由一道選擇題引發的思考

在七年級數學《中學生學習報》上有這樣一題:已知x-y=4，x+y=7，求x+y的值。學生各抒己見:

學生甲認為:易得x=y+4，所以y+4+y=7，

當y>0時，y+4+y=7，y=1.5 x=5.5 x+y=7

當0>y>-4時，y+4-y=7，無解

當y<-4時，-y-4-y=7，y=-5.5 x=-1.5

x+y=-7

所以x+y=±7

學生乙這樣解:因x-y=4>0，所以分三種情況:

(1)當x>0，y>0時，x+y=7

(2)當x>0，y<0時，x-y=7與x-y=4矛盾

(3)當x<0，y<0時-x-y=7，x+y=-7

所以x+y=±7

某老師說:易得x=y+4所以y+4+y=7即在數軸上找到y+4=0(y=-4)和y=0這兩點的距離和為7個單位的點。

分三種情況，

(1)A、B的左邊，AC+BC=7，即2AC+AB=7，而AB=4，所以AC=1.5 C為-5.5即y=-5.5 x=-1.5 x+y=-7。

(2)A、B之間 因AD+BD=AB=4≠7，所以不可能。

(3)A、B的右邊，同(1)得BE=1.5，即E為1.5，y=1.5 x=5.5 x+y=7

由此我聯想到了2008年樂山市第27題，閱讀下列材料:

我們知道x的幾何意義是在數軸上數x對應的點與原點的距離;即x=x-0，也就是說，x表示在數軸上數x與數0對應點之間的距離。

這個結論可以推廣為x1-x2表示在數軸上x1，x2對應點之間的距離。

例1.解方程x=2，容易看出，在數軸上與原點距離為2的點的對應數為±2，即該方程的解為x=±2

例2.解不等式x-1>2，如圖1，在數軸上找出x-1=2的解，即到1的距離為2的點對應的數為-1、3，則x-1>2的解為x<-1或x>3。

例3.解方程x-1+x+2=5。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與1和-2的距離之和為5的點對應的x的值。在數軸上，1和-2的距離為3，滿足方程的x對應點在1的右邊或-2的左邊，若x對應點在1的右邊，由圖2可以看出x=2;同理，若x對應點在-2的左邊，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3

參考閱讀材料，解答下列問題:

(1)方程x+3=4的解為 ;

(2)解不等式x-3+x+4≥9;

(3)若x-3+x+4≤a對任意的x都成立，求a的取值范圍

解:(1)x=1或x=-7;

(2)x-3-x+4≥9看成數軸上x點到-4，3兩點距離和不小于9。等于9時，x=-5或4，所以x≥4或x≤-5;

(3)x-3+x+4，即-3，4距離=7，a要大于x-3-x+4的最大值，所以a≥7。

看來舉一反三，真是美不勝收。

作者單位:四川犍為縣龍孔中學