凸函數定義等價性的進一步探討

張 金

(宿遷高等師范學校 數學系，江蘇 宿遷 223800)

0 引言

凸函數是一重要的概念。 已有的文獻中，在給定的區間I上，給出了凸函數多種不同形式的定義，并對定義之間等價性作了分析與證明，見文獻[1]～[5]。 下文擬對一般區間I上的凸函數最基本的定義作一概述，進一步探討與證明它們之間的等價性。

1 凸函數的基本定義

下面給出凸函數幾種定義：

定義1 ：設函數f(x)在區間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數，當且僅當：?x1,x2∈I，有

(1)

定義2 ：設函數f(x)在區間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數，當且僅當：?x1,x2,…,xn∈I，有

(2)

定義3[6]：設函數f(x)在區間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數，當且僅當：?x1,x2∈I，?λ∈(0,1)，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

(3)

(4)

定義5 ：設函數f(x)在區間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數，當且僅當：

?pi≥(i=1,2,…n)不全為零，?x1,x2,…xn∈I，有

(5)

定義6 ：設函數f(x)在區間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數，當且僅當：?x1,x2,…xn∈I，且x1

(6)

定義7 ：設函數f(x)在區間I上有定義，f(x)稱為I上的凸函數，當且僅當：?x1,x2,…xn∈I，且x1

(7)

上述定義中的“≤”若改為“<”，則得f(x)為I上的嚴格凸函數。 區間I上可導或二階可導的凸函數還可借助導數f′(x)的單調遞增或f″(x)來判定或定義(見文獻[1][2][3])，這一點本文不再贅述。

2 定義之間等價性的證明與探討

首先給出幾個定理：

定理1 ：定義1與定義2等價。

證明 ：“定義2?定義1”顯然成立，在(2)式中令n=2即得(1)式。 只要證明：“定義1?定義2”。采用反向歸納法。

1)由(1)式知：當n=2時(2)式成立。 現證n=4時(2)式成立。 事實上，?x1,x2,x3,x4,∈I，由(1)式有

此即(2)式當n=4時成立。 一般地，對任一正整數k，重復上面方法，應用(1)式k次，可知

這表明(2)式對一切n=2k皆成立。

此即(2)式對n=k也成立。 證畢。

下面給出關于凸函數的一個論斷，以引理1命名：

引理1：若函數f(x)為區間I上的凸函數，則f(x)在I內部任意一點都連續。

定理2 ：定義3與定義1，2等價。

對于有理數λn∈(0,1)，利用上面證明有

f(λnx1+(1-λn)x2)≤λnf(x1)+(1-λn)f(x2)

此式中令n→∞取極限并聯系上式，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

此即(3)式對任意無理數λ∈(0,1)也成立。 故定義1，2也蘊含定義3，證畢。

定理3 ：定義3與定義4，5等價。

證明 “定義4?定義3”只要在(4)式中令n=2即得。“定義3?定義4”采用數學歸納法可證(定義4即為“Jensen不等式”，證明見文獻[6])。“定義4?定義5”明顯，故定理3得證。

定理4：定義3與定義6，7等價。

f(λx3+(1-λ)x1)≤λf(x3)+(1-λ)f(x1)

即

此式化簡變得(6)式，故“定義3?定義6”成立。 反之?λ∈(0,1)，?x1,x2∈I，，不妨設x1

3 結束語

由上述定理可知上文所給的凸函數幾個基本定義是等價的， 區別僅是呈現的形式或各自的幾何意義有所不同，但均是對凸函數本質的概述。 定義或概念是對事物本質屬性的精確概括。 具體教學中，強調學生對概念的理解，目的就在于希望學生能夠抓住事物的本質屬性。 定義3更能體現凸函數的本質屬性，其幾何意義對凸函數描述很直觀，現代數學中多采用這種定義。 值得一提的是，區間I上的凸函數的“凸”性僅由區間I內部函數的屬性來體現，而與函數在區間端點的取值無關。 文中引理表明，在區間I內部凸函數是連續的，對應的曲線是連續曲線且呈“下凸”趨勢。 同時也表明，凸函數的間斷點只可能出現在區間的端點上。

[參考文獻]

[1] 王飛.凸函數等價性討論[J].廣西師范學院學報：自然科學版，2003，20(1)：31-34.

[2] 趙丹.凸函數等義的等價性證明[J].樂山師范學院學報，2008，23(12)：18-21.

[3] 古小敏.對凸函數定義之間等價性的進一步研究[J].重慶工商大學學報：自然科學版，2009，26(2)：171-173.

[4] 郭素霞.關于凸函數定義的討論[J].衡水師專學報，2000，2(4)：49-52.

[5] 黃世團.幾個凸函數定義的差異性及等價性[J].廣西師院學報：自然科學版，1997，14(1)：54-56.

[6] 華東師范大學數學系. 數學分析：上冊 [M].2版.北京：高等教育出版社，1991：197-203.