一類特殊的交錯矩陣幾何

肖 旭

(長沙理工大學 數學與計算科學學院，湖南 長沙 410004)

0 引言

矩陣幾何是我國著名數學家華羅庚于20世紀40年代中期由于研究多復變函數的需要而開創的一個數學領域，它實際上將空間中的一個點看成為某一類矩陣的集合，而且有一個變換群作用在這個空間上，其基本思想是研究保持某一性質或幾類性質不變的變換群的形式，即矩陣幾何的基本定理，而研究這一形式時又是從空間中的點與點之間的距離與算術距離開始的。 交錯矩陣幾何在二次型理論和典型群中有很重要的作用。 1966年，劉木蘭[1]用極大集的方法證明了任意域上交錯矩陣幾何基本定理，后來李迎春[2]將其推廣到可交換的主理想整環上,這是一個進步。 對于某一類特殊的交錯矩陣，定理條件可不可以更弱一些而結果更簡潔一些呢？本文研究了空間中一類特殊矩陣的算術距離的映射的具體形式。

設D是一個除環，F是一個域，D上m×n矩陣的集合記作Mm×n(D)，當m×n時，簡記為Mm(D)，Fm×n表示上所有矩陣的集合，In表示Fm×n的n階單位矩陣，GLn(F)表示F上n階一般線性群，即所有的n階可逆矩陣按通常的矩陣乘法構成的群，tA及rank(A)分別表示A的轉置和秩。如果F上的n×n矩陣A滿足tA=-A且A的主對角線上的元素全為0，則稱A為交錯矩陣。 域F上所有N×n交錯矩陣的集合記作Kn(F)。所有形如(0A-tA0)的矩陣的集合，記作KS2n(F)，其中A∈Fn×n。

1 一些定義和定理

定義 1 ：設A,B∈Mm×n，定義A與B的算術距離為d(A,B)=rand(A-B)，記作d(A,B)。顯 然，d(A,B)≥0,d(A,B)=0?A=B，d(A,B)=d(B,A)，d(A,B)≤d(A,C)+d(C,B)。

定義 2：域F上的n×n矩陣A,B稱為相合的如果存P∈GLn(F)在使得tPAP=B，記作A≈B。

定義3： 設A,B∈Mm×n(D)且rank(A-B)=1，則稱A與B粘切，記作A～B。若A,B∈Kn(F)且rand(A-B)=2，則稱A與B在Kn(f)中粘切。

定義 4： 設φ是Mm×n(D)到自身的映射，對?X，Y∈Mm×n(D)如果X～Y推出φ(X)～φ(Y)，則稱φ為保粘切的映射。

定義 5：如果對所有A,B,C∈Kn(F)，d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)推出

d(φ(A),φ(B))=d(φ(A),φ(C))+d(φ(C),φ(B))，則稱映射φ保距離可加性。

引理 1[5]：設A∈Kn(F)(n≥2)，則A的秩必定為偶數，并且如果rank(A)=2r，則

A≈diag(J(r),0)≈((0Ir-Ir0)0)

其中J=(01-10)，J(r)=diag(J,…J)∈K2r(F)

引理 2[4]：設F是域，n是≥4的整數。 如果φ:Kn(F)|Kn(F)是保距離可加性的雙射，則φ是保粘切的雙射。

證明：設X,Y∈Kn(F)且A～B。 定義映射ψ:Kn(F)|Kn(F)為ψ(X)=φ(X+B)-φ(B)，則ψ也為保距離可加性的雙射且ψ(0)=0。由引理1可知，存在P∈GLn(F)使得A-B=tpdiag(J,0)P。設T=A-B+tpdiag(0,Jn-1p)(如果n=2n+1)或者A-B+tpdiag(0,Jn-1)P(如果n=2m)，則其中tP(E2i-1,2i-E2i,2i-1,J(n-1))P。因此從而有

引理 3[3]：設△是除環，m,n是≥2的整數，φ是Mm×n(D)到自身的保粘切的雙射，則

1)當m≠n時，φ形如

φ(X)=PXσQ+T,?X∈Mm×n(D)

(1)

其中P∈GLm(D),Q∈GLn(D),T∈Mm×n(D),σ是D的自同構。

2)當n=n時，除了形如(1)外，φ還形如

φ(X)=tPXτQ+T，?X∈Mm×n(D)

(2)

其中τ是D的反自同構，P,QT和(1)的意義相同。

引理 4[6]：設D是除環，m,n是≥2的整數，φ是dm×n到自身的保粘切的雙射，則φ-1也保粘切。

2 主要結果

下面給出本文的主要結果：一類特殊的交錯矩陣幾何。易知KS2n(F)是交錯矩陣的集合。

定理 1：設F是域，n是≥2的整數，φ是KS2n(F)到自身的保距離可加性的雙射，則必有以下形式

φ(X)=tEXσE+G，?X∈KS2n(F)

其中E(tP00Q)，G=(0T-tT0)，P,Q∈GLn(F),T∈Fn×n,σ是F的自同構。

證明：由引理2可得，φ是保粘切的雙射，不妨設φ(0A-tA0)=(0A*-tA*0)， 令φ′:A|A*,?A∈Fn×n， 易知φ′是雙射。

設C=(0A-tA0)=(0B-tB*0),且C～D，其中A,B∈Fn×n， 所以有rand(C-D)=2。

即rank(0A-B-t(A-B) 0)=2,因為rand(A-B)=rank(-t(A-B))，所以rank(A-B)=1。 因為φ是保粘切的雙射， 所以有rank(φ(C)-φ(D))=2，即rank(0A*-B*-t(A*-B*) 0)=2，從而有rank(A*-B*)=1，所以由rank(A-B)=1推出rank(φ′(A)-φ′(B))=1。綜上可知，φ′是保粘切的雙射。由引理4，φ′-1也保粘切。由引理3可知φ′(A)=PAσQ+T，?A∈Fn×n，其中P,Q∈GLn(F),T∈Dn×n,σ是F的自同構。從而有

φ(0A-tA0)=(0PAσQ+T-t(PAσQ+T) 0)

易知有下式成立

φ(0A-tA0)=(0PAσQ+T-t(PAσQ+T) 0)=t(tP00Q)(0Aσ-t(Aσ)0)(tP00Q)+(0T-tT0)

令E=(tP00Q)，G=(0T-tT0)，則定理得證。

[參考文獻]

[1] 劉木蘭.交錯矩陣幾何[J].數學學報, 1966,16 (1) :104-135.

[2] 李迎春.交換的主理想整環上交錯矩陣幾何[D].長沙:長沙理工大學碩士學位論文，2008.

[3] L. P. Huang,Geometry of Matrices over Ring[M].Science Press,2006.

[4] L. P. Huang, Diameter preserving surjection on alternate matrices[J]. Acta Mathematica Sinica, English Series 2009,25(9):1517-1528.

[5] Z. X. Wan.Geometry of Matrices[M].In Memory of Professor L. K. Hua(1910-1985), world scientific, Singa-pore,1996.

[6] W. L.Huang and Z. X.Wan.Adjacency preserving mappings of rectangular matrices[J]. Beitrage zur Algebr und Geometrie, 2004,45(2) :435-446.