模糊數值函數空間CF［a，b］的完備性和可分性

谷敏強，劉智斌

（1.汕頭大學理學院數學系，廣東汕頭515063；2.浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華324001）

模糊數值函數空間CF［a，b］的完備性和可分性

谷敏強1，劉智斌2

（1.汕頭大學理學院數學系，廣東汕頭515063；2.浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華324001）

證明了模糊數值函數空間CF［a，b］在模糊Hausdorff距離下是完備的和可分的.關鍵詞：模糊數值函數空間；模糊Hausdorff距離；完備性；可分性

0 引言

通用的模糊系統是基于語言變量的非線性映射，這種非線性映射可以通過多種方法獲得，其中的方法之一就是用普通映射將其誘導出來.Zadeh擴張原理[1]提供了一種由普通映射到模糊集值映射轉換的自然程序，在模糊數學中具有基本的重要性.近30年來，基于擴張原理的模糊集值函數得到了廣泛的研究[2-6].但這些研究基本上集中在連續函數的Zadeh擴張的性質上.本文的目的是把連續函數的Zadeh擴張納入某種抽象空間進行研究.從最簡單的閉區間[a，b]上的連續函數的Zadeh擴張著手，我們將證明，閉區間[a，b]上的全部連續函數的Zadeh擴張構成的模糊數值函數之集CF［a，b］在模糊Huasdorff距離下是完備的和可分的距離空間.這一結果對進一步研究更一般的模糊集值函數空間有啟發意義.

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1 預備知識

定義1 設U是一非空集，（U，d）是一距離空間，P（U）是U的冪集，定義映射

稱dH（A，B）為經典集合A和B之間的Hausdorff距離.

定義2 論域U上的模糊數A定義為μA： U→[0，1]，滿足：

我們把論域U上的模糊數的全體記為F0（U）.

定義4 設f：U→V是一普通映射，稱f按Zadeh擴張原理誘導的模糊集值函數Ff：F（U）→F（V）為f的Zadeh擴張.

2）計算反正切時，由于CORDIC算法計算反正切時不需要考慮角度θ的輸入值，所以僅對X、Y坐標的輸入值進行調整。通過判斷X、Y輸入值的正負，統一將它們的迭代初值調整到第一象限上，如式（12）所示，計算完后需要根據X、Y輸入坐標所在的象限將反正切的輸出結果重新調整為原來的象限，如式（13）所示。

定義3 設A，B∈F0（U），定義A與B之間的模糊Hausdorff距離（簡稱FH距離）為：

2 主要結果

引理1[2]如果f：Rn→R是一致連續函數，則f的Zadeh擴張Ff：F0（Rn）→F0（R）關于FH距離連續.

(2)創新并未推動制造業內部結構升級。基于經濟理論，創新是制造業結構升級的重要影響因素，由于我國當前科技體制不合理、研發效率和科技成果轉化率低等問題的存在，使得創新對制造業結構升級的促進效應也沒有發揮，由此應加大實施創新驅動發展戰略，推動制造業結構升級。

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則由泛函分析知，（C[a，b]，ρ）是一個完備的距離空間.

用CF[a，b]表示C[a，b]中諸元素的Zadeh擴張的全體，即：

玉環市國土資源局掀起業務報件內審復核“大革命”（王億寧）...................................................................6-32

在母豬進入產房前5 d，要對產房進行徹底消毒，首先對產床、墻壁等利用高壓水進行徹底沖洗，待曬干后，使用0.5%過氧乙酸對全舍進行噴霧消毒，經過24 h干燥后，再利用高壓水進行沖洗，干燥后使豬進入。

因閉區間[a，b]上的任一連續函數都一致連續，由引理1，易知CF[a，b]中的全部元素都是關于FH距離連續的模糊數值函數.

在CF[a，b]中，定義距離函數ρ′：F0（[a，b]）×F0（[a，b]）→R+為：

其中f，g∈C[a，b]，則（CF[a，b]，ρ′）構成一距離空間.

引理2序列{Ffm}?CF[a，b]一致收斂于Ff?CF[a，b]的充要條件是序列{fm}?C[a，b]一致收斂于f∈C[a，b].

證明首先，假定{fm}?C[a，b]一致收斂于f∈C[a，b].設U為[a，b]的任意一個凸的緊子集，則對于任意的ε＞0，存在自然數N（ε），對于任意的m>N（ε），有：

這時，

從而有：

這表明序列{fm}?C[a，b]一致收斂于f∈C[a，b].

基于對法律人類學新整體主義認識論反思視角下的再反思，秉持舊整體主義法律認識論的“結構混亂”所指稱的是，“當前鄉村社會內部村莊兩套甚至多套正義觀和價值系統，它們互相沖突卻能在鄉村社會找到村莊的基礎” [9]。顯然，中國農民的法律意識并非從整體上構成現代法制知識體系的對反，農民對待法律知識的態度是曖昧不清的，甚至是高度工具主義的。一旦現代法律規則開始在鄉土社會扎下根，區別于國家主義法制觀的“本土情境”顯然面臨說服力和解釋力的不足。

證明若{fi}是C[a，b]中的柯西列，因C[a，b]是完備的距離空間，存在f∈C[a，b]，使{fi}一致收斂于f，由引理1，{}一致收斂于Ff，從而對任意的ε＞0，存在自然數N（ε），對任意的m＞N（ε），有：

設C[a，b]為[a，b]上的全體連續函數之集，對于任意x，y∈C[a，b]，定義距離

這時，對任意的n＞N（ε），有：

3.2 掩蓋藥物的不良氣味 大部分藥物均具有苦味和不良嗅味，隨著時代的發展，人們對藥物口味的要求越來越高。吉明霞[22]利用單凝聚法將藥物替米考星與明膠制成微囊進行苦味測定，結果發現微囊掩蓋苦味效果良好。楊抒等[23]對乳清蛋白酶解物進行微囊化處理，其苦味下降為原來的1/8，有效改善了苦味。微膠囊化可掩飾藥物本身的刺激氣味，而姜黃素具有苦味和辛辣味，將其包裹于囊中，可以掩蓋不良氣味，提高患者的順應性，便于服用。

在傳統大學普通化學教學的過程中，教師只是根據教材內容一味地傳授學生知識，教學過程是枯燥的。學生也只能無意識情緒不加區分地全盤接受，學習過程是被動的。在這種狀態下學習，學生是很難激發學習興趣的，同時也不利于培養學生的發散思維。將多媒體應用在大學教學中，可以充分發揮多媒體的作用，既強化了教師與學生間的互動，又提高了學生的學習熱情，還調動了學生的主觀能動性。

CF[a，b]＝{FfFf：F0（[a，b]）→F0（R）為f的Zadeh擴張，f∈C[a，b]}.

其中χc∈F0（[a，b]）表示c∈[a，b]的單點模糊化，因此，

ρ（fm，fn）≤ε，

問題分析 該題試圖根據條件直接準確地畫出AP、BP、CP滿足等式BP2=AP2+CP2的點難度較大，必須另辟蹊徑.由等邊△ABC的條件以及等式BP2=AP2+CP2獨特的結構特征，能否嘗試通過圖形變換，將AP、BP、CP三條線段集中到一個三角形中去？如圖7,將△BPC繞著點C順時針旋轉60°到△AQC位置.連接PQ，顯然，由等邊△PCQ有∠QPC=60°，由AP2+PQ2=AQ2有∠APQ=90°，所以有∠APC=150°一定值，而點P是動點，故點P在以AC為弦、圓心角為60°的上運動(如圖8).

這說明，{fi}是C[a，b]中的一個柯西列.

定理1（CF[a，b]，ρ′）是一完備的距離空間.

定理2距離空間（CF[a，b]，ρ′）是可分的.

其中χc∈F0（[a，b]）表示c∈[a，b]的單點模糊化，故對上述的ε和m，必有′（fm，f）＜ε，即序列{fm}一致收斂于f.

證明設C[a，b]中有理多項式函數之集為P（Q），則P（Q）是C[a，b]的一個可數稠密子集，從而FP（Q）＝{Fpp∈P（Q）}為CF[a，b]的一個可數子集.由泛函分析知，對于任意的Ff∈CF[a，b]，在C[a，b]中存在有理多項式函數序列{pi}收斂于f，由引理2，在CF[a，b]中，序列{}收斂于Ff，這表明FP（Q）是CF[a，b]的可數稠密子集.所以（CF[a，b]，ρ′）是可分的距離空間.

3 結語

連續性是模糊系統的重要屬性，近年來受到國內外學者的關注[7-9].模糊系統本質上是一種模糊數值映射，因而對連續模糊數值映射的研究是連續模糊系統研究的一個重要方面.閉區間上連續函數的Zadeh擴張保持了連續性，連續函數空間C[a，b]的Zadeh擴張CF[a，b]則保持了空間的完備性與可分性.這表明把模糊系統納入某種抽象空間進行研究是可能的，沿此方向的研究，可能導出類似于泛函分析的方法處理模糊系統，這將是很有意義的工作.

[1] Zadeh L A.The concept of a linguistic variable and its applications in approximate reasonings[J].Inform Sci，1975，8：199-251，301-357；1975，9：43-80.

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[9] 谷敏強.最小-蘊涵模糊推理模型的連續性[J].汕頭大學學報（自然科學版），2009，24（2）:1-7.

Completeness and Separability of the Space of Fuzzy-Number-Valued Functions CF［a，b］

GU Min-qiang1，LIU Zhi-bin2

(1.Department of Mathematics，College of Science，Shantou University，Shantou 515063，Guangdong,China；2.College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 324001，Zhejiang，China)

The space of fuzzy-number-valued functions CF［a，b］is proved to be complete and separable with respect to fuzzy Hausdorff metric.

space of fuzzy-number-valued functions；fuzzy Hausdorff metric；completeness；separability

O 159

A

1001-4217（2010）03-0001-05

2010-05-27

谷敏強（1973-），男，廣西忻城人，博士，講師.研究方向：模糊數學與人工智能.E-mail：mqgu@stu.edu.cn

國家自然科學基金資助項目（10971125）；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目（20094402110001）；汕頭大學青年科研資助項目基金（YR08003）.