兩個潛變量的模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程模型算法求解

任紅梅，王 緌

（四川大學(xué) 工商管理學(xué)院，成都 610064）

0 引言

結(jié)構(gòu)方程模型(SEM)方法是在20世紀(jì)70年代中期由瑞典統(tǒng)計(jì)學(xué)家Karl G.Joreskog提出的，受到了管理學(xué)界、心理學(xué)界等社會科學(xué)研究人員的青睞。這主要是因?yàn)樗哂胁煌谝话憬y(tǒng)計(jì)分析方法的優(yōu)點(diǎn)：（1）可以同時處理多個因變量；（2）允許自變量和因變量含有測量誤差；（3）可以同時估計(jì)因子結(jié)構(gòu)和因子關(guān)系；（4）允許更大的測量模型；（5）能夠估計(jì)整個模型的擬合程度[1][2]。

結(jié)構(gòu)方程現(xiàn)已在我國各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，然而數(shù)據(jù)的輸入都是采用確定的形式，從數(shù)據(jù)的來源看，結(jié)構(gòu)方程的大多數(shù)數(shù)據(jù)是調(diào)查數(shù)據(jù)，通過設(shè)置問卷的方法獲取。然而，這一過程中，存在著大量的不確定性因素。首先，備選答案之間存在中間過渡性，就具有模糊性；其次，在人類的感覺、判斷、經(jīng)驗(yàn)和情緒起重要作用的領(lǐng)域，本身存在大量的模糊性因素?？紤]到大量的實(shí)際決策系統(tǒng)中,有時所獲取參數(shù)信息不完全或者所獲取信息的不可量化，Liu給出了模糊集的相關(guān)理論；文獻(xiàn)[3]則研究了具有模糊參數(shù)的規(guī)劃問題，并通過利用模糊集理論知識，給出了相應(yīng)的算法。

不同模糊數(shù)據(jù)的可信性直接影響到結(jié)構(gòu)方程模型結(jié)果的真實(shí)性，所以，將模糊變量引到結(jié)構(gòu)方程模型，將一些邊界不清，不易定量的因素轉(zhuǎn)化了某種量化的表達(dá)形式，可以提決策的科學(xué)性與正確性。從結(jié)構(gòu)方程數(shù)據(jù)獲取的方式而言，選擇模糊結(jié)構(gòu)方程方法對模型中潛變量之間、潛變量與顯變量之間的關(guān)系系數(shù)進(jìn)行估計(jì)是一條可行也是一條較好的途徑。本文擬采用模糊模擬[3]的算法，求解模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程迭代模型。該算法既保持了原結(jié)構(gòu)方程的精華，同時又有許多良好的優(yōu)化性能。

1 模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程模型

結(jié)構(gòu)方程模型主要通過引入潛在變量來研究抽象變量之間的因果結(jié)構(gòu)關(guān)系，由測量模型和結(jié)構(gòu)模型兩部分組成。PLS作為一種求結(jié)構(gòu)解結(jié)構(gòu)方程的“軟模型”，可以明確求出潛變量估計(jì)值[4]，以及用PLS求解時不需要預(yù)先假設(shè)總體數(shù)據(jù)某種分布等。本文以2個潛變量的模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程進(jìn)行研究并給出具體的求解過程。模型結(jié)構(gòu)如圖1。

圖1 模糊結(jié)構(gòu)方程模型

模糊PLS的結(jié)構(gòu)方程模型由源結(jié)構(gòu)關(guān)系和隱性結(jié)構(gòu)關(guān)系組成。

1.1 源結(jié)構(gòu)關(guān)系

源結(jié)構(gòu)關(guān)系由兩部分組成。

1.1.1 外部關(guān)系

其中：π1h0，π2k0為截距值；π1h，π2k為載荷系數(shù)；v1h，v2k為誤差（殘差）。

滿足條件假設(shè)：（1）期望關(guān)系

（2）非相關(guān)性

1.1.2 內(nèi)部關(guān)系

滿足條件假設(shè)：E(η|ξ)=β0+β1ξ；r(ε,η)=0

1.2 隱結(jié)構(gòu)關(guān)系

隱結(jié)構(gòu)關(guān)系包括因果預(yù)測關(guān)系和權(quán)重關(guān)系，為偏最小二乘法分析所特有的。

1.2.1 因果預(yù)測關(guān)系

由（2）和（3）可得：

其中：截距為 μ2k=π2k0+π2kβ0

殘差為 v2k=π2kε+v2k

滿足條件假設(shè)：r(v2k,ξ)=0

1.2.2 權(quán)重關(guān)系

權(quán)重關(guān)系分為反映型和構(gòu)成型兩種模型，在圖1中，潛變量η屬于反映型，潛變量ξ屬于構(gòu)成型，其權(quán)重關(guān)系分別為：

2 模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程的求解

2.1 理論基礎(chǔ)

設(shè)ξ為模糊變量，它的隸屬函數(shù)是μ，如果u和 r是實(shí)數(shù)，那么一個模糊事件{ξ≤r}的可能性被描述為Pos{ξ≤r}，模糊事件{ξ≤r}的可信為 Cr{ξ≤r}Pos{ξ≤r}+1-Pos{ξ≤r})，在此基礎(chǔ)上，Liu給出了模糊變量期望值的定義。

定義1 設(shè)ξ為模糊變量，則稱

為模糊變量的期望值（為了避免出現(xiàn)∞-∞情形，要求上式兩個積分到少有一個有限）。

那么，假設(shè) f∶Rn→R 是一個實(shí)值函數(shù)，ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)是可能性空間(Θ，p(Θ)，Pos)上的模糊向量，則 f(ξ)也是一個模糊變量，它的期望值定義為

其中:L=Cr{f(ξ)≥r}為模型事件 f(ξ)發(fā)生的可信性,可以由下式估計(jì)得到：

2.2 求解原理及步驟

對帶有不確定數(shù)的數(shù)學(xué)模型，要進(jìn)行計(jì)算，首先得轉(zhuǎn)化化確定性問題的求解。從模糊數(shù)的特點(diǎn)不難判斷，模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程模型的解不是唯一的，而是存在無數(shù)個，根據(jù)模糊數(shù)的性質(zhì)，模糊數(shù)取不同值的隸屬度一般不同，因此，由模型PLS結(jié)構(gòu)方程得出的估計(jì)值和回歸系數(shù)取不同解的可能性也一般不同。為了在目標(biāo)值和可能度之間達(dá)到某種均衡或折中，我們引入模糊期望的概念，利用模糊模擬的原理，把不確定的數(shù)確定化，求解以上模型。由擴(kuò)張?jiān)碇?，由于所求的PLS 估計(jì)值 ω1h，ω2k，LXn，LYn都為的函數(shù)，記為 f,故都為模糊變量。

以兩個潛變量的模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程的迭代模型為例，說明求解過程。該求解過程包括兩大部分，一是運(yùn)用模糊模擬的主程序；二是求解確定PLS-結(jié)構(gòu)方程模型的迭代函數(shù)f，作為代求期望的模糊向量，向量中的各個元素的期望值即為待求的原結(jié)構(gòu)方程的估計(jì)值。

2.2.1 模糊模擬

（1）置向量 e=0。

（2）分別從 Θ 中均勻產(chǎn)生 θk，使得 Pos(θk)≥ε，令 vk=Pos(θk)；k=1，2，…，N。 其中 ε 是個充分小的數(shù)。

(3)置向量 a=f(ξ(θ1))∧…∧f(ξ(θN))，向量 b=f(ξ(θ1))∨…∨f(ξ(θN))。

（4）從[ai，bi]中均勻產(chǎn)生 ri,構(gòu)成向量 r。

(5)如果 ri≥0，那么 ei←ei+Cr{f(ξ)i≥ri}。

(6)如果 ri＜0，那么 ei←ei-Cr{f(ξ)i≤ri}。

(7)重復(fù)步驟（4）至步驟（6）共 N 次。

(8)E[f(ξ)i]=ai∨0+b∧0+ei(bi-ai)/N

2.2.2 確定PLS-結(jié)構(gòu)方程模型的迭代原理

由模糊區(qū)間隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)構(gòu)成確定的輸入數(shù)據(jù)。求解步驟如下:

這里f1,f2是標(biāo)準(zhǔn)化算子。 同理可得f2

重復(fù)以上步驟直到|ω（n）-ω(n+1)|＜10-5。

（2）由（1）步得出的潛變量估計(jì)值 LXn,LYn后,由以下幾個方程估計(jì)出測量模型與結(jié)構(gòu)模型系數(shù)

(3)將所求結(jié)果賦給函數(shù)f

3 模型應(yīng)用

選取學(xué)生能力與成績的一組小樣本數(shù)據(jù)，對以上模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程模型進(jìn)行測試。其中潛變量ξ為學(xué)習(xí)能力，η為學(xué)習(xí)成績，其估計(jì)值分別為LX,LY。x1為IQ表現(xiàn)，x2為高中時綜合成績，x3為去年學(xué)習(xí)動機(jī)得分，y1為必修課平均績點(diǎn)，y2為選修課平均績點(diǎn)。由于IQ表現(xiàn)的程度之間本身就具有過渡性，且目前較真實(shí)的IQ測量需在失重的狀態(tài)下進(jìn)行才比較有效。根據(jù)相關(guān)資料和專家意見，對原始數(shù)據(jù)中x1進(jìn)行模糊化 x1，為形如=(a1，a2，a3)的三角模糊數(shù)，見表 1。

表1 模糊處理后的數(shù)據(jù)

表2 潛變量ξ與η的估計(jì)值LX與LY

表3 回歸系數(shù)與擬合效果

在matlab7.0下,運(yùn)用以上模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程模型實(shí)現(xiàn)程序,循環(huán)2000次,同時為了區(qū)別本文模型與傳統(tǒng)確定的PLS-結(jié)果方程模型,將對比結(jié)果列入表2、表3。

從表3可知,當(dāng)用確定PLS-結(jié)構(gòu)求解時,由于忽略了大量模糊因素的存在,其結(jié)果與經(jīng)過模糊化的PLS-結(jié)構(gòu)方程有一定差別。當(dāng)模糊數(shù)的置信水平取為1時,所有的模糊數(shù)都變成確定數(shù)—模糊數(shù)的主值,相當(dāng)于應(yīng)用確定PLS-結(jié)構(gòu)方程模型。把IQ表現(xiàn)變量定義為三角模糊數(shù)時,與實(shí)際相吻合,得出IQ表現(xiàn)與學(xué)習(xí)能力的關(guān)系系數(shù)變小。

對回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),確定PLS-結(jié)構(gòu)方程模型R2=0.5692(越接近1越好)，擬合效果不是很好。如果此時我們把得出回歸系數(shù)解釋模型，必定不合理。相反，從模糊PLS-結(jié)構(gòu)模型得出的結(jié)果可以看出，R2=0.6703＞0.5692，F(xiàn)=40.715＞＞F0.05(1,13)=4.67，因此，由x~1,x2,x3反映的 ξ與由 y1，y2反映的η之間線性關(guān)系顯著存在；且在一定程度上優(yōu)化了傳統(tǒng)的確定PLS-結(jié)構(gòu)方程模型。

4 結(jié)語

本文系統(tǒng)研究了含有兩個潛變量的模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程模型的求解方法，給出了具體的求解步驟，并通過算例驗(yàn)證了模型有效性。由于目前結(jié)構(gòu)方程的應(yīng)用尚未直接引入模糊變量，對所有不確定變量的處理方式大多采用先確定化的方法，這種方式對以問卷獲取輸入數(shù)據(jù)為主要途徑的結(jié)構(gòu)方程模型而言是一個很大的弊端，將影響模型最終的解釋能力。所以，本文的模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程模型方法為優(yōu)化結(jié)構(gòu)方程提供了一個有現(xiàn)實(shí)意義的數(shù)學(xué)工具；同時本文模糊模擬算法對含有兩個潛變量的模糊PLS-結(jié)構(gòu)方程具有普遍的適用性。考慮到實(shí)際中多個潛變量的情形，可結(jié)合該思想，對模型進(jìn)行改進(jìn)。

[1]侯杰泰，溫忠麟，成子娟.結(jié)構(gòu)方程模型及其應(yīng)用[M].北京：教育科學(xué)出版社，2004.

[2]林盛，劉金蘭，韓文秀.基于PLS-結(jié)構(gòu)方程的顧客滿意度評價方法[J].系統(tǒng)工程學(xué)報，2005，20(6).

[3]劉寶碇，趙瑞清，王綱.不確定規(guī)劃及應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[4]寧祿喬，劉金蘭.兩個潛變量的PLS算法模擬數(shù)據(jù)分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2007.(8).