以應用引導大學數學教學

謝美華，嚴奉霞，趙 俠

（國防科學技術大學 理學院，湖南 長沙 410073）

0 引言

大學數學課教學中最大的困惑在于，學生通常對所學的課程感到枯燥乏味，一味進行公式推導和邏輯推理讓學生感到，數學就象是在玩數字游戲，很多學生在學習過程中會產生這樣的疑惑——把數學問題用抽象的符號表達出來并進行相應的符號運算的確是美，可是這種“唯美”究竟有沒有實際意義，如果老師在教學過程中對這一問題缺乏相應的引導，就會使學生產生“數學無用”的錯誤認識[1]。因此，在教學內容中添加應用部分的內容，有效地引導學生理解數學的應用意義，并以此提高學生的學習興趣是數學課教學的重點和難點。

本文將以高等院校數學專業課程《矩陣分析》的教學為例[2]，結合作者的科研和教學經驗，從科研實踐中提煉數學問題，并將之嵌入到大學數學教學中，討論以應用引導大學數學教學的方式和重要性。

1 教學模式和教學策略

教學是一個多環節組成的復雜過程，要在較短的時間內有效地使學生掌握更多的知識，并在一定程度上對所學的知識進行展開、提升，就需要教師充分地利用各種教學手段，采用符合教學規律、適合本課程特點、面向高年級的教學模式和策略。

對于大學數學課程的教學而言，可從以下幾個方面考慮采用相應的教學策略。

1.1 注重開發應用實例[1,3]

學生從自己的知識面出發，很難對課程的作用有整體上的把握，在競爭日益激烈的信息時代，學生的學習通常需要和實踐掛鉤。一旦一門課程讓學生感到枯燥、乏味、脫離實際之時，該門課程也就失去了原有的意義。由于數學課通常是一種高度抽象、講究嚴格的邏輯推理的課程，因而最容易讓學生產生這種不好的感覺。要避免這種情況的出現，就必須由老師結合自己的所學，為學生補充更多的課外知識，進行合理的引導，讓學生明確地感到學有所用。這些應用實例的開發來自于教師平時的科研實踐和知識積累。作為應用數學的教員，一般的教師都或多或少地承擔著一些科研課題，這些課題一方面需要我們利用所學的數學知識進行研究，另一方面也給了我們很多來自科研實踐的例子。在這種應用背景和理論知識相互促進的情況下，老師較容易就會對所用的相關數學知識有更深地認識，這種認識如果能夠通過深入淺出的方式有效地應用到教學實踐中，無疑可以很好地提高學生的學習興趣。

1.2 采用多種教學方式[4-5]

應用式教學除了要有較好的應用實例以外，還要將這些應用實例形象地表現出來，這就需要開發多種教學手段，特別是加強計算機輔助教學的作用。很多應用實例僅僅通過板書或是口頭講解都很難形象地表達，這時，老師可以借助計算機和現有的數學軟件（如MATHCAD、MATLAB、MATHEMATIC）等進行現場演示，使教學過程更加生動、形象、活潑，教學內容更加直觀、新穎。教員還可以通過校園網絡教學，開發小小的討論園地，給與學生學習、思考和相互進步的空間。

1.3 給學生鍛煉的機會

為了進一步加強學生對所學內容的認識，教員可以進一步發掘一些學生有能力、有興趣去做的小課題，給學生鍛煉的機會。這可以部分地取代課后作業，作為第二種形式的作業分配給學生，讓學生以組為單位形成相應的研究報告，這種作業形式對高年級的學生尤其適用。

2 教學示例

一般而言，以應用引導教學可以分成2種模式。

模式一，以問題引導教學，即先提出問題，然后圍繞問題的解決展開教學，達到有目的的教學。該方法能有效地引導學生進行自主思維，提高學生的學習興趣，達到引人入勝的目的。

模式二，在理論教學中插入應用示例，即先講述理論知識，然后舉出恰當的應用例子，以加深學生對知識的理解與靈活運用。

下面以數學專業課程《矩陣分析》的教學為例，討論如何利用這2種教學模式來引導數學教學。

2.1 以問題引導教學

《矩陣分析》是應用數學中一門很重要的課程，它和解方程有著千絲萬縷的聯系，一般老師在講授這門課程時通常以線性方程組的求解為例來引入問題，這個例子對于引進問題和理解問題有較大的幫助。但是，由于老師在講授這一問題時往往忽視了問題產生的科學背景，而只從簡單的數學例子著手進行講解，因此對學生的吸引力是有限的，而且對于培養學生解決較復雜的科學問題缺乏引導。我們認為，將科研實踐中所提煉出來的科學問題，較好地運用到教學實踐中去更能培養學生思考問題、解決問題的能力，也能加深學生對所學知識的理解。下面將數字圖像處理問題引進到《矩陣分析》的教學中[6]。

數字圖像一般可以用1個矩陣表示為u(x,y)，其中函數u(x,y)的取值為圖像在坐標為(x,y)的像素點處的灰度值，一般取值在[0,255]之間，(x,y)表示像素點坐標，x為豎直方向，y為水平方向，M、N為圖像沿x方向與y方向的尺寸。顯然，這是一個M×N的矩陣，其成像模型可相應地寫成一個線性方程組

其中：f、u、ε∈RL（L=M×N是圖像像素點個數）分別是觀測圖像、原始圖像和加性噪聲按列拉長所得到的向量；

H是由空間退化因素生成的降質矩陣。

圖像處理中最常見的圖像復原問題就是根據式（1）和退化圖像f估計出清晰圖像u，也就是解方程（1）的問題。這顯然是一個直接與矩陣分析的課程內容相關的實例。在教學過程中，可以從以下的角度引導學生自主地思考矩陣分析中所涉及的相應內容。

方程（1）往往是一個病態問題，因此在求解時就必須考慮“病態性”問題，即要考慮以下幾個方面的問題：

1）方程的病態性分析，該問題涉及《矩陣分析》中矩陣的擾動性分析、主成分分析等內容。

2）病態方程的求解方法，該問題涉及《矩陣分析》中病態問題求解的總體最小二乘方法、梯度分析與最優化等內容。

3）病態方程的解的唯一性、穩定性分析，該問題涉及到《矩陣分析》中的廣義逆矩陣方面的內容。

因此，在教學過程中，以問題1）為切入點，可以引發學生思考矩陣分析中較多方面的內容，進而可以圍繞這些問題引導學生一步一步解開心中的疑惑，從而較好地抓住學生具有強烈的好奇心這一點，有效地提高教學效果。

2.2 在理論教學中插入應用示例

引導教學模式比較適用于教學內容的宏觀掌握，并啟發學生進行自主思考。對于具體知識的深化，較大程度上要依賴于第二種模式。

如在《矩陣分析》的教學中，矩陣的奇異值分解是很重要的內容，但是很多學生在學完該部分內容后會發生疑問——這種奇異值分解究竟有何意義？這時，可以通過下例啟發學生。

教學示例 奇異值分解可用于科研實踐中的圖像壓縮問題。

假定一幅圖像有n×n個像素點，如果將這n2個像素一起傳送，往往會顯得數據量太大。因此，我們希望能夠改為傳送另外一些比較少的數據，并且在接受端能夠利用這些數據重構原圖像。

不妨用n×n矩陣A表示要傳送的原n×n個像素。假定對矩陣A進行奇異值分解，得到A=U∑VT，其中奇異值按照從大到小的順序排列。如果從中選擇k個大奇異值以及與這些奇異值相對應的左、右奇異向量逼近原圖像，便可以共使用k(2n+1)個數值代替原來的n×n個圖像數據。這k(2n+1)個被選擇的新數據是矩陣A的前k個奇異值、n×n左奇異向量矩陣U的前k列和n×n右奇異向量矩陣V的前k列的元素。

當然，也可以通過線性方程的求解問題來闡述奇異值分解的意義。

2.3 教學效果

我們在大學三年級數學專業《矩陣分析》課程的教學實踐中，同時采用了上述2種教學模式。其中，模式一在第一堂課上得到了應用，獲到了較好的反響，學生對于該門課程的期望值一下子就提高了，下課后很多同學還就這些問題積極地與老師進行交流。

模式二在奇異值分解一課上也得到了應用，舉例后，學生對于該堂課的教學內容認識更深刻了，部分學生甚至在下課后作了一些小實驗，驗證了課堂學習的內容。

3 結語

面向應用，以應用帶動教學的教學模式較好地改變了數學課程枯燥乏味的現狀，較大程度上提高了學生的學習興趣，同時，也培養了學生主動解決問題的實踐能力和逆向思維能力。

[1]楊孝平，許春根.加強直觀性和應用性教學提高大學數學教育質量[J].大學數學，2006，22(6)：1-3.Yang Xiaoping，Xu Chungen.Enhancing the Intuitionistic and Application Teaching to Improve the Quality of College Mathematics Teaching[J].College Mathematics，2006，22(6)：1-3.

[2]黃有度，狄成恩，朱士信.矩陣論及其應用[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2002.Huang Youdu，Di Chengen，Zhu Shixin.Matrix Theory and Its Applications[M].Hefei：University of Science and Technology of China Press，2002.

[3]王憲杰.增加應用實例的比例有利于高等數學教學效果的進一步提高[J].大學數學，2008，24(1)：24-25.Wang Xianjie.Proportion of the Increased Examples of Application Making for Further Raising Higher Mathematics Teaching Effects[J].College Mathematics，2008，24(1) ：24-25.

[4]王 霞.“再創造”教學策略的應用[J].大學數學，2005，21(5)：21-24.Wang Xia.The Use of Create Again Teaching and Studying Tactics[J].College Mathematics，2005，21(5)：21-24.

[5]黃光東，陳振國.數學基礎課教學中加強學生應用數學能力培養的探索[J].中國地質教育，2005，14(2)：30-32.Huang Guangdong，Chen Zhenguo.On the Cultivation of the Students’ Ability of Using Mathematical Knowledge in Basic Mathematics Teaching[J].Chinese Geological Education，2005，14(2)：30-32.

[6]張賢達.矩陣分析與應用[M].北京：清華大學出版社，2004.Zhang Xianda.Matrix Analysis and Applications[M].Beijing：Tsinghua University Press，2004.