考慮參數空間變異性的不排水邊坡可靠度分析

潘健，周森

（華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州510640）

考慮參數空間變異性的不排水邊坡可靠度分析

潘健，周森

（華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州510640）

采用驗算點法和隨機有限元法對不排水邊坡進行可靠度分析，研究邊坡坡度、安全系數和強度參數相關性對邊坡可靠度的影響.數值分析結果表明，由于隨機有限元法恰當地考慮了土性參數的空間變異性，因而當土體抗剪強度參數變異系數超過臨界值時，邊坡失效概率計算結果更為合理.

邊坡穩定；不排水邊坡；有限元法；失效概率

0 引言

巖土工程問題的不確定性使得可靠度分析方法在巖土工程領域受到廣泛關注.可靠度分析方法最早是由Wu和Craft[1]引入到邊坡穩定性分析中的，Alonso[2]、Tang等[3]以及Vanmarcke[4]等對早期邊坡可靠度分析方法的應用做出了較大貢獻.隨后，國內外專家學者[5-9]對這種分析法進行了較為系統的研究，推動了可靠度分析方法在邊坡工程中的應用和發展.

目前，邊坡可靠度分析中最常用的方法是驗算點法、概率距點估計法、響應面法、MC模擬法，而隨機有限元方法的應用則相對較少.常規邊坡可靠度分析不同程度地存在著簡化與假設較多、未考慮變量的空間變異性及概率分布等問題，從而也限制了其工程應用；隨機有限元法卻可以較好地模擬土性參數的空間變異性，得到較為合理的結果.鑒于此，本文以隨機有限元法（RFEM）[10]為分析手段，以不排水邊坡為對象，研究坡度、安全系數和強度參數空間相關距離及變異系數對邊坡可靠度的影響，并與驗算點法（FORM）的結果進行對比.

1 強度參數概率分析

為研究土性參數變異性對邊坡可靠度的影響，取簡單邊坡剖面如圖1所示.坡高H=10.0 m，坡底深度為20 m，土體容重γsat（或γ）=20.0 kN/m3.對于不排水邊坡，把抗剪強度指標cu（φu=0）看做一隨機變量，無量綱化為Cu=cu（γsatH）.考慮坡角α為18.4°（坡度3∶1）、26.6°（坡度2∶1）和45°（坡度1∶1）等3種不同情況.

假設抗剪強度參數Cu服從對數正態分布.雖然可供選擇的相關函數有多種，但對數正態分布方法簡單，不需要迭代計算，可由古典正態（高斯）分布經過簡單的非線性變換構造得到，還可以確保隨機變量總為正值.基于對數正態分布的這種優勢，目前很多學者都提倡用這種方法對土體性質進行模擬，對隨機變量Cu的具體描述可參考文獻[11].

對數正態分布下的抗剪強度Cu對應3個參數：均值μCu，標準差σCu和空間相關距離θlnCu.Cu的變異性可由變量的無量綱系數表示為:

圖1 簡單邊坡剖面圖

Cu對數的標準差和均值可以由Cu的標準差和均值表示如下：

由公式（1）、（2）和（3）反算出Cu的均值和標準差為：

因為實際的不排水抗剪強度場服從對數正態分布，故抗剪強度參數Cu的對數服從隱式正態分布（高斯）場.空間相關距離的確定與這個隱式場有關，也即與抗剪強度參數Cu的對數lnCu有關.特別地，空間相關距離有特定的范圍（指相關函數為指數或高斯函數時，函數值衰減到e-1時的距離，e為自然對數底），一旦超過這個特定范圍，空間隨機值在隱式高斯場則呈現顯著相關性.所以，較大的空間距離與平緩變化場對應，而較小的空間距離對應場的變化卻呈現波動性.

在本文中，取指數衰減相關函數形式為：

ρ（τ）指由絕對距離τ離散的隨機場中兩點土性參數間的相關系數.在現行研究中，通常將空間相關距離除以邊坡坡高H，使其無量綱化為：

不同空間相關距離對應的典型破壞機制如圖2所示.

圖2 空間相關距離對土坡可靠度的影響

圖2（a）、（b）分別表明了ΘCu=0.2和2時空間距離對土性參數相關性的影響，較小的波動范圍值意味著土性變化較大，較大的波動范圍值意味著土性變化較平穩.圖中明、暗網格單元分別代表低強度和高強度土體區，黑色代表土體強度最高的單元，白色代表土體強度最低的單元.需要強調的是，這兩種情況下抗剪強度分布分析基于相同的對數正態分布，僅僅空間相關距離有所不同.

由離散點試樣得到的土體抗剪強度參數的均值、標準差和空間相關距離等特性只能反映“點”特性[12].雖然按照這種方法獲取的參數特性并不能完全反映實際工程問題，但它們代表著土體內在的變異性，這種變異性可通過考慮樣本容量的局部平均法來調整.在用隨機有限元法（RFEM）進行分析時，每一個有限單元網格都具有常量屬性，用來離散邊坡的每一個有限單元網格的大小就代表了樣本容量.如果點分布服從正態分布，那么由局部平均法得到的方差減小，均值不受影響；而在對數正態分布中，由局部平均法得到的均值和標準差都會減小.運用局部平均法對代表對數正態場的均值和標準差進行調整，并把調整后的均值μCuA和σCuA標準差映射到有限單元網格上.取極限，當ΘCu→0時，局部平均剔除了所有偏差（σCuA→0），均值趨近于算術平均值，故：

2 驗算點法（FORM）

2.1 邊坡算例

常規的驗算點法（FORM）[13]沒有考慮空間相關距離對邊坡可靠度的影響，即認為空間相關距離ΘCu=∞，此時局部平均法已不再適用.對于不排水邊坡，在本文中，選取服從對數正態分布的隨機變量Cu作為邊坡可靠度分析參數.失效概率pf可簡單等同于抗剪強度參數Cu不超過Cu，Ks=1時的概率，其中Ks表示安全系數，Cu，Ks=1代表安全系數為1時對應的Cu值.在數量關系上，失效概率pf等同于對應Cu≤Cu，Ks=1時，概率密度函數與坐標軸所圍成的面積.例如，當坡角α=26.6°（坡度2∶1）時，對應Cu，Ks=1=0.17.假定μCu=0.25，σCu=0.125（υCu=0.5），代入公式（2）、（3）得到隱式正態分布的均值和標準差分別為μlnCu=－1.489，σlnCu=0.472.失效概率計算如下：

其中，Φ·為標準正態分布概率分布函數.

為研究安全系數Ks對邊坡可靠度影響，對于μCu=Cu，Ks=1.25=0.21，μCu=Cu，Ks=1.47=0.25和μCu=Cu，Ks=1.70=0.29時，不同υCu對應的失效概率如表1所示.為達到參數研究目的，找到υCu對應的臨界值，在一些情況下，取υCu值高達1.5.

考慮坡度的影響，研究中發現對于不排水邊坡，無論在哪種情況下，只要安全系數相同，坡度對失效概率的影響就沒有差別.因此，表1所示的失效概率值對任何坡度都適用.

2.2 FORM和Hasofer-Lind可靠度指標

運用驗算點法（FORM）可以計算涉及多元隨機變量系統的失效概率，多元隨機變量概率密度函數與極限狀態函數對應，極限狀態函數能將失效區和安全區劃分開來.傳統的FORM基于Hasofer-Lind[13]可靠度指標βHL， 認為隨機變量的均值位于極限狀態函數的安全區，可靠度指標在幾何上表示為標準化正態空間中均值和極限狀態面之間的最短距離，其計算涉及到迭代優化過程.根據當量正態化后的隨機變量（即驗算點）位于極限狀態面上，由此可以從中找到使可靠度指標達到最小值時對應的相關矩陣.一旦確定了可靠度指標，那么就可以定義失效概率如下：

表1 不同變異系數υCu的失效概率

需要注意的是，當失效概率大于50%時，可靠度指標為負值[14].對于二維隨機變量，由一階假設得到的極限狀態函數表示一條直線，失效概率表示位于極限狀態線失效區一側由二元概率密度函數和坐標平面所圍成的體積值.對于涉及多元隨機變量的情況，采用類似的計算方法.

每一種可靠度分析方法都需要確定一個極限狀態函數，以對安全或失效狀態進行界定.極限狀態分為承載力的極限狀態和正常使用的極限狀態.通常極限狀態方程表示如下：

其中，X1，X2，…，XN為隨機變量.表示相關正態變量的Hasofer-Lind指標βHL和表示相關非正態變量的FORM指標β的優勢在于，可靠度指標與極限狀態函數的具體形式無關，是極限狀態函數的不變量.極限狀態函數可以定義為抗力減去荷載、安全系數減1、安全系數的對數或者其它不影響可靠度指標計算值的代數組合.

具體來說，FORM是通過迭代過程來確定可靠度指標的.為顯式地考慮變量之間的相關性，可靠度等效計算公式為[15]：

其中，Xi為第個i隨機變量，為第i個隨機變量的等效正態化均值，為第i個隨機變量的等效正態化標準差，{（Xi-）/}為隨機變量標準正態化矢量，R為相關矩陣.

3 隨機有限元法（RFEM）

3.1 RFEM特性

本節運用彈塑性有限元模型，結合蒙特卡羅數值模擬的RFEM[11]進行分析，并與FORM結果進行對比.RFEM需要生成隨機場特性并將其映現到有限單元網格上，對分布類型并沒有嚴格的限制，隨機場是在隱式正態空間中生成的，可以很容易地將正態分布映射到其他類型的分布中.在每個單元網格上，充分考慮局部平均和方差折減，并建立指數衰減的空間相關函數.隨機場初始生成后，賦予每個單元網格土體特性，并將重力荷載加于有限單元網格上.運用蒙特卡羅模擬進行多次重復計算，每一次蒙特卡羅分析過程都是在相同的均值、標準差和土性空間相關距離條件下進行的，但是土性參數的空間分布卻各不相同.根據足夠數量的分析循環次數，失效概率可以很容易地由失效次數和總模擬次數的比值來確定，分析過程也包含了土體特性和各向異性空間相關距離的互相關性.

典型單元網格由圖2所示.圖2共劃分了910個有限單元，因此對不排水邊坡共包含910個隨機變量.大多數情況通常模擬2 000次，對較大空間相關距離（Θ≥1.0）和變異系數（υ≥1.0），通常模擬5 000次.本文的目的就是要找到變異系數臨界值υcrit及其對應下的失效概率值.若要求失效概率的最大誤差為10%，可靠度為90%，那么要計算模擬的次數為2 435次，因此模擬2 000次基本能夠達到最終的誤差界限.

3.2 邊坡算例

取υCu為定值μCu=Cu，Ks=1.47，υCu為0.1，0.2，…，1.0，為，…，2，4.由RFEM分析所得3種不同坡度邊坡失效概率與FORM所得結果（Θ＝∞時）比較如圖3所示.

圖3 3種邊坡所得失效概率（Ks=1.47）

對于FORM，忽略空間變異性，在相同Ks下對應不同坡度的邊坡，其坡度大小對失效概率并無影響.但運用RFEM，坡度較大的邊坡對應的失效概率比坡度較小時對應的失效概率大.造成這一現象的原因在于RFEM的計算程序可以通過破壞機理在各向異性土體中自動找出最危險破壞路徑.對于較為平緩的不排水邊坡，破壞路徑通常位于土體深部并且通過坡底土體；對于較為陡峭的邊坡，破壞路徑卻有多種，或許會穿過坡趾，或許會通過坡底土體，因此具有較高的破壞概率.

為研究Ks對邊坡的影響，采用以上類似的計算方法.對于2∶1邊坡，取和μCu=，結果見圖5.表明忽略空間變異性使得Ks較高的邊坡在較低υcrit值下的失效概率偏低，而Ks較低的邊坡則對應更低的υcrit值.

圖4 Ks=1.47時不同坡度的ΘCu-υcrit關系

圖5 不同Ks值的ΘCu-υcrit關系

4 結語

1）本文采用驗算點法（FORM）考慮土性參數空間變異性，并結合蒙特卡羅數值模擬的隨機有限元法（RFEM），對不排水邊坡失效概率進行了分析.與忽略參數空間變異性的方法（FORM）相比，RFEM能夠根據破壞機理在各向異性土體中找到最薄弱應力路徑，因此計算所得失效概率更高.

2）數值分析結果表明，當抗剪強度參數變異系數超過臨界值υcrit，忽略參數空間變異性使得邊坡失效概率偏于不安全；υcrit值越低，忽略空間變異性造成對失效概率估計偏低的可能性越大.

3）通過相關圖表得到了υcrit大小與不同參數組合間的關系：i）與具有高安全系數的邊坡相比，低安全系數的邊坡對應更低的υcrit；ii）對不排水邊坡，坡度較大的邊坡比坡度小的邊坡具有更低的υcrit.

[1] Wu T H，Craft L M.Safety analysis of slopes[J].Journal of Soil Mechenics and Foundation，Eng Div，ASCE，1970（96）：609-630.

[2] Alonso E E.Risk analysis of slopes and its application to slopes in Canadian sensitive clays[J].Geotechnique，1976（26）：453-472.

[3] Tang W H，Yucemen M S，Ang A H S.Probability based short-term design of slopes[J].CanadianGeotechnical Journal，1976（13）：201-215.

[4] Vanmarcke E H.Reliability of earth slopes [J].Journal of Geotechnical Engineering，ASCE，1977，103（11）：1 247-1 265.

[6] 高大釗.巖土工程設計安全度指標及其應用[J].工程勘察，1996（1）：1-6.

[7] 羅文強，黃潤秋，張倬元.斜坡穩定性概率分析的理論與應用[M].武漢：中國地質大學出版社，2003.

[8] 包承鋼.可靠度分析方法在巖土工程中的應用[J].人民長江，1996，27（5）：1-5.

[9] Christian J T，Ladd C C，Baecher G B.Reliability applied to slope stability analysis[J].Journal of Geotechnical Engineering，ASCE，1994，120（12）：2 180-2 207.

[10] Griffiths D V，Fenton G A.Probabilistic slope stability analysis by finite elements[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2004，130（5）：507-518.

[11] Fenton G A，Griffiths D V.Risk assessment in geotechnical engineering[M].Canada：John Wiley&Sons Ltd，2008.

[12] 吳振君.土體參數空間變異性模擬和土坡可靠度分析方法應用研究[D].武漢：中國科學院武漢巖土力學研究所，2009：6.

[13] 吳世偉.結構可靠度分析[M].北京：人民交通出版社，1990.

[14] Low B K.Reliability-based design applied to retaining walls[J].Geotechnique，2005，55（1）：63-75.

[15] Low B K，Tang W H.Reliability analysis using object-oriented constrained optimization[J].Structural Safety，2004，26（1）：69-89.

Analysis of Influence of Spatial Variability on Undrained Slope Reliability

PAN Jian，ZHOU Sen
(College of Civil Engineering&Transportation，South China University of Technology，Guangzhou 510640，Guangdong，China)

The first-order reliability method and the random finite-element method were used to study the probability of failure of undrained slopes.The influences of slope inclination，factor of safety and cross correlation between strength parameters on a criticalvaluewereinvestigatedbyparametricstudies.Numericalresultsshowthat random finite-element method in which spatial variability of soil properties is properly accounted for can result in reasonable estimates of the probability of failure if the coefficient of variation of the shear strength parameters exceeds a critical value，which may provide a reference for design of undrained slope.

slope stability；undrained slope；finite element method；probability；failures

TU 432

A

1001-4217（2010）03-0074-07

2010-03-01

潘?。?963-），男，廣東廣州人，博士，副教授.研究方向：巖土工程地下結構設計方法和風險評估.E-mail：cvpan@scut.edu.cn