利用函數(shù)圖像分析函數(shù)問題

函數(shù)是高中數(shù)學的重要組成部分，是高考必考的知識.在全國各地高考中，函數(shù)題總是千變萬化、層出不窮.分析研究函數(shù)問題的方法是:第一，繪制函數(shù)圖像，得到初步的感知后分析問題;第二，在圖像基礎上利用函數(shù)的理論知識解決問題.

一、利用基本函數(shù)圖像分析函數(shù)問題

在高中數(shù)學中，函數(shù)都是由基本函數(shù)組成的，基本函數(shù)有常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(新課標不出現(xiàn)).

例1(2010年全國卷)y=1與曲線y=x2-x+a有四個交點，則a取值范圍是______.

解析:依題意可知方程1-a=x2-x有四個根，畫出函數(shù)f(x)=x2-x的圖像，知f(x)=1-a有四根，則-

點評:主要考查函數(shù)的圖像及其對稱性以及數(shù)形結合的運用.

例2 已知x1+=6，x2+lnx2=6，則x1+x2=_____ .

解析:化已知條件為x1=6-，x2=6-lnx2.知f(x)=ex與f(x)=lnx是互為反函數(shù)且它們的圖像關于直線y=x對稱，直線f(x)=6-x本身又關于直線y=x對稱，從而繪制函數(shù)f(x)=ex，f(x)=lnx，y=x，f(x)=6-x的圖像，它們的交點的坐標依次是點(x1，y1)，點(3，3)，點(x2，y2)，在圖中不難發(fā)現(xiàn)點(x1，y1)與點(x2，y2)是關于點(3，3)對稱.所以x1+x2=2×3=6.

點評:利用基本函數(shù)圖像結合函數(shù)的對稱性能直接找出答案.

二、利用已知函數(shù)圖像及平移、伸縮后的函數(shù)圖像分析函數(shù)問題

在高中數(shù)學中，要求掌握的函數(shù)變換有平移、伸縮(絕對值變換).

例3 若?坌x∈R有x-3+x+1≥x-a恒成立.則a的取值范圍______.

解析:把不等式x-3+x+1≥x-a化為函數(shù)f(x)=x-3+x+1、函數(shù)f(x)=x-a(可以假定a=0或等于任何數(shù))并畫出它們的圖像，依題意知:函數(shù)f(x)=x-a的圖像必在函數(shù)f(x)=x-3+x+1圖像的外部.我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x-a的圖像是通過函數(shù)f(x)=x的圖像向左或向右平移a個單位得到(具體位置由a值決定).所以函數(shù)f(x)=x-a的圖像向左平移不能超過點(3，4)、向右平移不能超過點(-1，4).從而函數(shù)f(x)=x-a的右支至多經過函數(shù)f(x)=x-3+x+1的右側頂點(3，4)，即f(x)=x-a經過點(3，4).所以a=-1;函數(shù)f(x)=x-a的左支至多經過函數(shù)f(x)=x-3+x+1的左側頂點(-1，4)，即f(x)=-x+a經過點(-1，4)所以a=3.故a的取值范圍為[-1，3].

點評:利用函數(shù)圖像可以把函數(shù)看成一個靜態(tài)與動態(tài)結合的問題，能達到消元的目的，有效地解決問題.

責任編輯羅峰