的這組數據中選擇一個或“另外創造”一個以代表這組數據的一般水平，對學生而言似乎更容易理解。事實上，筆者在三年級部分學生中所進行的訪談與相關實驗，已經支持了這一觀念預設。從而，對于平均數的產生而言，這更可以算是一個好的情境。其二，情境中大量充斥著“他想再投兩次，該不該給他這個機會?”“老師想多投一分鐘，行還是不行?”“你覺得老師最后一定會贏嗎?”“最后，老師為什么反而輸了?”這樣的問題，看似與平均數無關，但實則高度相關。僅以第一問為例，當小明一分鐘投完僅得5個時，我們究竟該不該讓他再投兩分鐘?試想，當學生最終通過討論與思維交鋒，同意小明的這一請求時，對學生而言，這究竟意味著什么?——投籃的次數并不是決定最后輸贏的關鍵要素，多次成績背后所呈現出的一組數據的分布、離散情況及其所反映出的一般水平，才最終決定著一個人的實際水平，并最終決定著他的輸贏。試想，經由這樣的思考、獲得類似的體驗后，學生如何能夠不對平均數獲得更為豐富的理解和把握呢?

不得不承認，同樣在對教學內容進行深入思考與內涵開掘后，本課選擇了以兒童能夠悅納的一種姿態介入——游戲、討論、對話、思辨。盡管教師于其中也有竭力想傳達和滲透的教學意圖和數學內涵，但他努力避開了抽象的說教和示范，而是選擇了以一種更具親和力、更富情境化的思維場域，讓學生在思考、交流的過程中去獲得相關體驗、領悟相關意圖、獲得某種建構。

從這一意義上來講，這是對前兩節課的一種超越。并且，這種超越還給我們的數學課賦予了一種新的啟示——那就是，具有良好數學內涵的課堂，一定是深入淺出的，它能夠將教師領悟到的深刻的數學理解以一種平和的、學生可以理解并悅納的姿態介入課堂活動，并努力在數學內涵與兒童趣味之間找到一種良好的平衡。

而這，不正是我們試圖發現并建構的兼具數學味與兒童性的好的課堂嗎?