數(shù)學問題解決的表征及元認知開發(fā)

一 數(shù)學問題解決的表征

數(shù)學是研究客觀世界的數(shù)量關系和空間形式的科學，它具有很強的概括性、抽象性和邏輯性。問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學的真正組成部分是問題和問題的解，數(shù)學學習的核心就是培養(yǎng)解決數(shù)學問題的能力。數(shù)學問題解決是一個比較復雜的心理過程，其中最關鍵的活動是思維。對數(shù)學問題解決中的元認知進行研究就顯得尤為必要。這里所謂數(shù)學問題，是指有一定難度，需要一定的思維程序和方法，經(jīng)過反復思考才能正確解答的數(shù)學問題。因此，這類數(shù)學問題自然需要一定的元認知參與才能得到有效解決。盡管現(xiàn)實生活中的數(shù)學問題多種多樣，并且數(shù)學問題解決的過程也不盡相同，但是，所有數(shù)學問題的解決都具有共同的特征。

(一)目的指向性

所有的數(shù)學問題解決都必須具有明確的目的性，在數(shù)學問題解決進程中，問題解決者必須朝向某一心理目標，形成解決問題的目標意識。…這一目標是數(shù)學問題解決的終結(jié)狀態(tài)。沒有明確目標的冥想不被稱之為數(shù)學問題解決。因此，數(shù)學問題解決也就必然是目的指向性的活動，只有這樣，數(shù)學問題解決才具有可控性和有效性。

(二)操作序列性

數(shù)學問題解決必須由重要的認知操作來進行。沒有重要的認知操作的參與，就無所謂數(shù)學問題解決。與此同時，數(shù)學問題解決必須包括心理過程的序列性，也就是說，數(shù)學問題解決中包括一系列有序的認知操作階段，大體上可劃分為四大階段：1 激活階段，即數(shù)學問題材料與數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中“相似塊”的耦合、接通和活化階段；2 尋求階段，即利用大腦中數(shù)學認知結(jié)構(gòu)尋求數(shù)學問題解決的途徑；3 評價階段，即利用數(shù)學認知結(jié)構(gòu)評價解法的合理性，這一階段應貫穿在整個數(shù)學問題解決過程的始終；4 重組階段，即保持和重新組織有效的認知結(jié)構(gòu)，以便能應用到更廣泛的場合中。這些認知操作階段具有明顯的策略性，也即路徑可直可曲，而直與曲的分野常常在于策略的區(qū)別。

(三)連續(xù)性與突發(fā)性

數(shù)學問題解決有兩種類型，即良構(gòu)問題解決(常規(guī)性問題解決)和非良構(gòu)問題解決(創(chuàng)造性問題解決)。大量現(xiàn)實中的數(shù)學問題初遇時都是非良構(gòu)問題，一旦解決后則變?yōu)榱紭?gòu)問題。因此，兩類問題的差別是相對的。數(shù)學問題解決包含著內(nèi)部心理活動的潛在搜索過程，體現(xiàn)著內(nèi)部機制的互動效應。因為數(shù)學問題解決實際上是解決者對數(shù)學問題的內(nèi)部表征，即解決者把數(shù)學問題轉(zhuǎn)換成自己能夠理解的語言，然后接通認知結(jié)構(gòu)，尋找并建立符合期望的聯(lián)想鏈條，最后達到心理目標終結(jié)狀態(tài)。

(四)延伸性與發(fā)散性

在數(shù)學問題解決中，充滿著諸多“算子”(數(shù)學法則、公式、經(jīng)驗結(jié)論等)和策略。而這些“算子”和策略可以進行縱橫交錯地發(fā)散，以不同角度向不同方向進行延伸，實現(xiàn)策略的轉(zhuǎn)換，也即能應用到更廣泛的場合中。在延伸和發(fā)散過程中體現(xiàn)著新知識與原有認知結(jié)構(gòu)的同化和順應機制。同化和順應的機制在于“算子”和策略能更好地在以后的應用場合得以廣泛應用，即數(shù)學問題解決中的諸多“算子”和“策略”能發(fā)散和延伸其內(nèi)在機制。

二 元認知在數(shù)學問題解決中的作用

元認知的實質(zhì)在于主體對認知活動的自我意識和自我調(diào)控。簡單地說，元認知就是認知的認知。它包括元認知知識(即有關認知的知識)，元認知體驗(即伴隨認知產(chǎn)生的情感體驗)和元認知調(diào)控(即主體對認知活動的調(diào)節(jié)和監(jiān)控)。三者互為依據(jù)、互相制約、有機結(jié)合為一個統(tǒng)一的整體，對數(shù)學問題解決的各個階段起著目標修正、激活策略、監(jiān)控進程等作用。

(一)元認知能修正數(shù)學問題解決的目標

數(shù)學問題解決具有明確的目標指向性。目標是解題者主觀經(jīng)驗的覺知，它既是問題解決的出發(fā)點，也是問題解決的歸宿，它影響和制約著問題解決的進程。因為解題者在自擬目標的影響下，將自己正在進行的認知活動作為意識的對象，不斷發(fā)揮主動性和自覺性對問題解的進程進行積極、自覺的監(jiān)視。一旦進程與目標不符，而又相信自己的進程時，則將懷疑目標，將對目標修改或放棄，以確定新的目標。對目標的修正由元認知來進行，通過元認知體驗，在元認知知識的基礎上，解題者要監(jiān)控其解題計劃，制訂切實可行的目標結(jié)構(gòu)，致使問題解決得以順利進行。元認知對目標所起的作用是通過定向、調(diào)節(jié)和控制功能表現(xiàn)出來的。

(二)元認知能激活和改組數(shù)學問題解決的策略

數(shù)學問題解決具有明顯的策略性。策略是在思維模式的作用下反映出來的，它影響著數(shù)學問題解決的進程和質(zhì)量。解題者在解題過程中通過三種方式來操作策略。1 激活策略，即以目標的期望為出發(fā)點，將材料系統(tǒng)放入知識背景，在操作系統(tǒng)的作用下激活認知結(jié)構(gòu)，選擇解題策略；2 制訂策略，即在元認知知識的基礎上，根據(jù)材料系統(tǒng)在認知結(jié)構(gòu)中的相似性，尋求數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的“相似塊”，制訂解題策略；3 改組策略，即通過問題解決進程的反饋，解題者要進行自我評價，對進程的評價實質(zhì)上也就是對問題解決策略的評價，一旦對自己的目標確信無疑而又達不到或不能順利達到目標時，則將懷疑其策略，有必要對策略進行改組。解題者在操作策略時，實際上均受元認知的指示和指導，即通過元認知體驗，在元認知知識的基礎上，檢驗回顧解題方法，調(diào)控解題策略，最終逼近問題目標狀態(tài)。調(diào)控策略的指標是通過策略的可行性、簡捷性、有效性反應出來的。

(三)元認知能夠強化解題者在數(shù)學問題解決中的主體意識

解題者能否自我激活是關系到問題解決系統(tǒng)能否優(yōu)化的先決條件。由于數(shù)學問題實際上都是非良構(gòu)問題，有一定的障礙性，這就要求解題者必須發(fā)揮主體作用，排除障礙，激發(fā)解決問題的欲望。而元認知在問題解決中自始至終存在著內(nèi)反饋的調(diào)節(jié)，即通過元認知體驗來調(diào)動積極性和探究性，因此，元認知能積極監(jiān)控、調(diào)節(jié)自身學習活動的思維過程，并逐步強化解題者對問題解決的主體意識。元認知主要通過三種方式來強化解題者的主體意識：1 通過元認知知識的導引作用，使解題者能主動審清題意，揭示問題矛盾之所在，主動搜索解題策略；2 通過元認知體驗的自我啟發(fā)作用，調(diào)動非智力因素的參與，積極超越障礙；3 通過元認知的調(diào)控作用，來刺激解題者思維模式深層結(jié)構(gòu)的內(nèi)部運行機制，并通過對解題過程進行自我控制、自我評價，使思維活動成為一種有目的性、可控性的組織活動，這在很大程度上強化了解題者的主體意識，使問題得以最快、最好地解決。

三 在數(shù)學教學中，通過數(shù)學問題的解決，對學生進行元認知開發(fā)的策略

正是因為元認知在數(shù)學問題解決中起著重大作用，所以，在數(shù)學教學中，通過數(shù)學問題解決對學生進行元認知開發(fā)就顯得尤為重要。通過對學生進行元認知開發(fā)，不僅能調(diào)動學生學習的自覺性、主動性，充分發(fā)揮其主體作用，而且能增進學生學習和解題的效率。但是，在目前學校教學中，尤其是在數(shù)學教學中，卻忽視了對學生進行元認知能力的培養(yǎng)和開發(fā)，只注重任務的完成和問題的最終解決，而缺乏對數(shù)學目標進行分析，教師與學生都缺乏目標意識，也不能采用深層次加工策略，及時監(jiān)控理解狀態(tài)，致使學生采取敷衍了事，不求甚解的態(tài)度去完成教師布置的作業(yè)。因此，在數(shù)學教學中，教師必須強化學生解題的主體意識，使學生能主動確定解題目標，分析解題任務，使元認知能力在學生的目標分析和任務調(diào)控中得到很好的開發(fā)。因此，教師在數(shù)學教學中必須注意以下策略。

(一)目標激勵和目標強化

在數(shù)學教學中，教師應當強化學生的目標意識，用目標去激勵學生解題的自主性。在數(shù)學問題解決中，首先應當讓學生明確問題目標，即明確應該達到什么終結(jié)狀態(tài)，然后使其明確，為了達到問題目標，自己應該做些什么，如果做不到，那么就會失敗。這樣，通過目標的激勵和目標強化，學生就能自覺地確定解題目標，訂出解題計劃，設計解題策略，調(diào)節(jié)解題進程。目標激勵和目標強化能使學生調(diào)節(jié)自己的解題進程，反饋解題策略，使學生的解題能力得到內(nèi)在強化，從而提高元認知能力。

(二)加強知識發(fā)生過程的教學

數(shù)學的各個組成部分不是孤立存在的，而是相互聯(lián)系、互為因果的。否定“過程”就切斷了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。在教學中，教師應當注重問題解決的思維過程，展開邏輯思維，采用合適的思維方法(分析、綜合、抽象、概括、比較、歸納、演繹等)，多搞合情推理，遵循從個別到一般，從具體到抽象，從簡單到復雜的規(guī)律；抓住已知和未知之間的聯(lián)系，新舊知識之間的聯(lián)系，使“靜”態(tài)知識內(nèi)化到“動”態(tài)的數(shù)學思維中去思考和認識。因為課堂教學中的學生思維過程，實際上是知識發(fā)生過程，也是揭示和建立新舊知識聯(lián)系的過程，因此，加強知識發(fā)生過程的教學，是形成程序性知識，建立良好的知識結(jié)構(gòu)的需要，也是領略思維，體會數(shù)學基本方法的需要，更主要的是開發(fā)學生元認知能力，大面積、高效率地激發(fā)學生思維活動的需要。加強知識發(fā)生過程的教學，符合元認知本身所具有的監(jiān)控性特點。因為監(jiān)控總是對過程的監(jiān)控，離開過程，監(jiān)控作用也就無從發(fā)揮。元認知過程是揭示解題變量與解題方法之間關系的過程，加強知識發(fā)生過程的教學就是為了使學生在教學進程中加強元認知體驗，使學生的元認知能力在教學過程中得到發(fā)展，在數(shù)學問題解決過程中得到開發(fā)。

(三)注重教學的及時反饋

在數(shù)學教學中，教師要引導學生善于想象、聯(lián)想和多反思、回顧。這里既包括對剛學組塊或知識單元的回顧，也包括對與當前內(nèi)容有關的舊知識的回顧，更重要的是還包括對數(shù)學問題解決過程或結(jié)果的反思與回顧。通過總結(jié)、回顧和反思使個人的元認知能力得到更高層次的發(fā)揮。這樣，學生的思維能力就在這種結(jié)合實際的最佳思維過程和最佳解題方案的不斷探索和回顧反思中產(chǎn)生出新穎性、獨特性和鞏固性。因此，在數(shù)學教學中，也就要求教師精心設計課堂范例。課堂范例應注重典型性以及解答方法的多樣性和靈活性。設計的課堂范例應當在教師引導下鼓勵全體學生在自己知識經(jīng)驗基礎上大膽設想，各抒己見，最后教師給予評價總結(jié)。對于設計的“范例”應以擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學生負擔，提高課堂質(zhì)量、效率為目的。同時教師對反饋信息應有的放矢地對共性問題進行宏觀強化，對個別問題作微觀指導。

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