關于小學數學課堂的數學味

數學是多彩的。“數學味”的內涵也是豐富的

施銀燕(北京第二實驗小學教師，首都師范大學數學系博士生。以下簡稱“施”)：王教授，您好!新課程改革之初，一些熱鬧而又走樣的數學課引起了老師們的反思，張奠宙教授曾告誡“當心‘去數學化”’，這一觀點得到了廣大教師的支持和贊同。“數學課要有數學味”成了老師們的共識。隨著實踐和思考的深入，大家對“數學味”的認識也發生了根本的變化：從起初關注教學內容是數學的還是非數學的“不要種了別人的田而荒了自己的地”。到如今關注數學的本質“把握數學教學的根”。可究竟什么是數學的本質呢?

王尚志(首都師范大學數學系教授、博士生導師，《普通高中數學課程標準》負責人之一。以下簡稱“王”)：我并不愿意給數學的本質下定義。可能有人認為這是可以給定義的，但我覺得最好還是不要這么“摳”，說數學就是什么，還是從具體的例子來討論問題可能更好。

施：對于這個問題。有些數學教育家從不同側面給出了回答。史寧中教授曾說“數學的本質就是分類”，梁貫成先生在一次報告中曾提到數學和科學完全不同。對于專家的觀點，我們應該怎么理解?

王：“數學的本質就是分類”這句話我猜測不是史教授的本意，有可能是很隨口的一句話，在當時語境下的有感而發。脫離了具體的語境談“數學的本質就是分類”未免有斷章取義之嫌。分類的確是非常重要的研究方法，但不是數學的專利。梁先生說“數學不是科學”可能想強調數學的嚴格性，但是因此而斷定操作實驗就不是數學的方法，我認為并不妥當。數學尤其是小學數學，可能就是依賴觀察、操作加上一些點到為止的說理得出結論的。說“數學是科學”或“數學不是科學”，說到底還要看你對數學和科學的定義如何，我想最好還是不要在文字上去做這個游戲。

施：聽了您的話，很受啟發。原來一直很困惑于羅素關于數學的定義“數學是這樣一門學科，在其中我們永遠不會知道我們所講的是什么，也不會知道我們所說的是不是真的”，現已釋然，大概這句話也是在特定情況下表達的某種特定的情感吧。可以這樣說，數學的內涵是多彩的，因此，對“數學味”的界定也是豐富的，不必在定義上過多糾纏。

數學味，重要的是學生對數學的理解

施：說到數學，就會提到數學語言的嚴謹性。我在剛參加工作時就知道這是一個不能碰的雷區：數學老師一旦用錯概念說錯話，便是“科學性錯誤”，因這一點就會“一票否決”。細細想來，覺得不少爭論不休的問題似乎沒多大意義。您能就下面的例子分析一下嗎?

例1 “描出圖形的周長”是錯的。因為周長是封閉圖形一周的長度，長度怎能描出來呢?所以某教材在周長一課中呈現的都是描一描(指一指)它的“邊線”。

例2“萬級的數位有萬、十萬、百萬、千萬”是錯的。因為“萬、十萬、百萬、千萬”是計數單位，“萬位、十萬位……”才是數位的名稱，二者不能混淆。(某地教研室編制的測試卷)

例3“等式兩邊同乘一個實數仍然相等”是錯的。因為等式的性質是“等式兩邊乘同一個實數仍然相等”，“乘同”和“同乘”含義是不一樣的。(人大復印資料《中學數學教與學》2009／1 P3)

王：我的想法還是不要過多地在抽象的問題上讓學生去做這些區別，應關注對具體問題的理解。線段和長度，某種意義上說原本就是一回事。數位和計數單位之間有著密切的聯系，在遇到具體的問題時學生也不會混淆。而在字面上進行機械區分而為難學生沒有多大意義。比如給一個多位數，十萬位上是3，這個3表示3個什么?學生能理解這樣的問題就可以了。“乘同”、“同乘”并不是數學上的什么概念。說“同乘一個實數”即“同時乘一個實數”，乘的自然是相同的數，不至于認為左邊乘2右邊乘3去。在這些問題上較真。會讓孩子腦子里充斥著與樸素認識相矛盾的東西，反而不利于他們對數學的理解。

施：不應拘泥于表面的文字，而應關注學生真正的理解!

王：對，要學會聽懂孩子們的“數學普通話”!學生沒有系統學過數學，也正因為如此，他們思考問題時也就少了一些條條框框，有時反而更容易接近數學的本質。拋開一些名詞、概念，重要的思想往往是相通的。我一直有個想法，就是孩子的想法，原則上一定是有道理的。不管在你眼里他是聰明的還是愚笨的，他可能沒我們看得那么遠，但是最近的一步往往是有道理的。能理解孩子樸素想法里可能蘊藏著的數學本質，在此基礎上逐步引導他學會講道理，這一點很重要。

“數學昧”不能靠簡單下放。而需要深度思考

施：課改賦予教師更多的“教什么”的自主權。實際教學中，我們還常看到不少課擁有十分華麗的尾巴——把一些中學甚至大學的數學知識或方法下放。比如小學里就講實數的連續性和有理數的稠密性，教學平行時談到黎曼幾何，往往這樣的課也因為“有數學味”得到大家的肯定。對于這一點，您怎么看?

王：有一點我們應該清楚，就是不見得老師知道的一定要讓學生知道。前不久我剛和老師們討論過小學的《確定位置》一課，老師們都舍不得放棄研究一條直線上各點或一個三角形各定點數對的特點這個環節，甚至還有老師提要滲透直線的斜率等，我想說，就一個特殊圖形做文章這是以后會處理的事，沒有必要在剛接觸坐標時蜻蜒點水地做。確定位置最重要的是什么?應該是對參照點、方向、單位的體會!用數對刻畫位置，是實現空間有序化結構化的基礎。這是我們要重點做的文章。我們的認識可能有一些誤區，我們往往崇拜高深的，欣賞簡潔巧妙的，其實重要的思想方法往往能以極其樸素的形式表達出來。

施：蜻蜒點水般把中學數學中的某些知識在小學課堂中走一遭不是好辦法，教師要下的工夫應該是怎樣在簡單中顯深刻，淺顯中見經典。您能再舉一些例子具體談談嗎?

王：最近幾年我和小學老師有些接觸，我們會討論一些具體問題，挺有意思。

比如估計。它是本次課程改革特別加強的內容。小學階段，大家比較認同地把“估計”分為3種類型：計算“估計”(簡稱為估算)、測量“估計”(簡稱為估測)和數量“估計”(簡稱為估數)。我們可以看出，它們是依據“估計”對象和內容的不同劃分的。但是從數學的角度看，這3種“估計”類型擁有共同的特點，例如：都需要首先確定數量級(或單位)；結果的正確與否都需要評價者給定誤差范圍才能確定；結果的正確與否與實際情境密切相關等。所以這樣的分類對估計的數學內涵的認識沒什么實質的幫助。在“估計”的數學本質沒有闡述清楚之前，就想討論估計的策略、技巧等可能意義不大。我們不妨結合實際案例來分析，如我們常常見到這樣的題目：估算24，82x48的結果。但是這樣的估算題目并沒有對結果的誤差范圍作要求，所以我們可以進行以下幾種“估計”：一是利用四舍五入法取近似數，把原算式變為20x50。從而估計出結果的數量級為10³；二是將24.82和48都往大估，把原算式變為30x50確定出1500是原計算結果的一個上界。再將24.82和48都往小估，把原算式變為20x40確定出800是原計算結果的一個下界，這樣就確定出原計算結果在800到1500這個區間中。我們還可以在此基礎上，不斷縮小誤差范圍，求得更佳近似值。再如要估計一座15層樓的高度約是多少米，可以以自己的身高為基準量，估計出每一層的樓高約是多少倍的身高，再推測整個樓的高。這里最重要的是選定“估計”的單位，這些單位可以是科學中已經規定好的單位，如“厘米、千克”等，也可以是自己規定的單位，如剛才我們把自己的身高當作基準量。從上面分析可以看出，“估計”中包含的數學內涵有“界、單位、數量級、誤差與近似”，而這些則是我們從小學到大學的數學學習中反復出現、貫穿始終的數學思想和方法。顯然從這4個不同維度再去審視估計，比“估數、估算、估測”更能反映數學的本質。

施：您的分析讓我們很受啟發!很多時候由于我們自身數學修養的欠缺，不能站在更高的層次來審視小學數學。可能我們最急需的還是加強學習，您能給我們提些建議嗎?

王：我覺得單純的學習不一定有效。不少老師有這樣的經驗：上大學學了高等數學，忘了中小學數學，回到中小學又徹底忘了高等數學。關鍵還在于深度的思考，從整體上去把握數學課程。我讓我的學生思考，在小學(或中學)數學里，最重要的是什么?有哪些主線?我和學生有這樣的共識：凡是反復出現的必然是重要的!我們要清楚，教材呈現的是線性序，但孩子的認識不一定是線性序。比如，四則運算，教材呈現的是加、減、乘、除的順序，但是一定要學了加法后才能學減法嗎?減法也可以由“倒著數數”過來。多一些這樣基礎性的思考，就多了講道理的可能。再如，教材都是先安排字母表示數，然后才有方程。但是不學字母表示數就不能學方程嗎?我并非要抹殺字母符號的作用，或說教材必須調整順序。我想如果能換一個角度思考，你可能更容易發現孩子代數思維的萌芽并加以適當的引導。如何引導學生觸摸數學的本質

施：您從具體數學知識中談應突出的數學本質。很親切。而把對數學的認識轉化成實踐智慧又是很重要的一環。您可否也結合案例，從數學的角度，對我們教學的實施給出一些具體的分析和建議呢?

王：就從頗有爭議的“雞兔同籠”說起，如何?

案例：

問題：1支鉛筆4元，1支鋼筆7元。用46元正好買了10支筆，怎么買?

方法1嘗試調整：

生：我先試試吧。看看買5支鋼筆和5支鉛筆要多少錢。5x7+5x4=55(元)錢不夠了，這么買不行。

師：錢為什么不夠了?看來是什么買多了?

生：鋼筆買多了。

師：為什么鋼筆買多了，錢就多了?

生：因為鋼筆貴。

師：那么下一步該怎么辦?應朝哪個方向試?

生：鋼筆少買些，看看4支鋼筆，6支鉛筆行不行。4支鋼筆，6支鉛筆共52元，還比46元多。鋼筆還應再少一些。試1支鋼筆9支鉛筆共43元，錢比46元少了。

師：這么看來。正確的結果一定在哪里?為什么?

生：……

方法2窮舉列表、方法3假設推理、方法4代數方程(略)

王：4種不同的方法，其反映的數學本質不相同，在以后的數學學習中作用也各不相同。

我曾經在北京、天津兩地做講座時詢問過老師，結果小學老師有95％以上喜歡假設法，初中老師則100％喜歡方程。方法1和方法2因為繁瑣原始、不夠高級而讓大家不屑。而如果跳出中小學數學來看，方法1和方法2有著非常重要的價值。

嘗試是數學里解決問題的基本思路。在中小學可舉出大量依賴嘗試解決的例子。比如，減法是加法的逆運算，我們都是學會了加法才學減法，求15-8=?我們會想8+?=15。通常我們的教法是強化加法，加法練得極其熟練，熟到看8+?=15就能脫口而出7的程度。實際上這個問題完全可以讓學生去嘗試。我可以先試著8+(10)=18，結果比15多，說明加10加多了，那么再試著加一個小一點的數，8+(5)=13，結果小了，由此一定能確定要加的數一定在5和10之間，這樣就可以縮小范圍再試，經過有限次的嘗試，一定能找到結果。這個過程比純粹為了記住一個得數的訓練要有意義得多，學生對加法的一個最基本的性質有了體驗，即加得越多，結果就越多。不提函數思想，也不用說單調性，這不就是具體的滲透嗎?

施：嘗試還能用在其他領域嗎?

王：再如求不規則圖形的面積，可用方格紙覆蓋分別求出過剩近似值和不足近似值，不斷地細分方格，就能越加準確。這個過程也是嘗試。再往后，解微分方程都是試，可以說從微積分往后，只要是需要算出值的問題，一定需要嘗試。嘗試可以說是數學上最重要也最基本的方法，它突出的是極限、逼近的數學思想。

施：那么窮舉法的價值又體現在何處?

王：窮舉列表也是重要的，因為它的背后就是分類。分類列舉的過程是有道理的：又有鉛筆又有鋼筆。先定鉛筆，再定鋼筆。也就是說有兩個決定因素時，先定一個，再定另一個，這與所謂的代入消元，其實是一回事。定鉛筆時，從0數到10，又可以加深學生對自然數的理解。學生有了思路之后，引導他們列表表示，這也很重要，把數學里的一個東西怎么表達清楚，這也是很重要的一件事。

施：假設法一直是小學里非常推崇的一種方法。它的本質體現在何處?為什么說它有局限性?

王：假設法把道理講清楚，可以促進學生對除法中對應關系的理解，1支鋼筆比1支鉛筆貴3元，一共多了幾個3元，就要少用幾支鋼筆。但假設法有它的局限性。如果說方程可以解決一批問題，那么假設法實際只能解決形如x+y=cl，ax+by=c2這樣的方程組解決的一小類問題。從這個意義上說，嘗試、列表、方程等方法應該是我們重點關注的通性通法。而方程可能不易被學生理解，所以一方面借助生活(具體的文字表示的數量)降低其難度，另一方面在孩子沒到這個水平時千萬不要強加，我想在小學高年級有可能實現。

施：實際教學中，不見得各種方法都呈現。而是要視學生的生成而定。

王：這一點很重要，應該尊重學生的想法，是在學生自然產生的樸素想法上的提升。無論是哪種方法，都要講道理，但道理只要達到學生認知上能觸及的嚴格就可以。基于學生自己的認識，又突出數學本質的方法，學生就能講出道理來，這樣的方法才真正留得住并具有生長性。