多目標投資組合模型的理想點解法

陳國華，廖小蓮

（湖南人文科技學院 數學系，湖南 婁底 417000）

1952年，Harry Markowitz提出了證券組合投資均值-方差模型，它為現代證券組合投資理論奠定了基礎[1]，國內外許多學者依據這些理論對證券組合投資進行了深入的研究，采用不同的方法得出了一系列的研究成果[2-4]。嚴應超等[5]以我國證券市場上2種基本的金融資產股票和債券為例進行了具體的實證分析，得出了多目標投資組合模型要優于單一目標投資組合模型的結論。本文以總體風險損失率作為投資組合的風險度量，以換手率刻畫流動性，建立了多目標投資組合模型。鑒于多目標規劃問題絕對最優解通常是不存在的，本文采用理想點法對模型進行求解，并給出了實際算例。

1 多目標投資組合模型的建立

在現代投資組合理論中經常使用多目標投資組合模型，王夢東等在文獻[6]中引入了偏好參數 ，將多目標問題轉化為單個目標的二次規劃問題，既能彌補以前的模型缺陷，又能尋找到更好的解法來獲得有效投資組合；肖冬榮等[7]在Markowitz的均值方差投資組合模型的基礎上引入偏度水平，并用伸縮指標相應做出均值、方差和偏度3個模糊目標，形成一類新的非線性多目標投資組合模型；周洪濤等在文獻[4]中將模糊集合的概念引入投資組合模型中，并將多目標投資組合模型中的收益、方差和偏度3個目標模糊化，建立了模糊多目標投資組合模型，并提出了一個動態遺傳算法求解；王俊等[8]根據信息論中熵的概念，提出用熵來度量投資組合對風險的分散能力，同時提出了兼顧收益、風險、熵的多目標投資組合模型，并用改進的經典遺傳算法求解該模型。

在證券投資決策理論中，投資收益和投資風險被認為是投資者所關心的2個主要因素。然而，在證券投資實踐中，證券的流動性也不能忽視。證券的流動性是指證券的變現能力，目前度量證券流動性的方法較多，其中廣為使用的方法主要有：交易股數、交易筆數、交易金額、換手率和流通速度。換手率是股票成交量（或成交額）與流通盤（或流通市值）的比值，它充分反映了股票的流動性[9]。本文以換手率來刻畫流動性，建立帶流動性的多目標投資組合模型（MADL）如下：

第j種證券的收益率為隨機變量Rj，預期收益率為；

2 多目標組合線性優化模型的求解

由于MADL是一個多目標線性規劃問題，其絕對最優解通常是不存在的。證券組合投資決策的實質是尋求MADL的Pareto有效解，相應的證券組合稱為有效的。多目標規劃已有較多的解法[10]，基本方法有：主要目標法、分層序列法、評價函數法、理想點法、線性加權法等。本文中采用理想點法求解，理想點解法的優點是能根據投資者相應的滿意程度得到滿意的投資組合，其具體做法如下：

1）分別求下面3個規劃問題的最優解和最優值

設P1，P2，P3的最優值分別為f *(x)，V*(x)，L*(x)，最優解分別為x(1)，x(2)，x(3)，則理想點為

2）檢驗理想點，如果x(1)=x(2)=x(3)，絕對最優解為x*=x(1),否則，求單目標最優化問題的最優解。

3 數值算例

設已知9種股票2005年01月～2006年06月的月收益情況如表1所示，日平均換手率為參考換手率，見表2，通過Excel的計算，求得9種股票的預期收益率及，見表3、4。

表1 9種股票2005年01月～2006年06月的月收益情況Table 1Monthly earnings of 9 kinds of stock in January 2005 ～ June 2006

續 表

表2 9種股票2005年01月～2006年06月的日平均換手率Table 2The daily average turnover rate of 9 kinds of stock in January 2005 ～ June 2006

表3 9種股票的預期收益率Table 3The expected return rate of 9 kinds of stocks

表4 9種股票的Table 49 kinds of stocks

表4 9種股票的Table 49 kinds of stocks

股票序號dj 1 0.189 4 2 0.089 6 3 0.211 1 4 0.234 7 5 0.302 5 6 0.177 8 7 0.130 9 8 0.315 3 9 0.225 0

利用理想點法的最短距離算法求解，得到理想點F=(0.194，0.000 11，0.118 5)，其中，f(x)的極小點x1*=(0,0,0,0,0.5,0,0,0.5,0)T，V(x)的極小點x2*=(0,0,0,0,0.5,0.5,0,0, 0)T，L(x)的極小點x3*=(0,0,0.5,0,0.5,0,0,0,0)，因為x1*與x2*和x3*都不同，下面求單目標最優化問題：

4 結語

本文將投資組合預期收益極大化和投資組合絕對偏差和（風險）極小化作為目標，建立了一種多目標證券組合投資模型。鑒于多目標規劃問題絕對最優解通常是不存在，本文采用理想點法求解，給出了數值算例，說明了模型的可行性。

[1]Markowitz H.Portfolio Selection：Efficient Diversification of Investments[M].New York：Wiley，1959.

[2]Konno H，Yamazaki H.Mean-Variance Deviation Portfolio Optimization Model and Its Applications to Tokyo Stock Market[J].Management Science，1991，37(5)：519-531.

[3]Cai X Q，Teo K，Yang X Q，et al.Portfolio Optimization under a Minimax Rule[J].Management Science，2000，46：957-972.

[4]周洪濤，王宗軍，宋海剛.基于模糊優化的多目標投資組合選擇模型研究[J].華中科技大學學報：自然科學版，2005，33(1)：67-69.Zhou Hongtao，Wang Zongjun，Song Haigang.A Multi-Objective Portfolio Selection Model Based on Fuzzy Optimization[J].Journal of Huazhong University of Science and Technology：Nature Science Edition，2005，33(1)：67-69.

[5]嚴應超，張傳新.多目標投資組合研究[J].全國商情（經濟理論研究），2008(2)：80-81.Yan Yingchao，Zhang Chuanxin.Research on Multi-Objective Portfolio[J].National Trade (Economic Theory)，2008(2)：80-81.

[6]王夢東，童仕寬.基于二次規劃的多目標投資組合模型[J].武漢理工大學學報，2007，29(8)：171-174.Wang Mengdong，Tong Shikuan.Multi-Objected Investment Combination Model Base on Quadratic Programming[J].Journal of Wuhan University of Technology，2007，29(8)：171-174.

[7]肖冬榮，黃 靜.基于均值、方差和偏度的投資組合模糊優化模型[J].統計與決策，2006(7)：37-38.Xiao Dongrong，Huang Jing.Based on the Mean，Variance and Skewness Portfolio Model by Fuzzy Optimization[J].Statistics and Decision，2006(7)：37-38.

[8]王 俊，葉中行.一種改進的實數型遺傳算法在多目標最優投資組合選擇中的應用[J].寧夏大學學報，2004，25(3)：1-4.Wang Jun，Ye Zhongxing.An Improved Real-Valued Genetic Algorithm in Multi-Objective Optimal Portfolio Selection[J].Journal of Ningxia University，2004，25(3)：1-4.

[9]蘇冬蔚，麥元勛.流動性與資產定價：基于我國股市資產換手率與預期收益的實證研究[J].經濟研究，2004(2)：95-105.Su Dongwei，Mai Yuanxun.Liquidity and Asset Pricing：An Empirical Exploration of Turnover and Expected Returns on Chinese Stock Markets[J].Economic Research Journal，2004(2)：95-105.

[10]解可新，韓立信，林友聯.最優化方法[M].天津：天津大學出版社，1997：218-265.Xie Kexin，Han Lixin，Lin Youlian.Optimization[M].Tianjin：Tianjin University Press，1997：218-265.