二元含參量正常積分函數的分析性質

顧先明

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

1 引言及預備知識

眾多數學分析類教科書[1-4]都對含參量正常積分做了比較細致的研究，并得出了含參量正常積分在定義域上滿足一定條件后可以具有連續性、可微性和可積性等不錯的結果。之后的研究主要集中在對含參量正常積分已有的性質的推廣和深化[5-9]，而對于含參量正常積分中的被積函數的進一步推廣研究不是很多。筆者發現如果將含參量正常積分中的被積函數推廣到三元函數（甚至是n元函數）后也會得到一些類似的結果。本文將含參量正常積分中的被積函數推廣到三元函數后定義了一類二元含參量正常積分函數，并重點討論其具有的分析性質。

定義 1 設 f( x,y,z)是定義在閉長方體區域D=[a,b]×[c,d]×[g,h]上 的 的 三 元 函 數 ， 當(x, y)∈ [a,b]× [c,d ]上取某定值，函數 f (x,y,z)就是定義在[g,h]上的以z為自變量的一元函數，倘若這時f(x,y,z)在[g,h]上可積，則其積分值是(x,y)在有界區域[a ,b ]× [c,d]上取值的二元函數，記它為I(x,y)，則有

我們把形如(1)的函數叫做二元含參量正常積分函數。

定義 2 設區域 D ? R3， f:D →R，如果?ε＞0，?δ ＞ 0，使得對任意的點 (x1, y1, z1)，( x2,y2, z2)∈D， 并且當

時，有

則稱f在D上一致連續。

引理 1 若函數 f (x,y,z)在有界閉區域 D? R3上連續，則函數 f在D上一致連續。

引理 2 若函數 f (x,y,z)是定義在有界閉區域D上的連續函數，那么該函數必在該有界閉區域D上可積。

2 主要結果及證明

定理 1（連續性） 若三元函數 f (x,y,z)在閉長方體區域 D=[a,b]×[c,d]×[g,h]上連續，則函數

在區域 E= [a,b] × [c,d ]上連續。

證明 設 ?(x, y)∈ [a,b]×[c,d ]，對充分小的Δx,Δy，令(x+Δx,y+Δy)∈[a,b]×[c,d ]（若(x,y)為矩形區域的邊界，則僅考察的情形），于是

由于 f (x,y,z)在有界閉區域D連續，從而一致連續。即 對 ?ε ＞0, ?δ ＞0。 對D內 任 意 兩 點 (x1, y1, z1)，(x2,y2,z2)，只要

這就證得I(x,y)在 E= [a,b ]× [c,d ]上連續。

注 對于定理1的結論也可以寫成如下的形式：

若f (x,y,z )在閉長方體區域D上連續，則對?(x0,y0)∈[a,b ]×[c,d]，都有

定理2 若函數 f (x,y,z)與其偏導數

都在閉長方體區域 D=[a,b]×[c,d]×[g,h]上連續，則

分別關于x,y在區域 E= [a,b] × [c,d ]上可微，且

證明 只證明其中之一，另一個可類似證明，證明(4)。

對 區 域 E= [a,b] × [c,d]內 任 意 一 點(x,y)， 設(x+Δx,y+Δy)∈[a,b]×[c,d ]，則

由微分中值定理（拉格朗日中值定理）及

在有界閉域D上連續（從而一致連續），對 ?ε ＞0, ?δ ＞0只要＜δ時，就有

其中θ ∈ (0,1)，因此

這就證得對 ?(x, y)∈ [a,b]×[c,d ]，有

根據文獻[10]所給出的“多元函數可微的充要條件”的結論影響，可以進一步加強上述的定理2。

定理3 （可微性） 二元含參量正常積分函數

在點 M ( x0, y0)可微當且僅當I(x,y)在 M ( x0, y0)處偏導都存在，且 ?ε ＞0, ?δ ＞0，當時，有

證明 （必要性）已知函數I(x,y)在點 M ( x0, y0)處可微，故 Ix(x0,y0),Iy( x0, y0)都存在，且

令h=(6)式，則當

當ρ→0時，(7)→0，從而當 (x, y)→ ( x0, y0)時，對?ε ＞0,?δ ＞0時，當0時，有

（充要性）已知函數I(x,y)在點 M ( x0, y0)處的偏導數都存在，且對 ?ε ＞ 0， ?δ ＞ 0，當時，便有

則當ρ→0 時

于是當 (x, y)≠ ( x0, y0)時，

易知當ρ→0 時，(8)→0，故

由二元函數在一點可微的定義可知，二元函數u= I(x,y)在點 M (x0,y0)處可微。

定理4（可積性） 若 f (x,y,z)在閉長方體區域

上連續，則I(x,y)在有界區域 E= [a,b] × [c,d ]上可積。

證明 由定理 1已證得函數I(x,y)在有界閉區域E= [a,b ]× [c,d ]上連續，由引理2可知I(x,y)在有界區域E上可積。

定理5 若函數 f (x,y,z)在閉長方體

上可積，且對于任意的 (x,y)∈E =[a,b]×[c,d ]，定積分

存在，那么二元含參量正常積分函數I(x,y)在區域E上可積，并且

證明 對?ε＞0，用平行于坐標面的平面網T做分割，它把D分成有限個小長方體

這時，我們也得到D的一個分割T1，設 Mijk,mijk分別為 f (x,y,z)在Dijk上的上、下確界，則對于

因為函數 f (x,y,z)在長方體區域

上可積，故?δ＞0，使T ＜δ時，有

從而，根據可積的充要條件可知I(x,y)在D上可積，且

又由文獻[11]中的定理21.15可知

于是綜合上述證明過程可知

事實上，從上述定理的證明過程來看，我們還可以將含參量正常積分中的被積函數中的自變量的個數作進一步推廣，它仍然具有類似的連續性、可微性以及可積性等結果，這里就不再贅述。