冪等矩陣的相似標準型與分解形式

董慶華，王成偉

(北京服裝學院 基礎教學部，北京 100029)

0 引言

在計量經濟學中對于大多數經濟現象進行比較靜態分析的結果, 都可以合理地歸結為一個線性經濟模型Ax=b, 其中的系數矩陣A往往是一個冪等矩陣。 為此，有必要對冪等矩陣展開理論方面的深入研究。

定義1：設有n階方陣A滿足A2=A, 則稱方陣A為冪等矩陣。

顯然，n階零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣。 關于冪等矩陣，目前已有一些結論, 我們選擇其中三個作為性質列舉如下：

2) 若方陣B是冪等矩陣, 則BT和E-B也是冪等矩陣[2]；

3)若n階方陣A為冪等矩陣，則它的秩滿足R(A)+R(E-A)=n[3]。

我們將首先以線性變換的方法來構造冪等矩陣的相似標準型，然后在此基礎上研究冪等矩陣的秩和跡之間的關系，以及冪等矩陣在矩陣分解中的重要作用。

1 主要研究內容與結果

1.1 冪等矩陣的相似標準型

對角矩陣可以認為是形式最簡單的一種矩陣, 對角矩陣的特征值就是其主對角線上的全部元素, 對角矩陣的秩就等于主對角線上非零元素的個數。接下來我們以冪等矩陣的特征值為線索，探求冪等矩陣的具有對角形式的相似標準型。

定理1： 若n階方陣A為冪等矩陣, 并且A的秩R(A)=r，則存在可逆矩陣P使得

P-1AP=(Er000)

(1)

證明：在n維線性空間V中任取一組基(ε1,ε2,…εn), 定義線性變換σ在基(ε1,ε2,…εn)下的矩陣為A, 即

σ(ε1,ε2,…εn)=(ε1,ε2,…εn)A

假設Ax=λ，其中x≠0，則由λx=Ax=A2x=λ2x，得λ2=λ，所以冪等矩陣特征值為1或0。 由于矩陣A的秩R(A)=r, 故A的n個特征值中有N個1以及n-r個0, 則其特征多項式:

f(λ)=(λ-1)rλn-r

從而V可以分解為特征子空間的和:

V=Vλ=1⊕Vλ=0

先在特征子空間Vλ=1={ξ|(A-E)ξ=0,ξ∈V}中任取一組基α1,α2,…αr, 然后在特征子空間Vλ=0={ξ|Aξ=0,ξ∈V}中任取一組基β1,β2,…βn-r, 則α1,α2,…αr,β1,β2,…βn-r就是V的一組基, 顯然

Aα1=α1,Aα2=α2,…Aαr=αr,Aβ1=0,Aβ2=0,…Aβn-r=0 。

這就是說

σ(α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βn-r)=(α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βn-r)(Er000)

由于線性變換σ在不同基下的矩陣都是相似的, 因此存在可逆矩陣P使得

P-1AP=(

Er000),0≤r≤n

此時, 我們也稱(Er000)為冪等矩陣A的相似標準型。值得指出的是, 根據Hamilton - Caylay定理, 線性空間可以分解為特征子空間的和：

V=Vλ=1⊕Vλ=0

其中Vλ=1恰好構成了線性空間V的值域Imσ={σξ|ξ∈V}, 而Vλ=0恰好構成了線性空間V的核Kerσ={ξ|σξ=0}。

根據冪等矩陣的相似標準型, 冪等矩陣可以具體分為以下三種類型，并且, 其中除了單位矩陣，其他類型的冪等矩陣都是不可逆的。

當r=0時,A=POnP-1=On, 即A為零矩陣;

當r=n時,A=PEnP-1=En, 即A為單位矩陣;

當0

1.2 冪等矩陣的秩和跡

矩陣的秩和跡, 是描述矩陣的兩個基本數字特征，冪等矩陣的秩與跡之間還有如下的重要關系。

定理2：設n階方陣A為冪等矩陣, 則A的秩恰好等于它的跡，即

R(A)=Tr(A)

(2)

證明：設A為冪等矩陣, 且其秩R(A)=r, 則A存在可逆矩陣P使得

P-1AP=(Er000)

根據矩陣的秩的基本性質, 可知R(A)=R(P-1AP)=r

與此同時，考慮到矩陣的特征方程中特征根與系數的關系，可知

所以R(A)=Tr(A)

1.3 冪等矩陣的分解形式

眾所周知，任意可逆n的階實矩陣M都可以分解為一個正交矩陣和一個上三角矩陣的乘積:M=QT, 其中Q為正交矩陣,T為上三角矩陣[4]。 受此啟發, 我們來探究冪等矩陣在矩陣分解中的作用。

定理3 ：任意n階方陣M的都可以分解為一個可逆矩陣與一個冪等矩陣的乘積，即

M=KA

(3)

其中|K|≠0，A2=A。

證明：假設n階方陣M的秩R(M)=r，則存在可逆矩陣P與Q使得

PMQ=(Er000)

從而

MP-1(Er000)Q-1=(P-1Q-1)Q(

Er000)Q-1=(QP)-1(Er000)Q-1

如果令

K(QP)-1,A=Q(Er000)Q-1

則M=KA，其中

A2=Q(Er000)Q-1.Q(Er000)Q-1=Q(Er000)Q-1=A

定理4 ：若n階方陣A為冪等矩陣, 則可以分解為兩個對稱矩陣的乘積,即

A=S1S2

(4)

證明：根據冪等矩陣的相似標準型，存在可逆矩陣P, 使得

A=P(Er000)P-1=P(Er000)PT(PT)-1P-1=P(Er000)PT(PPT)-1

如果令

S1=P(Er000)PT,S2(PPT)-1

那么A=S1S2，其中

2 結語

我們以冪等矩陣的特征值為線索，相對系統地研究了它的一些基本性質。具體說來，冪等矩陣存在著對角形式的相似標準型，冪等矩陣的秩恰好等于它的跡，任意方陣都可以分解為一個可逆矩陣與一個冪等矩陣的乘積，冪等矩陣可以分解為兩個對稱矩陣之積的形式。

[參考文獻]

[1] 宿維軍.冪等矩陣與冪等變換[J].重慶文理學院學報，2008, 27(2): 28-29.

[2] 王秀芳.冪等矩陣的性質研究[J].連云港師范學院學報，2007(3): 83-84.

[3] 龔和林,舒情. 關于冪等矩陣秩的一個命題的證明和推廣[J].大學數學,2009, 25(6): 127-129.

[4] 北京大學數學系．高等代數[M]北京：高等教育出版社，1997:395-396．