基于馬爾可夫過程與進步度的教學效果評價

高秀艷 ，劉 揚 ，張 欣 ，劉 英

（1.河北軟件職業技術學院，河北 保定 071000；2.河北大學電子信息工程學院，河北 保定 071002）

在教師教學效果的評價過程中，由于存在學生基礎水平差異及偶然性等因素，所以不能單純依靠學生一次考試成績的優劣來評價教師的教學效果。而在實際中，我們更希望能夠預測一位教師將來的教學效果如何。教師的教學過程是隨機過程，從動態角度看，一位教師的教學效果依賴于所教學生目前的狀態，與以往所處的狀態無明顯或直接的關系，即具有隨機性，符合馬爾可夫過程的特點，因此用馬爾可夫過程對其進行分析符合實際條件。目前，這項研究已經相對成熟且取得了較好的應用效果[1-4]。但這種分析方法是以長期教學過程后的平均分做為評價指標的，過分注重穩態下的結果，忽視了學生成績的動態進步與退步。本文提出了利用馬爾可夫過程理論對教學效果進行建模，并對所得到的轉移概率矩陣進行分析，提出了進步矩與進步度的概念，使用進步度作為評價教學效果的新標準，省去了傳統評價方法中計算特征方程解的過程，同時使評價結果更加直觀和客觀，計算更加簡單。

1 馬爾可夫過程基本理論

馬爾可夫過程（Markov process）是一類隨機過程。它的原始模型馬爾可夫鏈，由俄國數學家A.A.馬爾可夫于1907年提出。該過程具有如下特性：在已知目前狀態(現在）的條件下，它未來的演變（將來）不依賴于它以往的演變（過去）。時間與狀態均為離散的馬爾可夫過程為馬爾可夫鏈。

馬爾可夫鏈的概念如下[5]：

隨機序列Xn，在任一時刻n，它可以處在狀態θ1，θ2，…，θN，且它在m＋k時刻所處的狀態為qm＋k的概率，只與它在m時刻的狀態qm有關，而與m時刻以前它所處狀態無關，即有：

為k步轉移概率，當Pij（m，m＋k）與m無關時，稱這個Markov鏈為齊次Markov鏈，此時Pij（m，m＋k）＝Pij（k）。特別的，當k＝1時，Pij（1）稱為一步轉移概率，簡稱為轉移概率，記為aij，所有轉移概率aij，1≤i，j≤N可以構成一個轉移概率矩陣，即

可見，k步轉移概率矩陣P（k）與一步轉移概率矩陣P之間的關系為P（k）=Pk。

完全描述一個馬爾可夫鏈，除轉移概率矩陣外，還必須引進一個初始狀態概率矢量S＝（s1，…，sN），其中N為狀態數。K個階段后的狀態向量可以由切普曼——格爾莫各洛夫方程得到：

2 教學效果評價的馬爾可夫模型建立

2.1 傳統的教學效果評價模型的建立

教學過程是一個隨機過程，因此可以用馬爾可夫鏈的方法對教師教學效果做出評價，并在假設教學水平不變的前提下預測其將來的教學效果。

2.2 基于進步矩與進步度的教學效果評價分析

在上述討論過程中，我們要想得知一位教師的教學效果，首先應從其以往教學成績中得出轉移概率矩陣，然后解其特征方程，這是一個相對復雜的過程，為此，我們引入進步矩與進步度的概念，以更簡潔有效地對教學效果進行評價。

假設我們得到的某教師的轉移概率矩陣為

學生成績的優、良、中、合格、不及格五個等級，可以看到a12為本次考試為優的學生中下次轉為良的概率，其它各元素意義類似。仔細分析此概率矩陣可以得到以下結論：

（1）主對角線上各元素代表在兩次考試中等級沒有發生變化的概率；

（2）下三角元素代表本次考試成績變為更好等次的概率；

（3）上三角元素代表本次考試成績變為更差等次的概率。

利用以上規律，我們給出以下概念：

進步矩（r）：轉移概率矩陣中元素下標的差值，定義為r=i-j；它表示在兩次考試中，成績等級的差值，如元素a31的進步矩為2，a13的進步矩為－2。

3 實例分析

3.1 用傳統方法建立馬爾可夫教學模型并進行評價

以某校兩位教師所帶甲、乙兩個班的成績為依據，在兩次考試中甲、乙兩班的成績轉移情況如表1和表2所示。

表1 甲班成績轉移情況表

表2 乙班成績轉移情況表

甲班中上次成績為優的14名同學中，分別有12名、1名、1名、0名、0名在本次成績中轉變為優、良、中、及格與不及格，其余數據意義類似。

由此，我們可以得到兩個班的轉移概率矩陣分別為：

假設在教師的教學水平不變的前提下，我們通過解方程組SP＝S，即可以得出平衡時的等級分布。對甲班，有

解得平衡狀態下甲班的成績等級分布向量為

同理，可解得平衡狀態下乙班的成績等級分布向量為

3.2 基于進步矩與進步度的評價結果

根據前面所給出的定義，甲乙兩矩陣的進步度分別為：

3.3 結果分析

由以上分析可見，利用馬爾可夫過程理論對教學效果進行評價，不需要大量的歷史數據，不需要考慮學生在某次考試中的波動性和隨機性，計算簡單且效果直觀，既可以對教師的教學效果做出短期預測，也可以做出長期預測，這是該理論在應用中優越性的最明顯的體現。

通過舉例，我們分別求出了甲乙兩班在穩定狀態下的成績等級分布情況，兩個班的成績質數相同，即經過足夠長時間的教學之后，兩個班的平均成績趨于相同，這樣似乎無法區別兩位教師的教學效果。而本文的創新之處在于提出了進步度的概念，雖然兩班平衡狀態下的平均成績相同，但是乙班的進步度略大于甲班。

進步度概念的提出，使我們在評價教學效果時不僅要考慮總體平均成績，更要考慮學生在成績等級間的變化情況，使評價依據更充分，更客觀。

值得注意的是，我們在建立轉移概率矩陣時所用到的兩次成績，并不是指具體兩次考試中的成績，而是指“兩個”成績，其中的每個成績可以是一個階段的成績的均值，也可以是其統計分析的結果，這樣可以克服數據選取上的偶然性對分析結果的影響，使評價更加客觀真實。

4 結論

本文提出了一種基于馬爾可夫過程評價教學效果的新方法，給出了成績質數、進步矩與進步度的概念，克服了傳統評價方法的缺點，對于更好地評價教學效果有很好的指導意義和實用價值。

［1］趙德龍，鄭家恒.教學效果的齊次馬爾可夫鏈分析軟件開發研究［J］.山西大學學報，1994，17（1）：30-34.

［2］葛正洪.教學質量的時齊馬爾可夫鏈評價法［J］.數理統計與管理，1996（1）：30-37.

［3］高娃.教學質量的馬爾可夫鏈評估法［J］.內蒙古財經學院學報，2003，1（3）：82-83.

［4］楊歡.教學質量的馬爾可夫鏈評估法［J］.重慶文理學院學報（自然科學版），2008，27（3）：22-25.

［5］謝錦輝.隱Markov模型（HMM）及其在語音處理中的應用［M］.武漢：華中理工大學出版社，1995.