基于分?jǐn)?shù)Fourier變換的機(jī)械故障源盲分離方法的研究

李志農(nóng)，呂亞平，岳秀廷

(1.南昌航空大學(xué) 無(wú)損檢測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室,南昌 330063；2.鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,鄭州 450001)

盲源分離(Blind Source Separation,BSS)在機(jī)械多故障源信號(hào)的分離中已獲得了成功的應(yīng)用[1-3]。然而，機(jī)械設(shè)備發(fā)生故障時(shí)往往表現(xiàn)為非平穩(wěn)性，現(xiàn)有的機(jī)械故障源信號(hào)的分離方法是限于非高斯、平穩(wěn)且相互獨(dú)立的源信號(hào)，由于忽略了信號(hào)的非平穩(wěn)特性，而不能真正實(shí)現(xiàn)有效分離，甚至分離效果極差。

時(shí)頻分布是一類描述信號(hào)的譜成分隨時(shí)間變化的變換，其以某種方式同時(shí)描述信號(hào)在時(shí)間和頻率上的能量或密度，是非平穩(wěn)信號(hào)分析的有力工具。因此，將現(xiàn)有的機(jī)械故障診斷的BSS方法推廣到時(shí)頻域中，借助信號(hào)的時(shí)頻分析，可以達(dá)到機(jī)械設(shè)備多故障分離的目的。

基于時(shí)頻分析的BSS方法已經(jīng)取得一些進(jìn)展[4-8]，并在機(jī)械設(shè)備非平穩(wěn)信號(hào)盲分離中獲得了成功應(yīng)用。然而，現(xiàn)有的基于時(shí)頻分析的機(jī)械源分離方法仍局限于Cohen類時(shí)頻分布，并沒(méi)有推廣到其他的時(shí)頻分布方法領(lǐng)域中。因此，有必要研究基于其他時(shí)頻分析的機(jī)械設(shè)備故障源的分離。

分?jǐn)?shù)Fourier變換(Fractional Fourier Transform,FRFT)最早由文獻(xiàn)[9]在1980年以數(shù)學(xué)形式提出。其作為一種新的時(shí)頻分析方法，是對(duì)經(jīng)典Fourier變換的推廣，是一種處理非平穩(wěn)信號(hào)的有力工具。結(jié)合FRFT和BSS各自優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)[10]介紹了一種基于FRFT的盲分離方法。在此基礎(chǔ)上，本文提出了一種基于FRFT的機(jī)械設(shè)備非平穩(wěn)信號(hào)盲分離方法，為方便起見，稱之為FRFT-BSS方法，并進(jìn)行仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 FRFT-BSS方法

將分?jǐn)?shù)Fourier變換和BSS結(jié)合起來(lái)應(yīng)用到機(jī)械設(shè)備非平穩(wěn)信號(hào)的盲分離中，這一研究思路來(lái)源于兩種信號(hào)分析方法的各自特點(diǎn)。BSS是在未知源信號(hào)和傳輸通道參數(shù)的情況下，根據(jù)輸入源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，僅由觀測(cè)信號(hào)恢復(fù)出源信號(hào)的過(guò)程，對(duì)多種信號(hào)的混迭分離具有很強(qiáng)的針對(duì)性。而FRFT是一種處理非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法，可同時(shí)從時(shí)域和頻域(或空間域)揭示信號(hào)特征。將FRFT引入到機(jī)械故障源分離中，可充分利用故障信號(hào)的非平穩(wěn)性。基于FRFT的機(jī)械故障BSS過(guò)程可用圖1描述。

圖1 基于FRFT的機(jī)械源分離過(guò)程

由圖1可知，該過(guò)程主要包括3個(gè)重要步驟。

第一步：對(duì)觀測(cè)信號(hào)x(t)進(jìn)行白化處理。

考慮無(wú)噪聲的BSS模型：

x(t)=As(t)

(1)

式中：x(t)=[x1(t),x2(t),…，xM(t)]T是M個(gè)觀測(cè)信號(hào)，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sN(t)]T是N個(gè)不同的機(jī)械設(shè)備故障源信號(hào)，A為一個(gè)未知滿秩的M×N的混合矩陣。

定義觀測(cè)信號(hào)x(t)的自相關(guān)函數(shù)為:

Rx=E[x(t)x(t)*]

(2)

其中，上標(biāo)*表示復(fù)共軛，Rx的特征值分解得到其特征根和相應(yīng)的特征向量，這里，其N個(gè)最大的特征根和相應(yīng)的特征向量分別用λ1,…,λN和h1,…,hN表示。假設(shè)受到的干擾為白噪聲，則噪聲方差σ2的估計(jì)是Rx的M-N個(gè)最小特征值的平均。白化信號(hào)z(t)=[z1(t),…,zN(t)]T可由下式得到：

(3)

其白化矩陣為：

40年來(lái)，我國(guó)新聞出版市場(chǎng)體系與要素市場(chǎng)建設(shè)工作穩(wěn)步推進(jìn)。1988年新聞出版署提出“三放一聯(lián)”的圖書發(fā)行體制改革思路時(shí)，就明確指出要“搞活圖書市場(chǎng)”。1996年《關(guān)于培育和規(guī)范圖書市場(chǎng)的若干意見》，進(jìn)一步明確提出建立全國(guó)統(tǒng)一的圖書市場(chǎng)的發(fā)展目標(biāo)。2016年，新修訂的《出版物市場(chǎng)管理規(guī)定》將“建立全國(guó)統(tǒng)一開放、競(jìng)爭(zhēng)有序的出版物市場(chǎng)體系”作為我國(guó)新聞出版市場(chǎng)建設(shè)的總目標(biāo)。通過(guò)以上舉措，現(xiàn)已徹底改變了改革開放前我國(guó)主要以單一的出版物產(chǎn)品市場(chǎng)為主的市場(chǎng)建設(shè)格局，逐步建立起了包括人才、技術(shù)、信息、行業(yè)組織與中介等要素市場(chǎng)協(xié)調(diào)發(fā)展的完整的出版市場(chǎng)體系。

(4)

這里，上標(biāo)H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)(1)式左乘一個(gè)白化矩陣W，得到白化觀測(cè)信號(hào)，即：

z(t)=Wx(t)=WAs(t)=Us(t)

(5)

白化后的信號(hào)是一個(gè)源信號(hào)的“酉矩陣混合”。

這樣，一個(gè)混合矩陣A的確定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)酉矩陣U的確定問(wèn)題。

第二步：計(jì)算白化觀測(cè)信號(hào)的FRFT[11]，并估計(jì)廣義相關(guān)矩陣。

為了方便起見，將(1)式改寫成下列形式：

X=S·AT

(6)

廣義相關(guān)矩陣為：

(7)

(8)

式中：Wl=diag(wl[1],wl[2],…,wl[T])，wl[1],wl[2],…,wl[T]是一個(gè)窗函數(shù)系列， 對(duì)于每一個(gè)l，其窗函數(shù)的長(zhǎng)度為Tl。

此時(shí)，廣義相關(guān)矩陣可以表示為：

(9)

假設(shè)觀測(cè)信號(hào)X的FRFT用YPl來(lái)加以描述，即YPl=FPlX=DlX，則(9)式可以重寫為：

(10)

通常這些矩陣是未知的。因此，需要采用文獻(xiàn)[6]提供的計(jì)算式來(lái)估計(jì)，如下式：

(11)

第三步：對(duì)估計(jì)的廣義相關(guān)矩陣進(jìn)行近似聯(lián)合對(duì)角化[12]，得到源信號(hào)的估計(jì)。

(12)

該方法的特點(diǎn)是只要源信號(hào)具有不同的FRFT，就可以實(shí)現(xiàn)有效分離。與其他基于時(shí)頻分析的盲分離算法相比，其具有兩大優(yōu)勢(shì)：(1)不必假定信號(hào)的能量隨時(shí)間而變；(2)不需要在時(shí)頻域選擇點(diǎn)上的預(yù)處理階段。

2 試驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證該方法的有效性，將該方法應(yīng)用到軸承故障分離中。試驗(yàn)是以標(biāo)準(zhǔn)軸承內(nèi)、外圈混合故障進(jìn)行測(cè)試。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速1 750 r/min，采樣頻率fs=12 kHz，通過(guò)電火花機(jī)在軸承內(nèi)、外圈溝道中央位置上加工微小凹坑來(lái)模擬點(diǎn)蝕故障，試驗(yàn)軸承的參數(shù)為：鋼球數(shù)Z=9，鋼球直徑Dw=8 mm,球組節(jié)圓直徑Dpw=40 mm，接觸角α=0，通過(guò)軸承故障特征頻率計(jì)算公式可得：軸承內(nèi)圈故障頻率為158 Hz，外圈故障頻率為105 Hz，軸承基頻為29 Hz，選取1 024個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分析。

當(dāng)軸承的內(nèi)圈故障、外圈故障同時(shí)存在時(shí)，將傳感器分別置于軸承外圈和軸承座上方測(cè)得的兩路觀測(cè)信號(hào)如圖2所示。然后采用本文提出的方法對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行分離，分離的信號(hào)波形如圖3所示。

圖2 觀測(cè)信號(hào)波形圖

圖3 估計(jì)信號(hào)波形

由圖3可知，分離的信號(hào)明顯反映出周期性沖擊信號(hào)。對(duì)分離信號(hào)進(jìn)行功率譜分析，如圖4所示。

由圖4的第1個(gè)圖形中可以看出，除了在軸承基頻29 Hz處出現(xiàn)峰值外，在頻率105 Hz，210 Hz處也出現(xiàn)明顯峰值，而該頻率正好對(duì)應(yīng)著軸承外圈故障的特征頻率。圖4的第2個(gè)圖形對(duì)應(yīng)軸承內(nèi)圈故障，明顯反映出軸承內(nèi)圈故障的特征頻率158 Hz，除此之外，在軸承基頻2倍頻處也出現(xiàn)了峰值。因此，該方法能夠很好地分離開軸承內(nèi)、外圈故障，試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的有效性。

圖4 估計(jì)信號(hào)的功率譜

在例子中，也采用了如JADE，F(xiàn)astICA等傳統(tǒng)的盲分離方法對(duì)該信號(hào)進(jìn)行分離，同樣也能得到軸承故障的有效分離，但分離效果存在差異，為了比較，引入誤差指標(biāo)對(duì)機(jī)械源信號(hào)的分離效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。誤差指標(biāo)ERR的定義式為：

(13)

表1 分離誤差指標(biāo)的比較 %

由上表可知，F(xiàn)RFT-BSS的分離誤差小于傳統(tǒng)的BSS方法，可較好地分離機(jī)械設(shè)備非平穩(wěn)故障源。

另外，在FRFT-BSS方法中，最優(yōu)分?jǐn)?shù)階的選擇是非常重要的，采用步進(jìn)選擇的方法在實(shí)例中實(shí)現(xiàn)。具體做法是將階數(shù)p在一定范圍(0≤p≤2)按某個(gè)步長(zhǎng)(比如0.1)進(jìn)行步進(jìn)嘗試以選取最優(yōu)的p值。如果階數(shù)p要求有較高的精確度的話，可以采用多次步進(jìn)選擇的方法來(lái)達(dá)到相應(yīng)的精度要求。

3 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種基于FRFT的機(jī)械故障源盲分離方法，試驗(yàn)結(jié)果表明該方法有效。與傳統(tǒng)的機(jī)械故障源分離方法相比，由于該方法充分利用了故障信號(hào)的非平穩(wěn)性而得到了更好的分離效果。而且在實(shí)施過(guò)程中，不需要在預(yù)處理階段在時(shí)頻域范圍選擇特殊的(t,f)點(diǎn)。該研究為機(jī)械設(shè)備非平穩(wěn)信號(hào)的BSS提供了一種新的方法。