投資和干擾下的Erlang(2)模型的破產概率＊

郭東林

(商丘師范學院數學系,河南商丘476000)

投資和干擾下的Erlang(2)模型的破產概率＊

郭東林

(商丘師范學院數學系,河南商丘476000)

討論了投資和干擾下的Erlang(2)風險模型的破產概率.首先得到該模型的盈余過程具有平穩獨立增量性;其次,利用鞅方法獲得了該模型破產概率的顯式表達式以及它的一個上界估計.

Erlang(2)風險模型;投資;破產概率

Erlang過程是一個在理論研究和工程實踐中都非常重要的隨機過程,它在金融風險建模以及控制論中有著廣泛的應用.文獻[1]研究得到了無干擾下Erlang(2)風險模型破產概率,但在保險公司的實際經營過程中風險模型的盈余過程經常受到不可抗拒因素的干擾.根據這一實際情況,文獻[2～4]等考慮了干擾下的風險模型的破產問題.同時,文獻[5,6]從投資角度出發研究了投資下的風險模型.本文在此啟發下研究了投資和干擾下的Erlang(2)模型破產概率.

1 投資和干擾下的Erlang(2)模型結構

考慮到保險公司用收取的保費進行投資和在實際經營過程中經常受到通貨膨脹等不可抗拒因素的干擾,本節討論的風險模型結構如下:

式中:1)R(t)表示保險公司到時刻t的盈余,u表示初始資本,z反映根據初始資金的大小及單位時間內預測賠款額大小而設定用于投資的資金,j表示單位時間的投資收益,c表示單位時間的保費收入;

3){Xi,i≥1}是一列獨立同分布的非負隨機變量,表示每個索賠時刻的索賠額,具有相同的分布函數F(x),且獨立于{Tn,n≥1}; 4){Bt,t≥0}是標準布朗運動,并且假定是相互獨立的.

2 主要結論及證明

證明 令0≤t0

因此{S(t),t≥0}是獨立增量過程.又因為

引理1[4]設(Ω,F,P)為一完備的概率空間,Bt為標準的布朗運動,對于一個幾乎處處有限的停時序列{Sn,n≥1},若{Sn-Sn-1,n≥1}獨立同分布,則{BSn-BSn-1,n≥1}獨立同分布.

定理2 對于盈利過程{S(t),t≥0},定義σ-代數Fn=σ{S(k),k=0,1,2,…,n},則Mu(n)=是一個鞅.

證明 因為{S(t),t≥0}有平穩獨立增量,S(0)=0,又由引理1知,對?k

所以Mu是一個鞅.

令Nu則Nu表示導致保險公司盈余為負即破產的索賠次數,此時破產概率可以由下面的定理得到.

定理3 對于投資和干擾下的Erlang(2)模型,保險公司因索賠引起的破產概率為:

并且該模型的破產概率的一個上界為ψ(u)≤exp{-γu}.

證明 由Nu的定義可知,它是{Fn,n=0,1,2,…}的一個停時,而且對于?n0<∞,n0∧Nu= min(n0,Nu)也是停時,由鞅的停時定理可知

對于n0

由大數定律可知當n0→∞時,R(n0)→∞,從而

而當r=γ時,g(γ)=1,則式(3)可化為

所以風險模型的破產概率為

又因為R(Nu)<0,所以E[exp{-γR(Nu)}|Nu<∞]≥1,因此ψ(u)≤exp{-γu}.

[1]Dickson D C M,Hipp C.Ruin probabilities for Erlang(2)risk process[J].Insurance:Mathematics and Economics,1998,22 (3):251-262.

[2]Dufresne F,Gerber H U.Risk theory for the compound poisson process that is perturbed by diffusion[J].Insurance:Mathematics and Economics,1991,10(1):51-59.

[3]Zhang C,Wang G.The joint density function of three characteristics on jump diffusion risk process[J].Insurance:Mathematics and Economics,2003,32(3):445-455.

[4]鄒捷中,張振中.帶隨機擾動的Erlang(2)模型的破產概率[J].株洲工學院學報,2006,20(4):8-11.

[5]Paulsen J.Sharp conditions for certain ruin in a risk processwith stochastic return on inves tments[J].Stochastic ProcessAppl, 1998,75(1):135-148.

[6]黎鎖平,劉琪.投資和干擾具有隨機保費的離散風險模型[J].高校應用數學學報,2009,24(1):9-14.

Ru in Probability for Erlang(2)RiskModel with I nvest ment and I nterference

GUO Dong-lin

(Depar tment ofMathematics,Shangqiu Normal College,Shangqiu Henan 476000,China)

The ruin probability for Erlang(2)risk modelwith investment and interference is considered in this paper.Firstly,the stationary increment properties of profit process is obtained.Secondly,using the martingale method,the explicit expression and an upper bound estimation of ruin probability are derived.

Erlang(2)risk model;investment;ruin probability

book=9,ebook=391

O 211.6

A

1673-2103(2010)05-0014-03

2010-08-17

河南省自然科學基金資助項目(2010A110015)

郭東林(1982-),男,河南商丘人,助教,碩士,研究方向:保險精算.