例析高考數(shù)學情景題

摘 要：高考改革正在全國各地穩(wěn)步推進，這從近幾年的高考數(shù)學試題中也可以看到，每年都有一道涉及實際應用或有實際生活背景的數(shù)學應用題。這些情景應用題有利于引導中學數(shù)學的教學健康發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學的工具性﹑實用性，引發(fā)學習者更全面地認識數(shù)學，學好數(shù)學。高考應用題的背景大多來源于現(xiàn)實生活，尤其是當年的熱點事件，體現(xiàn)了學以致用的原則，為此本文將以實際情景為背景，從高考數(shù)學的概率、圓錐曲線、三角函數(shù)、函數(shù)基本性質(zhì)、數(shù)列方面等知識點舉例說明。供大家參考。

關(guān)鍵詞：情景 應用題 高考數(shù)學

一、概率方面

例12010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）。

A.36種B.12種C.18種 D.48種

解小張和小趙中至少有一個人被選派參與工作，當僅有一人被選派參與工作時，不同的選派方案共有CAA=24種；當兩人同時被選派參與工作，不同的選派方案共有AA=12種。所以選A。

二、圓錐曲線方面

例22010年上海世博會場位于南浦大橋和盧浦大橋之間，沿著上海城區(qū)黃浦江兩岸進行布局。號稱“世界第一拱”的上海盧浦大橋近似為拋物線形狀，跨徑達550米，主橋長750米，寬28.75米，設6車道，在大橋拱頂部最高點將建有一長20米﹑寬13米﹑高2米的觀光平臺。游客可由橋頭堡處的電梯直達50米高的橋面，隨后步行一段人行道及延長190米的300余級臺階拾級而上，至觀光平臺。試問：游客在觀光平臺上飽覽浦江美景時，離江面高達多少米？

解以大橋所在的拋物線的頂點為原點，水平直線為x軸，建立直角坐標系。若設拋物線頂點到水面的距離為50+h，依題意得：拋物線上的點A(275，-(50+h))、B(200，-h)。設拋物線方程為y=ax2(a<0)，則

－(50+h)=2752a，－h(huán)=2002a。

解得：a=－1.4×10， h=56.1。

∵50+56.1+2=108.1(m)

答：游客在觀光臺上飽覽浦江美景時，離江面高達108.1米。

三、三角函數(shù)方面

例3情景：某城市將建成世界最大的極限運動主題公園，建成后的極限主題公園，不僅是全國第一個以極限為主題的公園，而且也是世界最大的極限運動主題公園——沖浪、滑板、小輪自行車、水上競技運動……這里將成為中國極限運動發(fā)展的動力源泉。

某新建海濱公園試營業(yè)。現(xiàn)記錄某日各t時(0≤t≤24，單位：小時)的海浪高度y(m)的數(shù)據(jù)如下：

經(jīng)過長期觀測，y=f(t)的曲線可以近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b的圖像。

（1）依規(guī)定，當海浪高度高于1 m時才對沖浪愛好者開放。根據(jù)以上的數(shù)據(jù)，判斷一天內(nèi)的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？

（2）求函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T﹑振幅A及函數(shù)的表達式。

解 （1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得：共有6個小時可以進行沖浪運動。

（2）依題意得：

A=(1.5－0.5)=，T=12 。

∵=12，∴ ω=。

又 ∵ b=1，

∴y=cost+1 ， t∈0，24。

四、函數(shù)的基本性質(zhì)方面

例4情景：當今最大的住宿連鎖組織——國際青年旅舍，它的特點是“安全、經(jīng)濟、衛(wèi)生、隱私”，室內(nèi)設備簡樸，備有高架床、硬床墊和被褥、帶鎖的個人貯藏柜、小桌椅、公共電話、公共浴室和洗手間，有的還有自助餐廳、公共活動室等。

一個旅館有150個標準房間，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營，得到以下數(shù)據(jù)：

欲使每天的營業(yè)額最高，該如何定價？

解 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，可假設該客房的最高價格為100元，并假設在各價位之間，房價與入住率之間呈線性關(guān)系。

設x為在房價100元基礎上降低的房價，所以當房價為(100－x)元時，住房率為(55+x)％，則旅館一天的客房總收入為：

y=150(100－x)×(55+x)％

=-（x2－x－8250）

=-(x－)+。

∵(55+x)％≤1，

∴0≤x≤67.5。

∴當x=8.75時，y有最大值。此時房價定位應是100-=91.25（元），相應的住房率為60.8％，最大住房總收入為8326.56元。

答:欲使每天的營業(yè)額最高應定價為90元，這樣可達最大住房總收入8 325元。

五、數(shù)列方面

例5 情景：流行性感冒（influenza，簡稱流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一種傳染性強、傳播速度快的疾病。其主要通過空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播。典型的臨床癥狀是：急起高熱、全身疼痛、顯著乏力和輕度呼吸道癥狀。一般秋冬季節(jié)是其高發(fā)期，所引起的并發(fā)癥和死亡現(xiàn)象非常嚴重。

某市2002年11月份曾發(fā)生大面積流感。據(jù)資料統(tǒng)計，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制。從某一天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人。到11月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病毒的患者總共有8 670人。問11月份哪一天該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。

解設從11月1日起的第n(n∈N，1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人數(shù)最多，則從11月1日起至第n日止，每日新的患者人數(shù)此構(gòu)成一個等差數(shù)列，這個等差數(shù)列的首項為20，公差為50，則前n日的患者的總?cè)藬?shù)，即該數(shù)列前n項之和為：

S=20n+×50

=25n2－5n。

從第n+1日開始至11月30日止，每日的新患者人數(shù)依次構(gòu)成另一個等差數(shù)列，這個等差數(shù)列的首項為20+(n－1)×50－30=50n－60，公差為30-n，則30-n日的患者總?cè)藬?shù)為：

T=(30－n)(50n－60)+×(－30)

=－65n+2445n－14850。

由S+T=8670，

得25n－5n+(－65n+2445n－14850)=8670。

解得n=12，或n=49。

又1≤n≤30，

∴n=12。

答：11月12日的新患者人數(shù)最多，為20+50（12-1）=570人。

參考文獻：

［1］虞濤，高中情景數(shù)學［M］.上海：上海科學普及出版社，2005年.

［2］中華人民共和國教育部定制.普通高中數(shù)學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2003年 . ◆(作者單位：廣東省東莞市橋頭中學）

□責任編輯：周瑜芽