條件異方差模型的遍歷性與幾何遍歷性

藺海新

(河西學(xué)院 數(shù)學(xué)系，甘肅 張掖734000)

0 引言

近二十幾年來，各種類型的時(shí)間序列模型的遍歷性問題已經(jīng)得到了廣泛而深入的研究。在以往的研究中，主要是應(yīng)用一般狀態(tài)空間馬氏鏈的理論對可加噪聲的非線性自回歸時(shí)間序列模型的遍歷性進(jìn)行了深入細(xì)致的研究。然而，在諸多的研究中，對條件異方差模型的遍歷性問題的研究還不多見，受文獻(xiàn)[1][2][3]根據(jù)中研究的啟發(fā)，本文主要討論如下形式的非線性自回歸時(shí)間序列模型(簡記為NLAR)：

xt=φ(xt-1,xt-2,…,xt-p)+εts(xt-1,xt-2,…,xt-q)

(1)

其中φ和s為定義在Rp和Rq上的實(shí)值可測函數(shù)，{εt,t>0}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，εt與{εt,s

1 模型的假設(shè)及基本引理

為了研究的方便，在模型(1)中不妨取p=q，則(1)成為如下的(2)：

xt=φ(xt-1,xt-2,…,xt-p)+εts(xt-1,xt-2,…,xt-q)

(2)

記：Xt=(xt,xt-1,…,xt-p+1)τ;φ(Xt-1)=+φ(xt-1,xt-2,…,xt-p);

s(Xt-1)=s(xt-1,xt-2,…,xt-p) ,ΦXt=(φ(Xt),xt-1,…,xt-p+1)；

H(Xt-1)=(s(Xt-1),0…,0)τ。

其中“τ”表示矩陣或向量的轉(zhuǎn)置。 這樣模型(2)變形為：

Xt=Φ(Xt-1)+εtH(Xt-1),X0=(x0,x-1,…,x-p+1)∈RP,t≥0

(3)

由文獻(xiàn)[1]知{Xt,t≥0}是齊次馬爾科夫鏈。這樣就將模型(1)所確定的時(shí)間序列的遍歷性研究，轉(zhuǎn)化為由(3)所確定的齊次馬爾科夫鏈遍歷性的研究,為此給出下述結(jié)論：

引理1[1]：如果時(shí)間序列{xt}服從NLAR模型(1)

若(i)函數(shù)φ在RP中的有界集上有界，即對任意的正數(shù)k<+∞，有

(ii)函數(shù)s是Rq到R1的正值連續(xù)函數(shù)，滿足對每個(gè)實(shí)數(shù)k>0有

其中x∈RP，‖·‖為Rq中的歐氏范數(shù)。

(iii)隨機(jī)變量{εt,t>0}有幾乎處處為正的下半連續(xù)密度函數(shù)fε，則由模型(1)所確定的馬氏鏈?zhǔn)驱R時(shí)的、關(guān)于Lebesgue測度μp為不可約的、非周期的，而且RP中任何有界μp正測集都是小集。

定理1[1]：設(shè){Xt}為不可約的，非周期的馬氏鏈，如果存在一個(gè)非負(fù)可測函數(shù)g, 一個(gè)小集C和常數(shù)c1>0,c2>0使得

1)E{g(Xt)|Xt-1=X}≤g(X)-c1,?X?C

2)E{g(Xt)|Xt-1=X}≤c2, ?X∈C

在給出本文的主要結(jié)果前給出如下的條件假設(shè)：

A1)隨機(jī)變量{εt,t>0}有幾乎處處為正的下半連續(xù)密度函數(shù)fε且ε1與 {xt-s,s>0}相互獨(dú)立。

A2)函數(shù)φ(·)在RP中的任意有界集上有界，即對任意的正數(shù)k<+∞，有

其中X∈RP，‖·‖為Rq中的歐氏范數(shù)。

A3)函數(shù)s(·)滿足對任意的k>0有

其中X∈RP，s1,s2是常數(shù)。

A4)存在常數(shù)αi>0,i=1,…,p,M>0,c1≥0,c2≥0使得

(4)

或

(5)

或

(6)

其中“τ”表示矩陣或向量的轉(zhuǎn)置,l1為常數(shù)。條件(4)～(6)中系數(shù)αi滿足

(7)

2 主要結(jié)論

定理2：對模型(3),它滿足條件A1～A3且存在非負(fù)有界可測函數(shù)v:Pp→R1,滿足

v(X+Y)≤v(X)+v(Y),‖X‖>k1,‖Y‖>k1,?X,Y∈RP,?k1>0

(8)

v(Φ(X))≤v(X)-c,‖X‖>k1,?X∈RP,?k1>0,c>0

(9)

(10)

若E(v(εtH(X)))

證明: 因?yàn)槎ɡ?2)滿足條件A1～A3，由引理1知{Xt}是不可約、非周期的齊次馬氏鏈。 取k=k1，則有界集合A={X|‖X‖≤k}是一個(gè)小集，只要μ(A)>0，其中μ表示勒貝格測度。 根據(jù)馬爾科夫鏈遍歷漂移性準(zhǔn)則定理1，一般地，取g(x)=v(x)，則g(x)在有界集上是有界函數(shù)。

E{g(x1)|X0=Y}=E{v(Φ(X0)+εtH(X0))|X0=Y}=E{v(Φ(Y)+εtH(Y))}

≤E{v(Φ(Y))+v(εtH(Y))}≤v(Φ(Y))-c+E{vεtH(Y))}

其中c1=c-c0>0為常數(shù)。

同時(shí)根據(jù)已知條件A1及條件(10)，存在c3>0,當(dāng)Y∈A時(shí)

那么

E{g|(X1)X0=Y}=E{v(Φ(X0)+εtH(X0))|X0=Y}=E{v(Φ(Y)+εtH(Y))}

≤E{v(Φ(Y))+v(εtH(Y))}≤v(Φ(Y))+E{vεtH(X))}≤c2,Y∈A

其中c2=c0+c3為常數(shù)。根據(jù)定理1得{Xt}是遍歷的。

同樣地，取g(X)=ev(X)，則

E{g(X1)|X0=Y}=E{expv(Φ(X0)+εtH(X0))|X0=Y}

=E{exp(v(Φ(Y)+εtH(Y)))}≤E{exp(v(Φ(X))+v(εtH(Y))}

=exp(v(Φ(X))·E{exp(v(εtH(Y)))}≤exp(v(Y)-c)·exp(c0)

=exp(v(Y))exp(c0-c)=exp(-(c-c0))exp(v(Y))=rexp(v(Y))

=ρexp(v(Y))-(ρ-r)exp(v(Y))<ρexp(v(Y))-(ρ-r)=ρg(X)-c1

其中c-c0>0，則00滿足0

E{g(X1)|X0=Y}=E{expv(Φ(X0)+εtH(X0))|X0=Y}

=E{exp(v(Φ(Y)+εtH(Y)))}≤E{exp(v(Φ(X))+v(εtH(Y)))}

=exp(v(Φ(X))·E{exp(v(εtH(Y)))}≤c2,Y∈A

其中c1,c2為常數(shù)，則根據(jù)定理1知{Xt}是幾何遍歷的。 定理證畢。

推論1：對模型(3),滿足條件A1—A3且存在Rp→R1上的非負(fù)有界可測函數(shù)v(·)，滿足條件(9)和(11)，而且

(11)

如果

E(εtH(Y))≤c0

(12)

那么{Xt}為遍歷的。 如果

E(ev(εtH(Y)))

(13)

那么{Xt}為幾何遍歷的。

證明: 由條件(11) 得，對?c>0，?k>0，當(dāng)‖X‖>k時(shí)，|V(X)-V(H(X))|>c得

V(X)-V(H(X))>c

即V(H(X))

定理4：對非線性自回歸模型(3), 滿足條件A1～A4，則當(dāng)條件(12)成立時(shí){Xt}為遍歷的，當(dāng)條件(13)成立時(shí){Xt}為幾何遍歷的。

證明： 當(dāng)條件(4)成立時(shí)，取

(14)

其中X=(x1,x2,…xp)∈Rp

(15)

bi=b1(1-a1-a2-…-ai-1),i=2,3…,p

(16)

由(7),(15),(16)易見上述bi滿足

(17)

bi=bi+1+b1ai,i=1,2,…,p-1,bp=b1ap

(18)

根據(jù)(14),(17),(18)得

v(Φ(Xt-1)+εtH(Xt-1))=b1|φ(Xt-1)|+b2|xt-1|+…+bp|xt-p+1|

=(b1a1+b2)|xt-1|+…+(b1ap-1+bp)|xt-p+1|+b1qp|xt-p|-b1c+b1c0

因此條件(9)滿足，當(dāng)條件(12) 成立{Xt}時(shí)為遍歷的, 當(dāng)條件(13)成立時(shí){Xt}為幾何遍歷的。

同理，當(dāng)條件(5)或(6)成立時(shí)，我們分別取

或

gg(Xt)=max{b1|xt-1|,b2|xt-2|,…bp|xt-p|}

按照條件(4)的證明過程可知上述兩種情況下,條件(9)也滿足，根據(jù)定理3知{Xt}為遍歷的或幾何遍歷的。證畢。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 安鴻志,陳敏.非線性時(shí)間序列分析[M].上海：上海科技出版社, 1997：72-80.

[2] 盛昭瀚，王濤,劉德林.非線性時(shí)間序列模型的穩(wěn)定性分析-遍歷性理論與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,1993：92-103.

[3] An H Z, Huang F C. The geometric ergodicity of nonlinear autoregressive models [J]. Statist Sinica, 1996(6):943-956.

[4] An H Z, Chen M, Huang F.C. The geometric ergodicity and existence of moments for a class of a non-linear time series model [J]. Statistics & Probability Letters, 1997, 31:213-224.

[5] An H Z, Chen S G. A note on the ergodicity of nonlinear autoregressive model [J]. Statistic & Probability Letter, 1997, 34:365-372.