一類非線性組合系統新的穩定性條件

劉 燁，劉建州

（湘潭大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105）

0 引言

自20世紀60年代以來，許多作者從不同角度對非線性大系統的穩定性和鎮定問題進行了研究[1-9]。如文獻[1-2]構造了Lyapunov函數，用Lyapunov方法來檢驗線性大系統的穩定性。文獻[3]給出了不用Lyapunov函數的判定準則，但其判定方法還要涉及到子系統的穩定性，因此結果趨于保守。文獻[4]通過對微分方程解的估計，導出了具有時變時滯系統的時滯無關的穩定性條件，卻沒有考慮系統的非線性擾動和不確定性因素，且要求子系統是穩定的。文獻[5]利用比較原理和M矩陣特性導出了非線性組合系統穩定的充分條件，其假設是非線性和不確定性部分具有范數界，僅用一數值界去刻畫，結果具有一定的保守性。文獻[6]討論了不確定非線性子系統經不確定非線性互聯而成的組合大系統，給出了可分散反饋鎮定的充分條件，其前提是一隱式矩陣方程有解，但一般情形下這一矩陣方程的解是不存在的。

本文在已有研究基礎上，討論了一類非線性組合系統的穩定性問題，獲得了新的穩定性判定準則，這一準則還放寬了已有文獻對系統不確定性和非線性的要求條件，并對系統的反饋鎮定問題也具指導作用。

1 問題描述

考慮由N個子系統構成的非線性組合大系統

對系統（1）做以下假設：

假設1 非線性部分

式（2）中：Di為具有非負對角元的對角矩陣；。

假設2 關聯不確定性

式（3）中：Mij為具有非負對角元的對角矩陣；。

注1 以往大多數文獻要求非線性和不確定性滿足匹配條件或具有范數界，但僅用一數值界去刻畫非線性部分和不確定性，往往導致結果趨于保守，而本文用一向量這樣具體模型去描述，比已有文獻的限制條件都弱，可使后面的分析過程和結果更為精確。

2 主要結果

將式（4）代入式（1）中，得到

證明 由微分方程的基本性質可知方程式（5）的解為

進一步，可得到下面的不等式

然后，利用假設1和2條件可得

顯然，上式右端是下面微分方程（11）的解

3 數值實例

考慮如下由2個含不確定性的子系統組成的關聯系統：

解經計算得

由計算結果知：

同時可看出，P為負M矩陣，故此系統為漸近穩定的。

此例中的非線性部分和不確定性便不是用范數界（一數值界）去估計的，更沒有要求匹配條件。

4 結語

本文以定理1的形式給出了關于系統（1）的穩定性判定準則，其優點在于運用該準則可避免構造Lyapunov函數，其要求的假設條件比已有文獻所要求的均寬松，在推導過程中運用該準則可使結論更為精確，且不涉及子系統的穩定性。此外，本文的結果還可用于非線性組合大系統魯棒分散鎮定的研究。

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