數,科學的語言

基礎數學的教師應該站在更高的視角(高等數學)來審視、理解初等數學問題，《數，科學的語言》對從事數學學習和數學教育的廣大讀者具有啟示作用。

伯特蘭·羅素在自傳中回憶:“有一條小路，穿過田野，通向新南蓋特，我經常獨自一人到那里去觀看落日，并想到自殺。然而，我終于不曾自殺，因為我想更多地了解數學?！笔郎暇褂腥绱蓑\地皈依數學的人。

“羅素一定是瘋了，天才就是瘋子!”在我讀過《數，科學的語言》之后，我自己瘋了。一下子從書店捧回了10本《數，科學的語言》，花了我15.5元，要知道那時的月工資才30元。1985年，我有幸成了此書中譯本的第一批讀者，而且是最虔誠的讀者，我前后讀了不下10次。

日前，想找《數，科學的語言》出來看看，竟然連1本也找不到了。10本啊，連同我原先的1本，25年間，被我陸續送給了學生。正著急時，我想到了網絡。不到10分鐘，就下載了它的電子版本。在網上我搜到了2個版本，商務印書館1985年的版本和上海教育出版社2000年的版本，均是蘇仲湘在1949年前譯出的。但由于種種原因，被耽擱下來，直到1985年才出第一版。

本書作者T·丹齊克，原籍為沙俄統治下的立陶宛，后入美國籍，先后在哥倫比亞大學、馬里蘭大學等校講授數學。T·丹齊克非常擅長將嚴肅的數學面孔變得生動。打開目錄:第一章“指印”;第二章“空位”;第三章“數話”……從章節的標題，您甚至看不出是一本數學讀物，如將標題數學化:第一章“談數的語言起源”;第二章“談數的位值原則”;第三章“談整數”……如果這樣，我相信一定能嚇走幾萬讀者。語言的生動更是隨處可見:“無論怎么說，笛卡兒幾何也不會是無母的孤兒。而我更可以幽默地說一句，笛卡兒的概念不但有一位令堂——即希臘的幾何，而且還有一位孿生昆仲?！?/p>

讓我們的視線聚焦到第一章“指印”。原文的表述非常精彩，從人和動物的數覺開始談起。所謂數(shù)覺，就是不通過數(shǔ)，一眼看出物體的多寡。像人的數覺很少能超過四的，一般只能達到三。比如四個物體或五個物體，人的數覺很難進行區分，而是通過將之分成兩堆:2和2還是2和3來區分是四還是五。書中還介紹了鳥類的數覺:“鳥巢里若有四個卵，那么可以安然拿去一個;但是如果拿掉兩個，這鳥通常就要逃走了。鳥會用某種奇怪的方法來辨別二和三?！?/p>

除此之外，書中還有許多有關數覺的趣聞。書中寫道:“一種比鳥類高強不了多少的原始的數覺，就是產生我們數概念的核心。毫無疑問，如果人類單憑這種直接的數覺，在計算的技術上，就不會比鳥類有什么進步。但是經歷了一連串的特殊的環境，人類在極為有限的數知覺之外學會了另一種技巧來給他幫忙，這種技巧注定了使他們未來的生活受到巨大的影響。這技巧就是計數，并且，正是由于有了計數，我們贏得了用數來表達我們的宇宙的驚人成就?！?/p>

要計數就得有計數的基底，是選擇十進制、八進制還是十二進制，書中作了有趣地分析:人類采用十進制乃是一種生理上的湊巧，或是因為人有十個指頭，或是因為人是十月懷胎。并指出:“設想要是人類沒有屈伸自如的手指，而只有兩只‘不分關節’的禿拳，整個文化史會成什么樣子，這是一個有趣的問題。在這種情形下，假如最終也會發展出某種計數法的話，它很可能是二進制的?！?/p>

但如果讓一群專家來選擇基底的話，十根本不會被考慮，數學家要選用素數做基底，如七或十一;而實用家則會選擇因數多的數做基底，如十二。雖然十是舉世公用的基底，而在大多數的度量衡中，都有著以十二或它的倍數為基底的單位。如一年12個月，一天24小時，一小時60分鐘，一周角360度等。

本章的最后一段:“從文化史的觀點來看，改變數制的基底，即使可行，也是極不受歡迎的。只要人類一直用十來計數，他的十個手指就一直會使他意識到，他的精神生活的這一最重要方面，也起源于人類自身。因此，就讓十進制作為下述名言的見證而永存下去吧:人是萬物的尺度?！?/p>

窺一斑而見全豹，我不打算用介紹第一章的方法繼續下去，而要留下更多的時間和空間，讓您直接去書中遨游，下面幾個看點不要錯過。

一、詩一般的開頭

全書以昂利·彭加勒的“源頭茫昧雖難覓，活水奔流喜不休?！遍_始，又以這樣一段結束:“聰明人重新拾起他的活計，紡織著今天的幻想，它可能成為明天的現實，同時，他向遙遠的山峰投以最后一瞥，在這些山峰之后，思想的源頭消失了”。

不僅整本書這樣安排，每一章節的開頭都有一段貼近內容的名言或詩歌。第四章“最末一數”，開頭:“說過一遍的話，可以永遠重復”。說明數學上的無限概念。第六章“不可說”，開頭:“上帝創造了整數，其余都是人類的作品”。談代數數和超越數的發現。第八章“演變之道”，是尼采的一句話:“我們來計算，不需要更多的假定;但要我們能夠計算，就必須先行作出假定”。第11章“無限之解剖”，引用康托爾的一句話:“數學之精髓在于它的自由”。

二、活靈活現的人物

在文學、藝術領域，雖然我們不知道莎士比亞為什么要寫十四行詩，而沒有寫菜譜，凡高為什么要畫油畫，而沒有畫廣告畫，但我們知道他們是偉大的。在數學領域，同樣存在偉大的人物創造了偉大的定理。本書給我們呈現了許多活靈活現的人物，總計不少于150個。我們暫不說偉大的歐幾里德、阿基米德、歐拉為數學殫精竭慮，單說數學中的兩個“憤青”阿貝爾和伽羅瓦。書中寫道:“最奇怪的是阿貝爾和伽羅瓦兩人的性格和外表如此相異，居然會對同一問題感興趣，而且用了相似的求解方法。二人都從五次方程入手，都相信用方根求解是可能的;當時阿貝爾年齡十八，伽羅瓦年齡十六?！彼麄儾坏昝赖亟鉀Q了五次方程問題，更重要的是開辟了數學中的一個重要分支:群論。

他倆的故事到這里結束已夠精彩，但還遠沒有完結。翻開近世數學的教科書和專門著作，阿貝爾這個名字是屢見不鮮的:阿貝爾積分、阿貝爾函數、阿貝爾群、阿貝爾級數、阿貝爾極限定理等等。很少幾個數學家能使自己的名字同近世數學中這么多的概念和定理聯系在一起。然而他卻只活了短短的27年。損失難以估計，正如埃爾米特所說:阿貝爾留下的后繼工作，夠數學家們忙上五百年。最可悲的是，在他生前，他的才能和成果并沒有得到公正的承認。

伽羅瓦更是短命，只活到21歲。伽羅華死于一次決斗，一說他是政治上的激進分子，另一說他是為愛情而決斗。在決斗的前夜，給朋友寫信，倉促地把自己生平的數學研究扼要寫出，并附以論文手稿。他不時的中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時間，我沒有時間”，然后又接著寫下一個極其潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，為一個折磨了數學家們幾個世紀的問題找到了真正的答案，并且開創了數學的一片新的天地。他被公認為數學史上幾個最具浪漫主義色彩的人物之一，他的死使數學的發展被推遲了幾十年。

三、充滿哲學思考

幾乎每一章節都有一些發人深思的問題。第四章“最末一數”:“無限的概念雖然不是由邏輯或經驗強加給我們的，但它卻是一種數學的必然。那么，當一個動作一旦可能，我們的心靈就能夠設想這個動作的無限次重復，這種心靈的背后究竟是什么呢?”尤其是第十二章“數學的實在性”，完全就是一場哲學大討論:數的觀念和我們感官所得的實在性之間的關系。要說懷疑無理數的實在性的話，因為它涉及到無限算法，那連同自然數都值得懷疑，因為自然數是建筑在加一可以重復無限次的假定之上的。

甚至“一”也可以看作無限數列1/2，2/3，3/4，4/5，5/6，……中的最末一個數，怎么也繞不開這個無限。正如希爾伯特在紀念維爾斯特拉斯的有名演講里所說:“無限啊!從來沒有別的問題這么深刻地打動人類的精神;也沒有別的觀念這么有效地刺激起人類的智慧;然而也沒有別的概念能像無限概念這么需要澄清……，當我們開始討論無限的精髓是什么的時候，我們必須首先使自己明白無限在實在性上的意義……”由此，他繼續談到現實中不存在無限可分的均勻連續統，數學只是假設了這種實在性。本書最后指出:“數學的概念如何來審查呢?它是不受審查的!數學是最高審判官;它判決之后，再不能上訴了?！?/p>

書中看點不斷，當您讀完全書，一定會與希臘評注家普羅克洛斯產生共鳴:“這就是數學:她賦予自己的發現以生命;她令思維活躍，精神升華;她燭照我們的內心，消除了我們與身俱有的蒙昧與無知”。

(作者單位:江蘇南通師范二附小)

責任編輯李淳