桅桿結構脈動風速模擬與風荷載計算＊

魯麗君 瞿偉廉 李 明

（山東理工大學建筑工程學院1） 淄博 255049） （武漢理工大學道路橋梁與結構工程湖北省重點實驗室2） 武漢 430070）（淄博市規劃設計研究院3） 淄博 255037）

高聳結構（電視塔、桅桿、煙囪等）高度較高，剛度較柔，對風荷載的作用比較敏感［1］，對于這類結構，風荷載是重要的控制荷載.近年來發展了多種風模擬方法，主要有線性濾波器法、諧波疊加法、逆傅里葉變換法和小波變換法等［2］.M.Shinozuka，C.M.Jan［3］，王之宏［4］詳細介紹了風荷載模擬諧波疊加法的基本理論；王吉民［5］，J.S.Owen［6］等采用線性濾波器法模擬了膜式結構表面上的風荷載；曹映泓［7］、胡亮［8］在橋梁的風場模擬中引入快速傅里葉變換以改進諧波疊加法的運算效率.諧波疊加法雖然是一種有效模擬隨機風荷載的方法，但它計算效率低，模擬多維風速時程將耗費大量機時.本文在風自功率譜、互功率譜及模擬公式中采用統一的自變量——圓頻率，并利用引入FFT改進的諧波疊加法模擬桅桿結構的多維風速時程，根據由Bernoulli定理導出的風速與風壓間的關系將所得到的風速時程轉化為動力計算分析所需的風荷載時程.

1 風的的基本特性

自然風包含平均風和脈動風2種成份.平均風是在給定的時間間隔內風力大小及方向等不隨時間改變的量；而脈動風則具有明顯的隨機性，一般可用零均值平穩Gauss隨機過程來描述.作用于結構上任意處的風速為平均風速和脈動風速之和，風的模擬主要是針對脈動風而言的.

1.1 平均風速剖面

平均風沿高度的變化規律，常稱為風速梯度或風速剖面.平均風速隨高度的變化的規律常采用以下表達形式

1.2 脈動風自功率譜

目前關于脈動風速譜的研究較多，常用的風速譜主要有不隨高度變化的Davenport譜、與高度有關的Kaimal譜、Simiu譜等.我國國家規范采用不隨高度變化的Davenport譜.其表達式為［9］

式中：k為反映地面粗糙度的系數；ω為圓頻率.

1.3 脈動風互功率譜和空間相關性

實際觀測表明，作用在結構上不同高度處的風速不是完全相關的，有時甚至是無關的.造成這一現象的原因在于：類似圓球形狀的陣風首先作用于結構的較高處，在經歷了一個時間差后，才作用于結構的較低處.因此可推知風的互相關函數是不對稱的.故互譜密度函數一般為復數形式.

式中：coh（ω）為相干函數；φ（ω）為互譜的相位角，在風荷載模擬中，可按以下公式選取.φ（ω）值與量綱一的量有關

相干函數coh（ω）用來描述風的空間相關性，空間相關性主要包括上下相關性和側向的左右相關性，有時還包括前后相關性.由于高聳結構的高度尺寸一般遠遠超過深度和寬度尺寸，通常只需考慮脈動風的豎向相關性.豎向的上下相關性已經研究得比較成熟，Davenport建議相干函數采用：

2 脈動風速時程模擬及風荷載計算

2.1 脈動風速時程模擬方法

如果將模擬風荷載應用于實際結構計算，則要求模擬的風荷載盡可能地接近自然風的基本特性.如平均值、均方差、自功率譜和互率譜以及相位角關系等盡可能接近.通常采用諧波疊加法來模擬風荷載.

式中：Δω＝（ωu－ωl）／N；ω（k）＝ωl＋（k－1／2）×Δω；ωu和ωl為截止頻率的上限和下限；φkl為0到2π范圍內同一隨機變數；N為充分大的正整數；元素Hjk（ω）由互功率譜密度函數矩陣S（ω）的Cholesky分解得到.

H＊T（ω）是下三角矩陣H（ω）的轉置共軛矩陣.復數功率譜矩陣的Cholesky分解可以參考文獻［10］，θjk（ωk）＝arctan［Im（Hjk（ωk）／Re（Hjk（ωk））］，為2個不同作用點之間的相位角.

諧波疊加法模擬脈動風速時程理論完備，精度較高，但計算效率低，模擬多維風速時程需耗費大量機時.利用FFT算法（快速傅里葉變換）改進諧波疊加法，模擬效率顯著提高，改進公式如下.

取M＝2π／ΔωΔt，引入FFT算法，式（7）可寫成以下形式

式中：

2.2 脈動風荷載計算

當不考慮結構與風的耦合作用及漩渦影響時，根據Bernoulli定理，自由流動的風速提供的單位面積上的風壓力為［11］

結構任一高度處的瞬時風速Vi為平均風速與脈動風速vi之和：Vi＝＋vi

則作用在結構上的風壓W

平均風壓：

脈動風壓：

式中：γ為空氣質量密度.平均風壓反映了風對結構的靜力作用，脈動風壓wi反映了風對結構的動力作用.一般平均風速遠大于脈動風速，在忽略了脈動風速的平方項后，脈動風壓wi近似為

而作用在結構上的脈動風荷載和脈動風壓的關系可以表示為

式中，Ai是結構擋風面積；μs為風荷載體型系數.將式（1）、（16）代入式（17）得脈動風荷載與脈動風速的關系為

3 算 例

圖1所示為一座建立在平地上的150m通信桅桿，所處地貌為B類，有兩層纖繩，每層均為3根，纖繩平面A、B、C互交120°.桅桿桿身為無縫鋼管等截面組合構件，截面面為等邊三角形，邊寬為1m，弦桿 102／6，腹桿 54／4，鋼材彈性模量E＝200GPa2；剪切模量為G＝80GPa2.纖繩采用鍍鋅鋼絲繩，上層直徑d2＝18.5mm，截面積A2＝2.688×10－4m2；下層直徑d1＝14.5mm，截面積A1＝1.65×10－4m2；纖繩彈性模量Ek＝120GPa2；纖繩初應力均為250MPa，風向ψ＝0°，風荷 載 體 型 系 數μs＝1.478，桿 身 迎 風 面 積∑Ac＝0.316m2／m，ˉv（10）＝25m／s.

圖1 150m高桅桿

本文采用引入FFT算法改進的諧波疊加法在配置為Celeron（R）CPU2.40GHz，256MB內存的電腦上進行了風速時程模擬.模擬沿桅桿桿身高度分布的15條風速時程曲線，持續時間為1 200s，時間間隔取0.1s.

將模擬所得到的風速時程離散點數據、結構迎風面積及其他相關的已知條件代入式（18）即可得到相應桅桿桿身相應高度處的脈動風荷載.圖2和圖3分別為下層纖繩與桿身連接處（高度55 m）、上層纖繩與桿身連接處（高度為115m）的風荷載時程曲線.

圖2 下層纖繩與桿身連接處（高度55m）的風荷載時程

圖3 上層纖繩與桿身連接處（高度115m）的風荷載時程

在同樣的配置的電腦上、相同的模擬參數條件下采用諧波疊加法對桅桿結構進行了15維風速時程曲線模擬，共耗時7h45min，而改進的FFT算法僅耗時53min.由此可見改進的FFT法計算效率顯著提高.

圖4 高度55m處的脈動風自功率譜比較圖

圖5 高度125m處的脈動風自功率譜比較

為了檢驗模擬精度，本文將桅桿高度為55m和125m處的模擬風速時程曲線的自功率譜與Davenport譜進行了比較（見圖4、圖5）.由圖可以看出兩種模擬方法的自功率譜均與Davenport譜符合較好，表明模擬的脈動風特性與自然風基本特性相近.

4 結 束 語

對土木工程中桅桿類高聳結構進行風致動力響應分析，特別是疲勞分析時，需要事先對多個風向、不同等級參考風速工況進行多維風速時程模擬，模擬工作量十分巨大，諧波疊加法較低的運行效率不能滿足大量風速時程模擬的要求，嚴重影響結構的后續計算分析.而引入FFT算法改進的諧波疊加法，不僅模擬精度高，而且運行速度快，可以大幅減少多維風速時程模擬的總運算時間，極大地提高了計算效率，為后續結構動力計算提供方便.

［1］王肇民.桅桿結構［M］.北京：科學出版社，2000.

［2］Deodatis G.Simulation of ergodic multivariate stochastic processes［J］.Journal of Engineering Mechanics，1996，（8）：778－787.

［3］Shinozuka M，Jan C M.Digital simulation of random processes and its applications［J］.Journal of Sound and Vibration，1972，25（1）：111－128.

［4］王之宏.風荷載的模擬研究［J］.建筑結構學報，1994，15（1）：44－52.

［5］王吉民，李 琳.脈動風的計算機模擬［J］.浙江科技學院學報，2005，17（1）：34－37.

［6］Owen J S，Eccles B J，Choo B S，et al.The application of auto－regressive time series modeling for the time－frequency analysis of civil engineering structures［J］.Engineering Structures，2001，23（5）：521－536.

［7］曹映泓，項海帆，周 穎.大跨度橋梁隨機風場的模擬［J］.土木工程學報，1998，31（3）：72－78.

［8］胡 亮，李 黎，樊 建.基于特征正交分解的橋梁風場模擬［J］.武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2008，32（1）：16－19.

［9］瞿偉廉.高層建筑和高聳結構的風振控制設計［M］.武漢：武漢測繪科技大學出版社，1991.

［10］韓大建，鄒小江.大跨度橋梁考慮橋塔風效應的隨機風場模擬［J］.工程力學，2003，20（6）：19－22.

［11］徐建波.桅桿結構風振響應及疲勞分析［D］.上海：同濟大學建筑工程系，2004.