基于杠桿效應SV模型和EGARCH模型VaR的比較

趙世海 ,湯志明

(1.重慶大學 工商管理學院，重慶 400030；2.重慶市人民防空辦公室，重慶 400010）

0 引言

當前,金融市場風險成為全球金融機構及監管當局關注的焦點。與之對應，風險測量技術也在近年得到了發展。其中，VaR由于其明確的經濟含義及易操作性成為金融市場風險測量的主流模型。

最基本的分析方法是將市場因子看成是具有固定方差的正態分布從而簡單估計VaR。由于金融市場的時變性，這樣得出的結果顯然太過粗糙，尋找一種最能刻畫市場因子回報波動性的模型至關重要。加權正態模型(WTN)考慮到了波動動態時變性,但權值賦予依賴于經驗,缺乏理論支持。近年來,異方差模型被認為是最能刻畫金融市場波動性的模型，GARCH模型族被廣泛應用于VaR值的計算，其中EGARCH模型被認為能較理想測量VaR。然而，GARCH模型族面對金融時間序列“高峰厚尾”、杠桿效應、平方序列微弱而持久的自相關性等顯著特征也顯得十分脆弱,國外已有大量實證研究指出了這些問題。SV模型是另一類異方差模型，具有數理金融學和金融計量經濟學雙重根源，其最顯著特征是將隨機過程引入到方差表達式中，被認為是刻畫金融市場波動性的最理想模型。Harvey A、Kim等學者做過大量關于SV模型族與GARCH族模型的比較研究，認為SV模型所刻畫的波動性與金融市場特征更加吻合。盡管SV模型功能強大,但由于其參數估計困難，直到近年才開始得到運用，而基于杠桿效應SV模型下VaR值的計算及其與基于EGARCH模型下VaR值的比較，國內外文獻很少。

本文旨在利用杠桿效應異方差模型來測量股市的VaR值。從模型出發說明了杠桿效應SV模型具有比EGARCH模型更與金融市場實際特征相吻合的數值指標。分別得出了基于兩種模型下的上海股市的VaR值,實證研究說明利用具有杠桿效應SV模型計算出的VaR值更好地反映了上海股市的風險水平。本文對兩種異方差模型進行比較,并從動態角度考慮VaRt時間序列的特征。

1 Va R的計算

在值風險VaR（Value-at-Risk）由于其測量的綜合性，目前已成為證券市場風險測量的主流方法。它的定義可表述為“在一定置信度下將來一定持有期內的最大損失”。也即是在將來的某個時期，有1-α的可能性下，最大的損失值。即

P{Rt＞-VɑRt}=1-α

其中:Rt為資產在第t期的收益；α為顯著性水平;VɑRt為t時刻α水平下的VaR，取值為正。

通常情況下，一般的異方差模型均認為各時點上收益服從具有時變方差的條件正態分布,所以：

Rt|It-1～N(μt,σ2)（It–1代表過去的信息集）

因此

即當收益的條件分布為正態時,VɑRt是σt的線性函數。近年來理論和實證研究都說明時間序列的非正態性有著其異方差根源,所以選用當前處理異方差領域的工具——EGARCH和基于杠桿效應SV模型來刻畫股市收益的波動性,并進行比較,進而獲得較精確的VaR值。

2 EGARCH和杠桿效應SV模型對波動值的計算

2.1 EGARCH模型

EGARCH模型表述為：

其中p、q由AIC信息和SCI信息確定，在一般情況下，取EGARCH（1，1）模型。本文假設rt服從期望為μ，方差為σ2的正態分布。利用實際數據,估計出EGARCH(1,1)中的參數θ、ψ、γ后,直接利用式遞推計算出各個時間的波動值，只是要注意消除初始值ε0，σ0的影響。

2.2 杠桿效應的SV模型

一般的SV模型表述為：

其中，yt是在t日的收益，ht表示t日的對數波動。假定ht服從一個一階自回歸過程，是不可觀測的，對數波動的持續性用參數β表示?；維V 模型中假設εt、ηt是兩個相互獨立的誤差過程，因此沒有考慮到前面提到的所謂的“杠桿效應”。如果令(3) 和(4) 中的誤差項 εt、ηt相關(嚴格地說是負相關)，SV 模型就能捕捉到股票市場中的“杠桿效應”?！案軛U效應”在股票收益中表現得比較明顯，而在匯率市場中則要差些。在基本SV 模型中引入εt、ηt的相關系數ρ，就可以得到具有杠桿效應的SV模型：

對SV模型的估計，本文選同使用BUGS軟件，用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法進行模型參數估計。

3 實證研究——測定深證指數的Va R

3.1 樣本數據的選取時段的選擇

本文根據研究的需要，同時依據中國股票市場的性質，以及股市發展的代表情況，選取上證指數和深證綜指。在樣本時段的選擇上，根據中國股票市場發展的政策進行選取，我們選取1999年1月1日到2007年12月30日的數據，數據來源為香港理工大學中國會計與金融研究中心和深圳市國泰安信息技術有限公司聯合開發的“中國股票研究市場交易數據庫”。數據處理與分析采用軟件為Eviews5.0。

表1 各股指的基本統計特征（1997-1-1～2005-12-30）

3.2 數據的基本分析

收益率采用JP摩根集團的對數收益率的概：R（t）=ln(Pt)-ln(Pt-1)=ln(Pt/Pt-1)。通過我們計算的2170個收益率數據，考察該收益序列的統計特征：

（1）各股指的基本統計特征。

根據表1所得的各股票指數對數收益的偏度、峰度以及J-B檢測值可知,深證指數不符合正態分布，利用QQ圖也可進一步得知,深證指數收益存在著明顯的尖峰、厚尾特征。

（2）模型的估計結果

用 BUGS軟件MCMC方法對 SV模型進行了估計,對GARCH(1,1)的估計采用一般的極大似然法,利用Matlab編寫計算機程序：

表2 深證指數EGARCH模型的參數估計結果

從表2、表3可以看出，EGARCH模型和SV模型都能刻畫深證指數的杠桿效應。

3.3 VaR值計算及其準確性檢驗

分別用EGARCH模型和SV模型計算出的{σt2}序列及其表1中的平均值代入方程（0），分別計算得出在置信度1%，2%，3%，4%，5%VaR 值。

VaR是一個估計量，其效果要通過檢驗，通常的方法是通過失敗率來檢驗，即:記錄實際發生的損失，然后計算超過VaR的次數(或天數)比例是否大于設定的置信度。庫皮克[8]給出了這種檢驗方法。其方法是構造一個LR統計量，將投資組合觀察的實際每日盈虧結果與測定的VaR值進行比較，如果VaR模型測定的VaR 是準確的，那么，投資組合實際虧損超過測定VaR值的例外情形可被視為從一個二項分布中出現的獨立事件，即如果實際虧損幅度在測定VaR值以內，則被視為一個成功的事件(為1)，如果實際虧損幅度在測定的VaR 值以上，則被視為一個失敗事件(為0)。因此,失敗事件出現的概率應為預定的失效水平。

假定計算VaR 的置信度為α，實際考察天數為T,失敗天數為N,則失敗頻率為p(=N/T),失敗的期望概率為p*(=1-α)。零假設為p=p*，這樣對VaR 模型準確性的評估就轉化為檢驗失敗頻率p是否顯著不同于p*。Kupiec[6]提出了零假設的似然比率檢驗:

在零假設條件下，統計量LR服從自由度為1的χ2分布。本文計算了α分別等于1% 、2%、3% 、4%和5%下的失敗率，似然比p值及實際失敗率與α的相對誤差。

表3 深證指數杠桿效應SV模型的參數估計結果

表4 深證指數收益率 VaR失敗率及似然比p值

3.4 數據分析及結論

迄今為止，SV模型被認為是對異方差最精確的估計模型，本文通過對SV與GARCH 兩個模型的對比說明，利用SV模型得出的方差序列可以認為是對股市波動性最準確的反映。為了對比討 論基于兩種模型下VaR對風險測度的準確性，從表4可以看出，深證指數不同置信度 (1-α)下EGATCH得到的VaR與分位數α普偏存在正的相對誤差，越在尾部越突出，表明它們存在低估風險，捕捉厚尾能力較差，而基于杠桿效應SV模型則存在負誤差?；贓GARCH和杠桿效應的SV模型都沒有出現被拒絕的情況，他們都有較高的p值。

4 結束語

本文討論了如何利用GARCH和SV模型計算VaR值,并通過實證分析得知，基于SV模型下的VaR值更具有動態性、準確性,但是還存在幾個問題有待完善。

(1)僅研究了基本市場因子回報的簡單的VaR值的測度，而實際中遇到的常是一些多個資產組合潛在損失的問題。如何利用SV模型測定包含多個市場因子波動性，并尋求適當的資產定價公式，計算具體資產的風險是需要進一步討論的問題。

(2)所采取的標準SV模型雖然較其他的異方差模型更能刻畫“厚尾”現象，但其對隨機項的條件正態假設，仍使其難以對實際數據做更好的概括,所以應探索擴展SV模型。一般認為，對金融序列“高峰厚尾”性質的刻畫，SV-t和SV-GED模型要比SV-正態更有效。

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