關于一類特殊非齊次常微分方程的解法

趙 微，許 潔

(1. 大慶師范學院 數學科學學院，黑龍江 大慶 163712；2. 吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132013)

0 引言

在《常微分方程》(文獻[1])教材中，對于常系數非齊次的常微分方程，當非齊次項f(t)為兩類特殊情況時，即

f(t)=(b0tm+b1tm-1+…+bm)eλt和f(t)=[A(t)cosβt+B(t)sinβt]eαt

時，采用了比較系數法，得到方程的特解，其解法過程中主要是進行代數運算，較為簡便。

但對于變系數非齊次常微分方程的解法，常用的方法是先求出其對應的齊次常微分方程的通解，而后利用常數變易法求出非齊次常微分方程的特解，最后得到通解， 由于在常數變易法的過程中，需要計算不定積分，因此計算量大，比較麻煩。

本文旨在給出如下一類特殊非齊次常微分方程

即當方程對應的齊次方程為歐拉方程時，并在非齊次項滿足一定條件下，采用比較系數法得到方程的特解，進而求出方程的通解，其過程較常數變易法簡便，且計算量小。

1 定理

定理1 考慮方程

(1)

當

f(t)=(b0lnmt+b1lnm-1t+…+bm-1lnt+bm)tλ

時，其特解形式為

證明 做變換，令t=eu，則u=lnt，從而

假設

則

因此，根據數學歸納法，可得到

將上述式子及t=eu代入(1)中，則得到

化簡得

合并同階導數則得到

再將f(t)=(b01nmt+b1lnm-1t+…+bm-1lnt+bm)tλ及t=eu代入上式中，則有

從上式中可看出將原變系數方程化為了常系數方程，且非齊次項滿足1)，故可采用比較系數法進行求解。

根據文獻[1]，則知上述方程的特解形式為

于是，有

其中λ是對應(1)的次方程的特征值，而k是λ的重數，若λ不是特征值，則取k=2。

再根據歐拉方程的通解形式，則可求得方程(1)的通解。

定理2 考慮方程(1)，當

f(t)=[Acosβ(lnt)+Bsinβ(lnt)]tα，

時，其特解形式為

證明 類似定理1證明，做同樣的變量代換，則知，方程可化為

則由[1]知，其特解形式為

其中λ是(1)對應的齊次方程的特征值，k為λ=α+iβ的重數，若λ不是特征值，取k=0。

再根據歐拉方程的通解形式，即可得方程(1)的通解。

2 例證

例1： 求方程t2x″-tx′+2x=tlnt的通解。

解 方程對應的齊次微分方程為

t2x″-tx′+2x=0

是歐拉方程，其通解為

x=C1tcosln|t|+C2tsinln|t|

根據定理1，知其特解形式為

而λ=1不是對應的齊次方程的特征值，故取k=0. 因此特解形式為

代入原方程中，可求得B0=1,B1=0， 故

從而原方程的通解為

x=C1tcos ln|t|+C2tsin ln|t|+tlnt

例2: 求解方程t2x″-4tx′+6x=tsin(lnt)。

解 方程對應的齊次方程的通解為

x=C1t2+C2t3

由定理2，知其特解形式為

而不是齊次方程的特征值，故取. 因此其特解形式為

從而原方程的通解為

3 結語

針對一類特殊非齊次常微分方程(1)，運用比較系數法，求得了非齊次方程的一個特解，進而求得非齊次方程的通解。求解過程中直接求解代數方程則可，省去了求不定積分的麻煩，計算量較常數變易法小。

[參考文獻]

[1] 王高雄. 常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 丁同仁，李承治.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.

[3] 莊萬.常微分方程習題集[M].濟南：山東科學技術出版社，2004.