在高等數學課程教學中體現數學建模思想

譚艷祥，劉仲云，梁小林

（長沙理工大學 數學與計算科學學院，湖南 長沙 410114）

如何結合高等數學教學內容培養學生的數學建模能力，從而有效地提高學生數學素質、培養學生的應用能力和創新能力，已經是當今高校數學教學的一個重要內容。數學建模教學和競賽活動對于大學數學教學改革具有積極的推動作用，數學建模競賽是集數學、計算機、人文修養等多方面于一體的綜合測試。在高等數學課程教學中嘗試將高等數學內容與數學建模方法有機結合，既加深了學生對數學知識的理解，同時也培養了學生的應用能力。高等數學的許多應用問題，實際上是一些簡單的數學建模問題，只是通常高等數學教材的處理方法是作為相應數學知識的應用，按照通常數學建模的步驟和方法進行。這樣一些例題雖然簡單，它包含了數學建模的全過程，我們講解時完全可以把數學建模的思想方法滲透其中。

1 在高等數學課程教學中體現數學建模思想的重要性

1）把數學建模的思想和方法融入大學高等數學課程教學中旨在推動普及數學建模思想的工作。在許多工程、物理等問題的研究中最終往往會歸結到一個數學模型的問題，大面積地在高校高等數學教學中普及數學建模思想能夠多學科的相互發展，達到一個良性循環的目的。

2）把數學建模的思想和方法融入大學高等數學課程教學中能提高學生數學素質、培養學生的應用能力和創新能力。

3）能夠培養學生學習數學的興趣。如果在高等數學課程教學中只是講解一些理論上的定理的分析、證明，這不僅不能培養學生的數學興趣反而使學生對數學課程產生了抵抗心理。反之，如果我們在高等數學課程的教學中加入一些數學建模思想的元素，從抽象的概念定理轉換成具體的形象的數學模型，這樣就能大大的提高學生學習數學的興趣。

4）為全國的大學生數學建模競賽打下了良好的基礎。適時適當的在課程教學中體現數學建模的思想，不僅能完成規定的教學課程，而且能使我們的學生在無形中受到數學建模思想的熏陶，促使學生自覺的去查閱相關的書籍，為他們參加全國大學生數學建模競賽打下了良好的數學基礎。

5）能夠促使學生自覺學習其它知識。數學建模是一門綜合性很強的學問，其中要用到很多其它學科的知識。一旦學生對數學建模產生了興趣，這必然使學生會自覺的去掌握其它的知識，比如計算機軟件等。

2 在高等數學課程教學中體現數學建模思想的可行性

1）隨著全國大學生數學建模競賽影響力的普及，很多學生在上課時自覺要求老師在上課時講解一些數學建模的知識。

2）高等學校的數學老師有能力在高等數學課程教學中體現數學建模思想。大部分的數學老師都曾經參加過或者指導過數學建模競賽，對數學建模思想有相當的認識。

3）高等數學教材中有很多相關的簡單的數學模型的習題。例如：①在導數以及偏導數的一些應用問題中，特別是一些求極值的應用問題；②定積分以及多元函數重積分應用的許多例題和習題；③微分方程一章的各種類型方程的應用題；④一元函數微分學的應用。這些實際上都是一些簡單的數學建模問題。

3 案例分析

由復旦大學出版社出版的《高等數學》中關于一元函數微分學的應用一章有這樣1個例題[1-2]：寬為2 m的支渠道垂直地流向寬為3 m的主渠道。若在其中漂運原木，問能通過的原木最大長度是多少？

3.1 模型的假設[3-5]

1）原木的直徑不計（即原木的直徑不可能大于渠道的寬度）。

2）不考慮渠道中水漫過渠堤。

3.2 模型的建立與求解

取O為坐標原點，支渠為x軸，主渠為y軸，建立坐標系如圖1所示。A、B是通過點C（3，2）且主渠道兩側壁分別交于A和B的線段。設∠OAC=t，，則當原木長度不超過線段AB的長度L的最小值時，原木就能通過，于是建立目標函數：，由于，當時，，于是從解得：。L的最小值一定存在，而在內只有1個駐點t0，故它就是L的最小值點。于是：，故能通過的原木最大長度是7.02 m。

圖1 支、主渠示意圖Fig.1The figure of penstocks

通過以上講解，既很好地完成了教學任務，同時同學們在如何應用數學知識建立實際問題的數學模型方面又得到了訓練。

[1]庾建設.高等數學[M].上海：復旦大學出版社，2006.Yu Jianshe.Higher Mathematics[M].Shanghai：Fudan University Press，2006.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.Department of Mathematics of Tongji University.Higher Mathematics[M].Beijing：Higher Education Press，2007.

[3]姜啟源.數學建模[M].北京：高等教育出版社，1993.Jiang Qiyuan.Mathematical Modeling[M].Beijing：Higher Education Press，1993.

[4]阮曉青，周義倉.數學建模引論[M].北京：高等教育出版社，2005.Ruan Xiaoqing，Zhou Yicang.An Introduction to Mathematical Modeling[M].Beijing: Higher Education Press，2005.

[5]韓中庚.數學建模方法及其應用[M].北京：高等教育出版社，2005.Han Zhonggen.Mathematical Modeling and Its Application[M].Beijing：Higher Education Press，2005.