Hilbert空間中嚴格偽壓縮映射下迭代的收斂性問題

張國輝，王 彥，趙國傳，孫 平

(1.大慶師范學院 數(shù)學科學學院，黑龍江 大慶 163712；2.大慶市鉆探工程公司 鉆技一公司，黑龍江 大慶 163000)

1 預備知識

設H是實Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集，φ:C×C→R是雙重函數(shù)，均衡問題是指：找到x∈C，使得

φ(x,y)≥0,?y∈C

(1)

我們將(1)的解集記作EP(φ)。

映射T稱為k(0≤k<1)嚴格偽壓縮映射，如果T滿足

‖Tx-Ty‖2≤‖x-y‖2+k‖(I-T)x-(I-T)y‖2,?x,y∈D(T)

引理1[1]：在實Hilbert空間H，下列結(jié)論成立：

(i)‖x-y‖2=‖x‖2-‖y‖2-2,?x,y∈H；

(ii)‖tx+(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x-y2‖,?t∈[0,1],?x,y∈H；

(iii) 如果H中序列{xn}弱收斂于z，那么

引理2[1]：設C是實Hilbert空間H的非空閉凸子集，T:C→C是一k(0≤k<1)嚴格偽壓縮映射，則有

(ii)若C中序列{xn}弱收斂于q，且(I-T)xn→0，則(I-T)q=0；

(iii)T的不動點集F(T)是閉凸集。

為了研究均衡問題，我們不妨假設φ:C×C→R滿足下列條件：

(Ⅰ)φ(x,x)=0；?x∈C;

(Ⅱ)φ(x,y)+φ(y,x)≤0,?x,y∈C；

(Ⅳ)對于?x∈C，映射y→φ(x,y)是凸函數(shù)，且下半連續(xù)。

引理4[3]：設C是實Hilbert空間H的非空閉凸子集，φ:C×C→R滿足(Ⅰ)-(Ⅳ)，對?x∈H，r>0，定義映射Tr:H→C如下：

則有

(i)Tr是單值映射；

(ii)Tr是非擴張映射，且‖Trx-Try‖2≤，?x,y∈H；

(iii)F(Tr)=EP(φ)；

(iv)EP(φ)是非空閉凸集合。

2 主要結(jié)果

定理1：設C是實Hilbert空間H的非空閉凸子集，S:C→C是一k(0≤k<1)嚴格偽壓縮映射,φ:C×C→R滿足(Ⅰ)-(Ⅳ),且滿足F(S)∩EP(φ)≠Φ。又設x1∈H，{xn},{yn}和{un}(n為正整數(shù))如下定義：

其中{αn},{βn}和{rn}滿足

(i)0<α≤αn≤β<1；

那么，序列{xn}，{yn}和{un}弱收斂到S與φ的同一個公共不動點。

證明：分三步證明。

第一步：我們將證明下列結(jié)論：

設?q∈F(S)∩EP(φ)，我們有un=Trnxn，于是

‖un-q‖=‖Trnxn-q‖≤‖xn-q‖，?n≥1

(2)

因為S是k(0≤k<1)嚴格偽壓縮映射及yn-Syn=βn(xn-Syn)，所以

‖yn-q‖2=‖βn(xn-q)+(1+βn)(Syn-q)‖2

≤βn‖xn-q‖2+(1-βn)‖Syn-q‖2-βn(1-βn)‖xn-Syn‖2

于是

(3)

‖xn+1-q‖2≤αn‖un-q‖2+(1-αnαn)‖Syn-q‖2-αn(1-αn)‖un-Syn‖2

≤αn‖un-q‖2+(1-αn)(‖yn-q‖2+k‖yn-Syn‖2)-αn(1-αn)‖un-Syn‖2

≤αn‖un-q‖2+(1-αn)(‖xn-q‖2-αn(1-αn)‖un-Syn‖2

≤‖xn-q‖2

(4)

設?q∈F(S)∩EP(φ)，有

由(4)可得

αn(1-αn)‖un-Syn‖2≤‖xn-q‖2-‖xn+1-q‖2

yn-Syn=βn(xn-Syn)

(5)

第二步：往證ωw(xn)?F(S)∩EP(φ)，其中

ωw(xn)={x∈H:{xn}中存在子列{xni}弱收斂于x}

事實上，因為H是自反的及{xn}是有界的，所以ωw(xn)≠Φ。

設?w∈ωw(xn)，則{xn}中存在子列{xni}弱收斂于w，又由(5)知{uni}弱收斂于w。

設yt=ty+(1-t)w，y∈C,t∈(0,1],顯然yt∈C，且φ(yt,w)≤0。于是，由(Ⅰ)和(Ⅳ)得：0≤(yt,yt)≤tφ(yt,y)+(1-t)φ(yt,w)≤tφ(yt,y)，即

φ(yt,y)≥0

又由(Ⅲ)知φ(w,y)≥0，y∈C,即證w∈EP(φ)。

第三步：我們將序列{xn},{yn}和{un}弱收斂到S與φ的同一個公共不動點。事實上，我們只須證明ωw(xn)是單點集。

因此，w1=w2，即證ωw(xn)是單點集。證畢。

定理2 ：設C是實Hilbert空間H的非空閉凸子集，S:C→C是一k(0≤k<1)嚴格偽壓縮映射，φ:C×C→R滿足(Ⅰ)-(Ⅳ),且滿足F(S)∩EP(φ)≠Φ。又設x1∈H，{xn},{yn}和{un}(n為正整數(shù))如下定義：

其中{αn},{βn}和{rn}滿足

(i)0<α≤αn≤β<1；

那么，序列{xn},{yn}和{un}強收斂于S與φ的同一個公共不動點的充分必要條件是

其中d(xn,F(S)∩EP(φ)EP(φ))表示點xn到集合F(S)∩EP(φ)的距離。

d(xn+1,F(S)∩EP(φ))≤d(xn,F(S)∩EP(φ))

3 結(jié)語

我們主要研究Hilbert空間中均衡問題和不動點問題的迭代解。我們先提出均衡問題，給出與定理相關的定義，同時給出Hilbert空間的一些特性。接著給出一個關于均衡問題的迭代，討論了Hilbert空間中在嚴格偽壓縮映射下的該迭代的弱收斂性和強收斂性問題。

[參考文獻]

[1] Giuseppe Marino,Xu Hong kun.Weak and Strong Convergence Theorems for Strict Pseudo-contractions in Hilbert Spaces[J].Math. Anal. Appl.,2007,329: 336-346.

[2] Takahashi S, Takashi W. Viscosity Approximation Methods for Equilibrium Problems and Fixed Point Problems in Hilbert Spaces[J].Math. Anal. Appl.,2007,331:506-515.

[3] Combettes P L, Hirstoaga S A. Equilibrium Programming in Hilbert Spaces [J]. Nonlinear Convex Anal.,2005(6):117-136.