簡述勾股定理逆定理的3次教學

●林金瑛 (溫嶺中學實驗學校 浙江溫嶺 317500) ●朱 哲 (浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004)

數(shù)學史有助于教師的教學和學生的學習，具有獨特的教育價值.1972年，在第2屆國際數(shù)學教育大會上，成立了數(shù)學史與數(shù)學教育關(guān)系國際研究小組(簡稱HPM)，標志著數(shù)學史與數(shù)學教育關(guān)系作為一個研究領(lǐng)域的出現(xiàn).之后，隨著HPM研究的深入開展，學術(shù)界日益注重數(shù)學史融入數(shù)學教學可操作性具體方法的探討，以及數(shù)學史在數(shù)學教育中作用的實際證據(jù)的獲取.對前一個問題，筆者做了一次教學嘗試：對人教版《數(shù)學》八年級第18章《勾股定理》中勾股定理逆定理的第一課時進行了3次遞進式的教學設(shè)計，后一次都是在前一次的基礎(chǔ)上進行了改進，每一次教學后都進行了反思.現(xiàn)把此教學設(shè)計呈現(xiàn)如下.

1 勾股定理逆定理的3次教學設(shè)計

1.1 第1次教學設(shè)計

(1)知識回顧、引入課題：回顧直角三角形的性質(zhì);回顧直角三角形的判斷方法.由問題“可否從三角形的邊的關(guān)系來判斷三角形的形狀”引出課題.

(2)觀察：幻燈片出示教科書上的圖片(如圖1)——古埃及人將一根繩子圍成直角三角形.

(3)探究活動：學生根據(jù)給定3條邊的長度畫三角形;找出三角形的最長邊的平方與其他2條邊的平方和的關(guān)系;測量三角形的最大角;判斷三角形的形狀;猜想邊長滿足怎樣的數(shù)量要求時，三角形才可能是一個直角三角形.

(4)證明猜想.

(5)互逆命題、互逆定理教學，給出勾股定理逆定理的名稱.

(6)書本例題教學.

圖1

(7)鞏固練習.

(8)課堂知識小結(jié).

教師反思 本次設(shè)計的引入，是很多教師在平時的教學過程中所采用的“溫故知新”式引入，筆者直接地、也毫無生趣地引入了課題.然后由特殊到一般、從猜想到證明，得出了勾股定理的逆定理，最后讓學生在例題練習中掌握逆定理的作用.雖然大部分學生能正常地完成學習任務(wù)，但是整節(jié)課中學生的反應(yīng)平淡，教學在波瀾不驚中完成.

但是筆者正是為這節(jié)課的波瀾不驚而苦惱.勾股定理及其逆定理是人類智慧的結(jié)晶，對初次接觸的學習者來說應(yīng)該是十分神奇的.如何才能改變學生平淡的反應(yīng)，讓勾股定理的逆定理給學生留下深刻的印象呢?筆者上網(wǎng)查閱有關(guān)勾股定理逆定理的資料，征求同事意見，對其教學作了重新設(shè)計.

1.2 第2次教學設(shè)計

(1)古埃及壁畫引入：幻燈片出示古埃及底比斯壁畫，學生欣賞壁畫.壁畫描述的是古埃及人在拉繩測量.教師提問：很多幾何知識就是源自古埃及人的日常勞作，他們還會用一根繩子圍出一個直角三角形，你會嗎?

(2)活動1：學生分組活動，嘗試將一根繩子圍成一個直角三角形.然后教師向?qū)W生展示古埃及人將一根繩子圍成直角三角形的圖片，再由學生代表上講臺仿效古埃及人演示.由問題“古埃及人的做法的依據(jù)是什么”引出課題.

(3)活動2：與第1次教學設(shè)計的步驟(3)相同.(4)活動3：幾何畫板驗證猜想.

(5)以下教學步驟與第1次教學設(shè)計的步驟(4)～(8)相同.

教師反思 第2次教學設(shè)計與第1次教學設(shè)計相比，主要有以下幾點變化：

(1)由單調(diào)的溫故知新式引入改為壁畫引入，多了歷史的色彩.讓學生回溯歷史，感受古埃及人的聰慧，同時為古埃及人能用一根繩子圍成一個直角三角形作了鋪墊.

(2)通過查閱大量的圖片資料，筆者得知人教版的插圖(圖1)是有謬誤的，圖1的人物其實是古希臘人的造型，因此在第2次教學設(shè)計中，筆者使用了日本教科書《中學數(shù)學》中的插圖，在尊重歷史的同時也把握了數(shù)學教學的嚴謹.

(3)在第1次教學設(shè)計中，學生單純地看圖1得知古埃及人得到直角三角形的作法，馬上就進行畫三角形探究.在第2次教學設(shè)計中，活動1是讓學生分小組交流，動手去操作，嘗試如何用一根繩子去圍成一個三角形.在短時間內(nèi)，學生們當然是無法找到正確的做法.對于學生“自以為是”的圍法，教師在班內(nèi)進行點評指出其錯誤.正是在切身體驗古埃及人如何將一根繩子圍成一個三角形，學生在思考后遭遇到碰壁，這樣才會迸發(fā)出更大的學習熱情，教師也籍此鼓勵他們認真學習本節(jié)新課知識，再為古埃及人的做法揭秘.

(4)在得出猜想后，第2次教學設(shè)計比第1次教學設(shè)計多了幾何畫板演示.

筆者在第2次的教學工作完成后，回顧2個班級學生反應(yīng)的差別.在課堂前15分，學生反應(yīng)明顯比第1次所教班級的學生活躍，后30分，學生反應(yīng)趨于平淡.總的來說，學生課堂學習的參與程度比第1次所教班級要高.在課堂前15分，為什么第2次所教班級學生的反應(yīng)更活躍呢?筆者認為原因就在于在第2次教學設(shè)計中融入了數(shù)學史的素材，讓學生重溯到古埃及拉繩測量的時代，在沒有任何現(xiàn)代數(shù)學工具的幫助下親身體驗如何用一根繩子圍出直角三角形.這個活動將會讓他們深深記在心里.于是，筆者不禁再次思考，如何充分挖掘數(shù)學史的素材，讓學生能在這節(jié)課中更活躍，對這個偉大的勾股定理的逆定理印象更深刻呢?于是筆者查找到了更多的數(shù)學史資料，對本節(jié)課進行了第3次的教學設(shè)計.

1.3 第3次教學設(shè)計

(1)古埃及壁畫引入：學生欣賞壁畫，教師介紹壁畫內(nèi)容及歷史資料(譬如“司繩”名稱的來源).教師提問：很多幾何知識就是源自古埃及人的日常勞作，他們會用一根繩子圍出一個直角三角形，你會嗎?

(2)～(4)與第2次教學設(shè)計的步驟(2)～(4)相同.

(5)～(7)與第1次教學設(shè)計的步驟(4)～(6)相同.

(8)學生活動——考古：教師出示巴比倫時期的一塊泥板，該泥板上有3列文字(如圖2)，學生分小組活動，用計算器探究 a，b，c之間的關(guān)系.

(9)課堂知識回顧.

(10)課外知識拓展：教師將幾何知識與代數(shù)知識相結(jié)合，介紹古希臘數(shù)學家丟番圖在《算術(shù)》中的問題：關(guān)于x，y，z的方程x2+y2=z2有無數(shù)組正數(shù)解.再介紹費馬大定理的相關(guān)知識：費馬猜想的由來及懷爾斯因證明費馬猜想而獲得了1996年的沃爾夫獎.

(11)課堂結(jié)束語：同學們，學習前人敢于思考、探索的精神，做科學知識的有心人吧!

教師反思 第3次教學設(shè)計與第2次教學設(shè)計相比，有如下幾點改變：

(1)仍以壁畫引入，但比第2次教學設(shè)計更突出拉繩的主題，介紹古埃及負責測量的人叫“司繩”，突出繩子在古埃及時期的作用，更加重了本節(jié)課的歷史色彩.

(2)刪減了前2次教學中的反復(fù)練習題，改為以“考古”為主題的學生探究活動.

(3)第2次教學設(shè)計是以知識回顧作為最后的總結(jié)，而第3次教學設(shè)計則是以知識拓展——介紹數(shù)學史上人物及著名的猜想、定理作為最后的總結(jié).

與前2次的教學設(shè)計相比，第3次教學設(shè)計中學生的反應(yīng)更活躍、課堂參與程度最高.在“考古”活動中，由于好奇心的驅(qū)使，學習氣氛活躍，幾乎是全員參與.在最后的知識拓展環(huán)節(jié)中：當筆者問不定方程x2+y2=z2有幾組解時，學生很快地能將幾何知識遷移、很快地回答并舉例說明;當筆者讓學生思考不定方程xn+yn=zn解的情況時，學生討論得十分熱烈;當筆者講費馬故事時，學生臉上的表情既有對費馬鉆研精神的欽佩，又有對費馬猜想的好奇，那時候沒有一個學生是置身課堂之外的，他們都被費馬吸引了;當教師介紹費馬猜想出現(xiàn)300年后，懷而斯終于給予了證明，并將費馬猜想稱為費馬大定理的時候，全體學生不禁歡呼.筆者在課堂的最后也被學生激昂的情緒所感動.

圖2

2 3次教學后的收獲

縱觀勾股定理逆定理第1課時的3次教學設(shè)計，當課堂教學融入數(shù)學史的內(nèi)容之后，筆者明顯感受到了以下變化.

2.1 提高了學生學習數(shù)學的興趣

第1次的教學設(shè)計沒有挖掘勾股定理逆定理背后的數(shù)學史，從溫故知新式引入到新知講解、新知應(yīng)用、新知小結(jié).整節(jié)課學生反應(yīng)平淡，更有不少學困生上課走神，根本無法參與課堂教學.當筆者在第2次教學設(shè)計中由埃及壁畫引入，讓學生不僅通過觀察壁畫、而且親身嘗試古埃及人的圍直角三角形去感受數(shù)學史，學習數(shù)學文化背景下的勾股定理的逆定理，他們的反應(yīng)明顯比第1次教學設(shè)計中的學生活躍.當然，第2次教學設(shè)計的后大半部分和第1次差不多，一部分學生無法將注意力集中到最后.于是在第3次教學設(shè)計中，筆者挖掘了練習方面以及最后小結(jié)的數(shù)學史資料，學生們很感興趣，深深地被課堂內(nèi)容所吸引，從開始到最后，筆者發(fā)現(xiàn)學生幾乎沒有一個開小差，課堂效率比較高.

課后，筆者在第1次教授班級與第3次教授班級作了問卷調(diào)查.3次教學的班級各不相同，第1次和第3次是在筆者所任教的2個班級進行教學的，第2次是借班上課，而且第3次是公開課.前者對該節(jié)課很感興趣的學生占班級總體的37%，后者占班級總體的82%.這樣的結(jié)果令筆者興奮不已.確實，將數(shù)學史融入課堂教學以改善課堂環(huán)境可以培養(yǎng)學生的學習興趣與積極性，從真正意義上把學生從厭煩的學習情緒中解放出來，引導他們積極主動地學習數(shù)學.有了興趣及動力，學生的數(shù)學素養(yǎng)、成績自然會跟著提高了.

2.2 有效利用了課堂的時間

在沒有利用數(shù)學史的第1次教學設(shè)計中，筆者設(shè)計的練習較多，但是因為學生的興趣不高、注意力不集中，結(jié)果只是反復(fù)訓練注意力集中的學生.這些注意力集中的學生又往往成績較好，對他們來說做一題練習的效果可能已經(jīng)等于做多題了.總之，筆者所設(shè)計的練習其實是浪費了很多學生的時間.

筆者將數(shù)學史融入課堂教學后，學生上課時精神集中，對學習內(nèi)容表現(xiàn)出很大的興趣.雖然數(shù)學史的內(nèi)容講解占用了一些時間，但是卻提高了課堂效率.筆者的練習量是少了，但是學生做題質(zhì)量卻高了，真正有效地利用了課堂的時間.

2.3 增進了師生間的情感交流

筆者在第1次教學中，因為學生對教學內(nèi)容不感興趣，所以課堂氣氛平淡，筆者自己也提不起教學激情.在教學設(shè)計改編后，學生在被數(shù)學史吸引的同時筆者也深受感染，課堂環(huán)境改善了，師生的情感交流也增多了.陳景潤就是因為在小時候受到數(shù)學教師在課堂上所講的數(shù)學名題的影響，而逐步成長為一個數(shù)學家的.對學生來說，教師在課堂上所講的數(shù)學史可能影響的不僅僅是一節(jié)課，還可能會影響人的一生.對筆者來說，為數(shù)學史能帶給學生的教育意義與教育效果而感慨的同時，又深感教師教學的責任重大.

數(shù)學家龐加萊說過：“如果我們要預(yù)見數(shù)學的未來，適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史和現(xiàn)狀”.作為一名數(shù)學教師，如果把數(shù)學和它的歷史割裂開來，那么他的損失將是最大的.因為數(shù)學史有助于教師教學和學生學習，它具有獨特的教育價值，它對學生良好人格的形成、數(shù)學興趣的提升、創(chuàng)造精神的培養(yǎng)都有著無可替代的作用.數(shù)學教師應(yīng)當關(guān)注每個知識點背后的數(shù)學史，將數(shù)學史更好地融入到教學當中.

［1］ 張維忠，汪曉勤.文化傳統(tǒng)與數(shù)學教育現(xiàn)代化［M］.北京：北京大學出版社，2006.

［2］ 張維忠.文化視野中的數(shù)學與數(shù)學教育［M］.北京：人民教育出版社，2005.

［3］ 張維忠，徐曉芳.基于數(shù)學文化的教學案例設(shè)計述評［J］.浙江師范大學學報：自然科學版，2008，31(3)：246-250.

［4］ 朱哲.日本教科書《中學數(shù)學》中的“勾股定理”［J］.數(shù)學教學，2008(12)：37-40.

［5］ 朱哲.數(shù)學教科書中“勾股定理”編寫存在的問題［J］.中學數(shù)學雜志(初中)，2008(6)：4-6.