初學(xué)排列組合兩個(gè)基本原理時(shí)的兩類易錯(cuò)問(wèn)題

排列組合是一類思考方式較為獨(dú)特的問(wèn)題，它對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題的能力要求較高，解題方法也較為靈活，因此容易出錯(cuò);這就使得正確運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理兩個(gè)基本原理尤為重要。

一 、映射問(wèn)題

例1:有三位同學(xué)參加兩項(xiàng)不同的比賽，每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)比賽，有多少種不同結(jié)果?

分析:必須參加一項(xiàng)即參加且只參加一項(xiàng)，注意與至少參加一項(xiàng)的區(qū)別。設(shè)兩項(xiàng)比賽分別為跳高、跳遠(yuǎn)，三位同學(xué)分別為甲、乙、丙。

錯(cuò)解:以比賽為主線進(jìn)行思考

跳高可以由甲、乙、丙三位同學(xué)中的任何一位參加，同樣地，跳遠(yuǎn)也可以由甲、乙、丙三位同學(xué)中的任何一位參加。由分步計(jì)數(shù)原理得一共有

N=3×3=9種不同的結(jié)果。

錯(cuò)解原因:當(dāng)跳高有三位同學(xué)參加時(shí)，跳遠(yuǎn)就不可能有人參加了。

正解一:以比賽為主線進(jìn)行思考

當(dāng)跳高有0個(gè)人參加時(shí)，跳遠(yuǎn)有3個(gè)人參加，有1種方法;

當(dāng)跳高有1個(gè)人參加時(shí)，跳遠(yuǎn)有2個(gè)人參加，有3種方法;

當(dāng)跳高有2個(gè)人參加時(shí)，跳遠(yuǎn)有1個(gè)人參加，有3種方法;

當(dāng)跳高有3個(gè)人參加時(shí)，跳遠(yuǎn)有0個(gè)人參加，有1種方法。

由分類計(jì)數(shù)原理知:一共有N=1+3+3+1=8種不同的參與方法，每一種參與方法對(duì)應(yīng)著一種比賽方法。因此一共有8種不同的結(jié)果。

正解二:以同學(xué)為主線進(jìn)行思考

3位同學(xué)參加2項(xiàng)不同的比賽，每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)，這一件事可以分為3個(gè)步驟完成。

第一步:甲參加比賽，有2種不同的選法(可以選跳高，也可以選跳遠(yuǎn))

第二步:乙參加比賽，有2種不同的選法(可以選跳高，也可以選跳遠(yuǎn))

第三步:丙參加比賽，有2種不同的選法(可以選跳高，也可以選跳遠(yuǎn))

這3個(gè)步驟完成之后，3位同學(xué)參加2項(xiàng)不同的比賽且每位同學(xué)必須參加一項(xiàng)這件事就完成了。因此它滿足分步計(jì)數(shù)原理的內(nèi)涵特征，所以一共有

N=2×2×2=8種不同的結(jié)果。

對(duì)比以上兩種解法可見(jiàn):此類問(wèn)題以比賽為主線進(jìn)行思考會(huì)隨著學(xué)生人數(shù)和比賽項(xiàng)目的增多分類種數(shù)越來(lái)越多，所以這種方法比較麻煩，而顯然以同學(xué)為主線進(jìn)行思考簡(jiǎn)便得多，我們應(yīng)該掌握這種簡(jiǎn)捷而自然的方法。

二、重復(fù)問(wèn)題

例2:6名同學(xué)中有3名同學(xué)只會(huì)唱歌，2名同學(xué)只會(huì)跳舞，1名同學(xué)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)從中選出2名會(huì)唱歌、1名會(huì)跳舞的同學(xué)去參加演出，問(wèn)共有多少種不同的選法?

錯(cuò)解:先從3名會(huì)唱歌的學(xué)生中選2名，再?gòu)氖Ｏ碌?名學(xué)生中選1人即可。由分步計(jì)數(shù)原理得N=3×3=9種。

錯(cuò)誤原因:唱歌的也可以選那1名既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的學(xué)生，所以上述方法漏選了。

正解一:設(shè)6名學(xué)生分別為A、B、C、D、E、F

其中A、B、C只會(huì)唱歌，D、E只會(huì)跳舞，F(xiàn)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞

以跳舞為主線進(jìn)行思考

選D時(shí)可選AB、AC、BC、AF、BF、CF(此時(shí)F作為唱歌的)

選E時(shí)可選AB、AC、BC、AF、BF、CF(此時(shí)F作為唱歌的)

選F時(shí)可選AB、AC、BC(此時(shí)F作為跳舞的)

由分類計(jì)數(shù)原理得N=6+6+3=15種。

正解二:以特殊元素為主線，按選與不選既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人去唱歌分類。

第一類:不選既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人去唱歌(即不選F去唱歌)

從3名只會(huì)唱歌的人中選2人去唱歌，有3種方法;再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人去跳舞，有3種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得N1=3×3=9種方法。

第二類:選既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人去唱歌(即選F去唱歌)

從3名只會(huì)唱歌的人中選1人去唱歌，有3種方法;再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人去跳舞，有2種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得N2=3×2=6種方法。

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得N= N1 +N2=9+6=15種

同理:也可以按選與不選既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人去跳舞來(lái)分類。

注:在選擇題或填空題中，出現(xiàn)這類問(wèn)題是常見(jiàn)的，它主要考察兩個(gè)基本原理:分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，它要求概念清晰，運(yùn)算熟練，分類明確。所謂分類明確，即選取標(biāo)準(zhǔn)后使所分的幾類互相獨(dú)立而不重復(fù)，所分幾類的并集包括適合條件的所有情況，而無(wú)遺漏，簡(jiǎn)單地說(shuō):分類應(yīng)做到“不重不漏”。

兩個(gè)基本原理是排列、組合的重中之重，我們應(yīng)該對(duì)它的使用方法加以充分研究，希望同學(xué)們能通過(guò)以上兩例舉一反三，把兩個(gè)基本原理的方法深入研究下去，提高高中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力。