基于直覺模糊集算子的多屬性群決策方法

吳懷崗，張 晴

（1.南京大學 工程管理學院，南京 210008；2.南京師范大學 計算機科學與技術學院，南京 210046）

0 引言

隨著社會問題的日益復雜化以及科學研究的不斷深入，傳統的模糊集理論因其不能完整地表達所研究問題的全部信息而在實際應用中受到越來越多的制約和挑戰[1]。Atanassov[2]對傳統的模糊集進行了拓展，提出了直覺模糊集的概念。由于直覺模糊集同時考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三方面的信息，使得它在對事物屬性的描述上提供了更多的選擇方式，在處理不確定信息時具有更強的表現能力，因此直覺模糊集理論在學術界及工程技術界引起了廣泛的關注。文獻[3]對直覺模糊集環境下的幾何集結算子進行了研究，提出了直覺模糊加權幾何(IFWGA)算子，直覺模糊有序加權幾何(IFOWGA)算子和直覺模糊混合幾何(IFHG)算子，并且基于IFHG算子，給出了相應的決策方法。文獻[4]對直覺模糊集環境下的算術集結算子進行了研究，提出了直覺模糊算術平均(IFAA)算子和直覺模糊加權算術平均(IFWAA)算子，并且基于IFAA算子和IFWAA算子，給出了相應的群決策方法。文獻[5]給出模糊數直覺模糊集兩個改進算子,在此基礎上,提出用精確函數解決記分函數無法決策的問題,以保證記分函數的嚴密性與合理性。文獻[6]針對模糊數直覺模糊信息的集成問題，提出一種屬性權重確知且屬性值以模糊數直覺模糊數形式給出的多屬性群決策方法。本文擬將傳統的topsis方法與灰關聯分析方法相結合，并且引入直覺模糊集理論，以期為解決多屬性群決策問題提供一個新的方法和思路。

1 直覺模糊集理論

直覺模糊集由Atanassov提出[2]，是傳統模糊集的一種擴充和發展。直覺模糊集增加了一個新的屬性參數：非隸屬度函數，它能夠更加細膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質。

定義1[2]設X是一個非空經典集合，X={x1,x2,…，xn}，X上形如A={＜x,uA(x),vA(x)＞|x∈X}的三重組稱為X上一個直覺模糊集。其中uA(x),vA(x):X→[0,1]，均為X的隸屬函數，且0≤uA(x)+vA(x)≤1，這里uA(x),vA(x)分別是X上元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，表示為支持元素x屬于集合A的證據所導出的肯定隸屬度的下界和反對元素x屬于集合A的證據所導出的否定隸屬度的下界。

對于X上的每一個直覺模糊集，稱πA(x)=1-uA(x)-vA(x)為直覺模糊集A中元素x的直覺指數，表示元素x屬于A的猶豫度。 顯然，0≤πA(x)≤1，x∈X。

定義 2 A={＜x,uA(x),vA(x)＞|x∈X},B={＜x,uB(x),vB(x)＞|x∈X}為任意兩個直覺模糊數，則

定義3 設Q為直覺模糊集，Aj=(uj,vj,πj)為一組直覺模糊數，wj為其權重，滿足 wj∈[0,1]和

令 IFWA：Qn→Q，若

則稱函數IFWA為n維直覺模糊加權平均算子。

2 基于直覺模糊集算子的多屬性群決策方法

設 A={A1,A2,…，Am}為方案集，X=(X1,X2,…，Xn)為屬性集，下面結合傳統topsis法和灰關聯分析法，給出一種解決多屬性群決策問題的方法。

表1 語言變量表示重要性

表2 語言變量表示屬性值

表3 決策者重要性

步驟1：確定每個決策者的權重

假定組成決策小組的決策者有l個，決策者的重要性用語言變量表示，見表1。

設Dk=(uk,vk,πk)為第k個決策者的權重，用下面的公式將直覺模糊數轉化為實數：

步驟2：構造決策矩陣

在群決策中，所有的個體決策得出的決策矩陣必須進行集結，得到最終的綜合所有決策者意見的決策矩陣。設R(k)=為每個決策者的決策矩陣，本文利用直覺模糊加權平均算子進行集結，得到矩陣R=(rij)m×n，其中

這里：

本文用語言變量表示屬性值，見表2。

步驟3：決定屬性權重

每個決策者心中屬性的權重也不一定相同，所以我們也需要利用直覺模糊加權平均算子對權重進行集結。設為第k個決策者賦予屬性的權重值，則集結所有決策者的權重值，得出最終屬性權重

所有屬性權重 W=[w1,w2,…，wn]。

步驟4：加權決策矩陣

將權重與決策矩陣相乘，得出加權矩陣R'：

步驟5：確定正理想解

設J1和J2分別表示效益型、成本型的下標集，可用下列公式確定正理想解A*=(uA*W(xj)，uA*W(xj))，其中

步驟6：計算各方案與理想解的關聯度

根據灰色關聯分析方法可知[7～9]，方案和理想最優方案A*關于指標Xj的關聯系數為

為(uAi*W(xj),vAi*W(xj),πAi*W(xj))到理想解(uAi*W(xj),vAi*W(xj),πAi*W(xj))的距離；ρ 為分辨系數，ρ∈[0,1]，一般取值 0.5。

則各方案與理想最優方案的關聯系數矩陣為

方案Ai與A*的綜合關聯度為

顯然，ξi越大，表示被評價方案Ai與理想最優方案A*越接近，即決策方案Ai越佳。因此，各方案按綜合關聯度ξi大小對方案進行排序，即可得到決策方案集中的最優方案。

3 應用實例

某汽車生產商欲選擇一家最合適的重要零部件供應商，經初步篩選，現有5個供應商可供選擇,包括A1、A2、A3，A4,A5。為進行科學有效地評估，公司成立了一個3人評選委員會，包括 DM1、DM2、DM3，考慮如下 4 項指標：產品質量 X1，合作程度X2，運輸能力X3，價格X4。經調查、評估，最后得出決策者權重（見表3），每個決策者對各屬性的打分（見表4），以及決策者認為屬性的重要性（見表5）。

步驟1：確定決策者屬性權重

利用公式(1)，計算得出每個決策者權重，見表6。

步驟2：利用公式（2），得到集結后的決策矩陣，見表7。

步驟3：根據表5，利用公式（3），得出屬性權重如下：

步驟 4：利用公式（4）、（5），得出加權矩陣，見表 8。

表4 決策者對各屬性的打分

表5 屬性的重要性

表6 決策者權重

步驟5：X1,X2,X3為效益型指標，X4為成本型指標，根據公式（6）、（7）得出正理想解為：

A*={(0.731,0.215,0.054),(0.575,0.294,0.121)(0.530,0.353,0.117),(0.303,0.606,0.091)}

步驟6：計算各方案與理想解的關聯度

各方案與理想最優方案的關聯系數矩陣為

方案Ai與A*的綜合關聯度為

根據 ξi大小對 5 個供應商進行排序：A3＞A1＞A4＞A5＞A2，即供應商A3是汽車生產商的最佳選擇。

4 結語

在群決策情形下，本文將直覺模糊加權平均算子應用于屬性值和屬性權重的集結；同時，本文將傳統的topsis法與灰關聯分析方法相結合，不直接計算各方案與理想解的距離，而用灰關聯度的大小確定方案的優劣，為解決不確定多屬性群決策問題提供了一種新的方法和思路。實例應用研究表明該方法客觀科學，在解決項目選擇、制造業等存在不確定因素的管理決策問題中簡單實用。

表7 決策矩陣

表8 加權矩陣

[1]胡輝,徐澤水.基于Topsis的區間直覺模糊多屬性決策法[J].模糊系統與數學,2007,21(5).

[2]Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1).

[3]Xu Z S,Yager R R.Some Geometric Aggregation Operators Based on Intuitionistic Fuzzy Sets[J].International Journal of General System,2006,35（4）.

[4]Xu Z S.Intuitionistic Preference Relations and Their Application in Group Decision Making[J].Information Science，2007,177(11).

[5]劉於勛.基于模糊數直覺模糊集算子的多準則決策方法[J].現代電子技術，2009，（6）.

[6]汪新凡.模糊數直覺模糊幾何集成算子及其在決策中的應用[J].控制與決策，2008,23(6).

[7]劉思峰,郭天榜,黨耀國.灰色系統理論及其應用[M].北京:科學出版社,1999.

[8]鄧聚龍.灰色系統基本方法[M].武漢:華中理工大學出版社,1987.

[9]Zhang J J,Wu D S,Olson D L.The Method of Grey Related Analysis to Mu1tiple Attribute Decision Making Problems with Interval Numbers[J].Mathematical and Computer Modeling，2005,42(9).