基于四維混沌系統的數字圖像加密

葉瑞松，陳永洪

（汕頭大學數學系，廣東汕頭515063）

基于四維混沌系統的數字圖像加密

葉瑞松，陳永洪

（汕頭大學數學系，廣東汕頭515063）

提出基于四維混沌系統的數字圖像加密算法.利用四維混沌系統產生的偽隨機序列，對數字圖像像素值的二進制分塊進行空間位置置亂.實驗結果表明，該算法密鑰空間大，具有好的置亂度，加密效果好，安全性高，可以有效防止統計攻擊，并具有抗剪切、加噪等攻擊的能力.

四維混沌系統；置亂；加密

0 引言

現代科技日新月異，數字圖像成為信息的重要載體.現代高性能計算機每秒可搜索數百萬個底碼，未加密的圖像存在安全威脅，傳統圖像加密算法正面臨極大壓力[1-2]，混沌系統具有初始值極端敏感依賴性、軌道遍歷性等性質，為信息加密算法提供了更多的選擇[1-3].已有文獻提出基于混沌系統的加密算法有：基于Arnold變換、Baker變換、Logistic映射以及基于混沌系統生成二進制序列的方法等[1-6].對于低維混沌的加密方案，已經有一些攻擊方法可以將其破解[7-8].高維混沌系統有更好的隨機性和初始值敏感性，基于高維混沌系統的加密算法可以獲得更好的加密效果.本文利用Qi等[4]提出的四維混沌系統生成4個混沌序列，選取序列中元素的小數部分，使之分布在區間（0，1）上.與傳統的單純改變像素空間位置相比，本文提出的算法可以同時改變像素值和像素位置，較少置亂次數就可以達到較好的置亂效果.像素值空間位置置亂后引入像素值擴散算法，能獲得更好的安全性能.數值實驗表明，本文提出的加密算法有足夠大的密鑰空間，可以抵抗統計攻擊和差分攻擊，并有抗剪切、涂鴉污染、加噪攻擊的能力.

1 四維混沌系統

Qi等[4]提出自治四維混沌系統：其中X=[x1，x2，x3，x4]T是狀態變量，a，b，c，d是正值參數.當a=35，b=10，c=1，d=10，取初始值X0=[1，1，1，1]T，系統（1）有混沌吸引子如圖1所示.

圖1 四維混沌吸引子在三維空間上的投影

2 基于四維混沌系統的加密算法

與文獻［6］中基于混沌系統生成二進制序列加密算法不同，本算法通過量化混沌軌道序列，利用混沌軌道的遍歷性置亂圖像.

2.1 混沌序列的生成

運用Runge-Kutta方法求解混沌系統（1），取a=35，b=10，c=1，d=10，步長h=0.005，初始值為X0=[1，1，1，1]T，生成4個離散混沌系列為X1，X2，X3，X4，其中Xi=為使生成的序列是分布在[0，1]上的偽隨機序列，對混沌系列作如下處理：

2.2 基于像素值二進制分塊的空間位置置亂

i）如圖2，假設圖像數據大小為M×N二維矩陣I，將數字圖像像素值轉化為二進制，從而將二維矩陣I擴展構成三維矩陣′（以大小256×256的Lena灰度圖像為例）.

iv）由x（i），y（i），z（i）完成全部隨機選取次數后，按索引矩陣J中元素值是否為0判斷A中未選取到的元素，即若J（j）=0，令B（k）=A（j），k=k+1，此時k的值由步驟iii）中k的值確定.

v）將I″轉化為十進制并存儲為二維矩陣，完成一次置亂，重復ii），iii），iv）步驟可完成多次置亂，提高置亂度.

2.3 像素值的擴散

雖然通過上述基于像素值二進制分塊空間位置置亂達到了改變原圖像像素值的目的，但為防止統計和差方攻擊，有必要對置亂后圖像像素值進一步擴散.

擴散算法如下.

式中，S是擴散過程初值密鑰，為正整數，I（k）是原圖像像素值空間位置置亂后輸出的第k個像素值，C（k）為擴散后的像素值，P為圖像灰度級位數，“⊕”為按位異或運算.其逆擴散過程函數為：

上述加密算法可逆，加密圖像的解密過程即為上述加密算法的逆算法.

2.4 加密實驗

以大小為256×256 Lena灰度圖像為例，混沌系統（1）中a=35，b=10，c=1，d=10，取初始值X0=[1，1，1，1]T，三維二進制塊分為上下層，置亂次數為3進行實驗，加密效果如圖4所示.

從圖4可以看出，圖（b）空間位置置亂3次已達到較好的效果.本文加密算法具有較大周期，可通過增加置亂次數提高置亂度，但同時對計算機計算速度提出更高的要求.

3 加密安全性能分析

一個好的加密算法不僅需要較好的加密效果，同時必須具有足夠大的密鑰空間，能較好地防止明文攻擊、統計、差分等攻擊，并具有抗剪切、涂鴉污染、噪聲污染等魯棒性.下面對本文算法的安全性能進行分析.

3.1 密鑰敏感性分析和密鑰空間

加密算法必須具有對初始值的極端敏感性和足夠大的密鑰空間，以抵抗窮舉法等非法攻擊.

密鑰敏感性測試對大小為256×256的Lena圖像進行加密實驗，取兩組不同初始值分別為：

四維混沌系統（1）中，a=35，b=10，c=1，d=10，分為2層，加密次數為3次.兩者加密圖如圖5所示.

從圖5（e）可以看出，雖然初始值X0，X0′只相差10-15，但用初始值X0′無法正確解密

圖5（b），同時，可以比較分別用初始值X0，′得到的不同加密圖（b）與（c）.用以下方法比較圖5中（b）與（c）不同的程度：

其中D，D′是分別用不同初始值加密得到的加密圖，n表示D，D′像素值不同的點個數，C表示D，D′對應位置像素值不同點的比例.數值計算表明，圖5中（b）與（c）不同的程度：C=98.516 8%，圖5（d）是表明（b）與（c）的差別圖像.以上實驗表明本算法對初始值很敏感.

密鑰空間加密算法的初始密鑰包括四維混沌系統包含的4個參數a，b，c，d，初始值X0，擴散過程中擴散初始值S，分層數K以及置亂次數T.由上面密鑰敏感性測試知，初始值最小差別可以達到10-15，而擴散初始值S可以在0～255選取，所以，不包括4個混沌初始參數的密鑰空間至少為P×8×1031×1031×1031×1031＝8P×10124，P為圖像灰度級.同時加密過程還必須確定三維二進制如何分層，由于分層與圖像灰度級P有關，這進一步擴大了本文算法的密鑰空間，增加了破解難度.由此可見本文加密算法可以具有足夠大的密鑰空間.

3.2 統計分析

攻擊者可以通過統計加密圖中像素值相關性進行攻擊解密，所以，如何有效地去除加密圖像像素值相關性，實現加密圖像像素值的有效擴散，是衡量加密算法有效性的途徑之一.本文算法在空間置亂過程中實現像素值二進制分塊移動后，利用按位異或運算有效地改變原圖的像素值相關性.如圖6所示，圖（a）原圖直方圖分布不均，圖（b）置亂后改變了原圖的直方圖，但仍分布不均，圖（c）加密圖直方圖分布均勻.

為進一步比較原圖和加密圖像素相關性的差別，分別從原圖和加密圖中隨機選取1 000個相鄰（垂直、水平、對角）的像素，計算相關系數，實驗結果如表1所示.圖7給出了原圖和加密圖垂直方向相鄰像素的相關性，可以看出，原圖垂直方

表1 原圖與加密圖相鄰像素相關系數比較

向像素相關性強，而加密圖垂直方向像素相關性弱.

攻擊者可以通過改變原圖一個像素值大小，判斷加密圖數目改變率，進行差分攻擊或明文攻擊.為抵抗差分攻擊或明文攻擊，要求上述改變率越大越好.用NPCR和UACI衡量本算法抵抗差分攻擊的有效性.NPCR是指當原圖一個像素改變時加密圖像素數目改變率，改變率越大表明加密算法對原圖越敏感，越能抵抗明文攻擊；UACI是指原圖和加密圖的相應像素平均強度的變化率，變化率越大，表明加密圖與原圖比平均強度變化越大，加密算法越好，越能抵抗差分攻擊.NPCR與UACI定義[5]如下：

其中C1，C2分別為只有一個像素值不同的兩個原圖的加密圖，D（i，j）的定義為：若C1（i，j）≠C2（i，j），則D（i，j）＝1，否則D（i，j）＝0；W，H為C1，C2的寬和高.

以Lena原圖為例，改變（8，8）處像素值為160做加密實驗并分析NPCR和UACI的值，其值情況如表2所示，可以看出當加密次數為1時效果就相當良好.

表2 NPCR和UACI測試結果

3.3 攻擊實驗

為了檢驗本文加密算法的魯棒性，對大小為的256×256的Lena灰度圖像加密3次后的加密圖進行剪切、涂鴉污染、加噪等攻擊.實驗結果如圖8所示，表明本算法有較好的魯棒性.

圖8 剪切、涂鴉污染、加噪攻擊及解密效果圖

4 結語

本文研究了基于四維混沌系統的圖像加密算法.利用像素值二進制表示法，將二維圖像像素值矩陣擴展為二進制的三維矩陣，并通過對像素值二進制分塊和擾亂達到置亂圖像像素位置空間目的，且對置亂后的圖像像素值擴散，去除了原圖像像素值相關性，可以有效抵抗統計分析和差分攻擊.數值實驗表明，本算法可以達到很好的加密效果，具有足夠大的密鑰空間，符合加密算法的要求.攻擊實驗也表明算法具有抵抗剪切、涂鴉污染、加噪等攻擊的魯棒性.

[1] 李昌剛，韓正之，張浩然.圖像加密技術綜述[J].計算機研究與發展，2002，39（10）：1 317-1 324.

[2] Shannon C.Communication theory of secrecy systems[J].Bell Syst Tech J，1949（28）：656-715.

[3] Xiang Tao，Liao Xiaofeng，Tang Guoping，et al.A novel block cryptosystem based on iterating a chaotic map[J].Physics Letters A，2006（349）：109-115.

[4] Qi Guoyuan，Chen Guanrong.Analysis and circuit implementation of a new 4D chaotic system[J].Physics Letters A，2006（352）：386-397.

[5] Chen Guanrong，Mao Yaobin，Chui C K.A symmetric image encryption scheme based on 3D chaotic cat maps[J].Chaos Solitons and Fractals，2004（21）：749-761.

[6] 程東升，葉瑞松.基于四維混沌系統生成二進制序列的方法及其加密應用[J].計算機應用，2008，28（3）：875-878.

[7] Wang Shihong，Kuang Jinyu，Li Jinghua，et al.Chaos based communications in a large community[J].Phys Rev，2002，66（6）：1-4.

[8] 倪皖蓀,華一滿.混沌通訊[J].物理學進展,1996，16（3，4）：645-655.

Digital Image Encryption Based on a 4D Chaotic System

YE Rui-song，CHEN Yong-hong
(Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063,Guangdong,China)

A novel image encryption scheme based on a 4D chaotic system is proposed.The plaintext binary block is permuted by pseudo random number generated by a 4D chaotic system.The proposed scheme has big key space and improves the scrambling degree.Simulation results show the high security and good encryption effect of the new scheme.The statistical analysis shows that it provides an efficient and secure way against statistical attack.The proposed scheme is robust against cropping and noising attacks as well.

4D chaotic system；scrambling；encryption

TP 391

A

1001-4217（2010）03-0058-08

2009-09-21

葉瑞松（1968-），男，福建漳州人，教授.研究方向：分歧理論及其數值計算，分形混沌及其計算機應用.E-mail：rsye@stu.edu.cn