不等式證明的方法探究

孫鳳芝，李 偉

(1.大慶師范學院 數學科學學院，黑龍江 大慶 163712；2. 沈陽工業大學 數學系，遼寧 沈陽 11000)

0 引言

不等式證明的基本方法很多,主要有比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、數學歸納法、函數法、換元法、判別式法等十多種方法,現在國內外有許多教師、學者對不等式的證明方法進行了系統的歸納和總結,并結合豐富的教學經驗,許多方法已經在教學實踐中得到廣泛應用,并且已經取得了非常顯著的成效。但是有關不等式證明的高等數學的方法的研究一直缺乏系統的理論層面的提升.下面主要從導數、函數的凸性、泰勒公式、排序不等式、構造法等高等數學的層面對不等式證明方法進行了探討。

1 利用概念證明不等式

1.1 利用導數證明不等式

用導數證明不等式,關鍵在于構造函數,然后在相應區間上用導數的相關知識判別其單調性,再利用單調性得到所證明的不等式。

則f′(x)=1cosx>0,g′(x)=sec2x-1>0,

即x>sinx,x

注:這個三角不等式在相關教材中是用幾何方法證明的。這里是構造函數,利用函數的單調性來證明,簡單、快捷。

1.2 利用函數的凸性證明不等式

相關定理:設f(x)為區間I上的二階可導函數,則在I上f(x)為凸函數的充要條件是f″(x)≥0,x∈I。

例2：利用函數的凸性證明:

證明:設f(x)=t″,則f′(t)=ntn-1,f″(t)=n(n-1)tn-2

當n>1時,f″(t)>0(t>0),所以f(t)是凸函數,依定義,有

f(λt1+(1-λ)t2)<λf(t1)+(1-λ)f(t2)

1.3 利用泰勒公式證明不等式

泰勒定理:若函數f(x)滿足下列條件

1)在閉區間[a,b]上函數f(x)有直到n階的連續導數；

2)在開區間(a,b)內函數f(x)有n+1階導數,則對任何x,x0,至少存在一點ξ∈(a,b),使

證明:設f(x)=x2,

即f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)

將不等式兩邊相加,得

泰勒公式是用一個次多項式來逼近函數f(x)，而此多項式具有形式簡單,易于計算等優點。所以把泰勒公式應用到不等式證明中,使問題簡單化。

2 應用重要不等式證明不等式

數學家利用不等式的基本理論和一些重要的數學方法,推導出幾個數學中最著名的不等式。這些不等式簡明優美,而且有著廣泛的應用。

排序不等式:設a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn,則有

a1bn+a2bn-1+…+anb1(倒序積和)≤a1br1+a2br2+…+anbrn(亂序積和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(順序積和)

其中r1,r2,r3…rn是1,2,…n的一個排列。

證明:考察右邊不等式,并記s=a1br1+a2br2+…+anbrn。

不等式s≤a1b1+a2b2+…+anbn的意義是:當r1=1,r2=2,…rn=n時,s達到最大值a1b1+a2b2+…+anbn。因此,首先證明an必須與bn搭配,才能使和s達到最大值。也即,設rn

證明:設b1,b2,…bn是a1,a2,…an的一個排列,且b1≤b2≤b≤…≤bn。

注:排序不等式在不等式證明中占有重要的地位,和柯西不等式十分相似,它的使用是根據需要合理的構造出兩組適當的數a1,a2,…an和b1,b2,…bn或者在不改變題目要求的前提下,規定大小關系。

3 構造法證明不等式

構造法證明不等式其實質是將不等式進行等價轉化,它以構造方程﹑數列﹑向量﹑圖形等作為主要手段。

(tanαtanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)

證明:構造方程

(tanγ-2tanα)x2-2(tanαtanβ)x+(2tanβ-tanγ)=0

1)tanγ-2tanα=0,因為tanαtanβ≥0,所以不等式成立。

2)tanγ-2tanα≠0,當x=-1時,

(tanγ-2tanα)+2(tanγ-2tanβ)+(2tanβ-tanγ)=0。

所以x=-1是方程的根。

所以 △=4(tanαtanβ)2-4(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)≥0

所以 (tanαtanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)。

注:形如β2-AC≥0(或≤0)型不等式可嘗試用構造二次方程來解。

4 結語

證明不等式的方法靈活多樣,根據待證不等式的特點,找到一種適當的方法可使問題迎刃而解。以上對不等式證明方法從導數、函數的凸性、泰勒公式、排序不等式、構造法等高等數學的層面進行了一些探討,還將在以后的研究中不斷完善。

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