碩士生入學(xué)數(shù)學(xué)試題中有關(guān)線性方程組題型解析＊

梁存利

(西藏民族學(xué)院教育學(xué)院,陜西咸陽(yáng) 712082）

碩士生入學(xué)數(shù)學(xué)試題中有關(guān)線性方程組題型解析＊

梁存利

(西藏民族學(xué)院教育學(xué)院,陜西咸陽(yáng) 712082）

總結(jié)了碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)考試題中有關(guān)線性方程組的題型,主要有不含參數(shù)的線性方程組求解、含參數(shù)的線性方程組求解、線性方程組公共解的求解和矩陣秩求解四種類型.并且歸納出四種題型相應(yīng)的求解方法.

碩士生;入學(xué)試題;線性方程組;題型;解析

線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科及經(jīng)濟(jì)學(xué)科各專業(yè)普遍開設(shè)的一門數(shù)學(xué)課程,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展與廣泛應(yīng)用,使大量工程與科研中的問(wèn)題可以通過(guò)離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決,這就使得以處理離散量為主的線性代數(shù)成為從事科研和工程設(shè)計(jì)的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).在 2009年全國(guó)統(tǒng)一命題的碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試中,線性代數(shù)就占到 34分,其中大題兩道占 22分,小題三道占 12分,并且從 2001～2009年的全國(guó)統(tǒng)一命題的碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試試題中可以發(fā)現(xiàn),線性代數(shù)所占比例逐年增大.近幾年碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試試題中有關(guān)線性方程組的題型,主要有不含參數(shù)的線性方程組求解、含參數(shù)的線性方程組求解、線性方程組公共解的求解以及矩陣秩求解四種類型,下面以碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)試題為例對(duì)四種類型的問(wèn)題詳細(xì)解析.

1 不含參數(shù)的線性方程組求解

這類題型一般都是基礎(chǔ)題型,主要用消元法,即對(duì)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)矩陣即可.

分析 此題實(shí)際上就是求解兩個(gè)線性方程組,利用初等行變換把增廣矩陣化為階梯型即可.

同理也可求解出ξ3=k2(-1,1,0)T+k3(0,0,1)T+(-1/2,0,0)T(此處省略).

2 含參數(shù)的線性方程組求解

含參數(shù)的線性方程組解的問(wèn)題主要從兩個(gè)方面命題,第一個(gè)方面就是直接命題法,即針對(duì)不同的解的情況,對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,如 2008年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題中第 21題、2004年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題中第 20題等都是這個(gè)類型的;第二方面就是已知解的的情況求參數(shù)的值.對(duì)這類問(wèn)題常采用以下方法[1,2].

1)初等行變換法.就是對(duì)方程組的增廣矩陣通過(guò)初等行變換化為階梯形矩陣,然后根據(jù)系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩是否相等,討論參數(shù)在什么情況下有解?討論參數(shù)在什么情況下無(wú)解?有解時(shí)再求出一般解.

2)當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí),若系數(shù)行列式不等于零,可用克萊姆法則;若系數(shù)行列式等于零,列出增廣矩陣用消元法求解.

例 2(2004年試題數(shù)學(xué)一) 設(shè)有齊次線性方程組:

試問(wèn) a取何值時(shí),該方程組有非零解,并求出其通解.

解法 1(初等行變換法) 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換,有:

當(dāng) a=0時(shí),r(A)=1

于是方程組的通解為 x=k1η1+…+kn-1ηn-1,式中 k1,…,kn-1為任意常數(shù).

當(dāng) a≠0時(shí),對(duì)矩陣 B作初等行變換,有:

由此得基礎(chǔ)解系為η=(1,2,…,n)T.于是方程組的通解為 x=kη,其中 k為任意常數(shù).解法 2 方程組的系數(shù)行列式為

當(dāng) a=0時(shí),對(duì)系數(shù)矩陣 A作初等行變換,有

故方程組的同解方程組為 x1+x2+…xn=0,由此得基礎(chǔ)解系為

于是方程組的通解為 x=k1η1+…+kn-1ηn-1,其中 k1,…,kn-1為任意常數(shù).

故方程組的同解方程組為:

由此得基礎(chǔ)解系為η=(1,2,…,n)T.于是方程組的通解為 x=kη,其中 k為任意常數(shù).

3 線性方程組公共解的求解

線性方程組Ⅰ和Ⅱ的公共解就是同時(shí)滿足兩個(gè)方程組的通解.關(guān)于公共解一般有以下幾種解決方法[]:

1)若已知線性方程組Ⅰ和Ⅱ的一般式,可聯(lián)立求解;

2)若已知線性方程組Ⅰ和Ⅱ的通解,令其相等求出參數(shù)所滿足的關(guān)系就得到公共解;

3)若已知線性方程組Ⅰ的一般式和Ⅱ的通解,將Ⅱ的通解代入Ⅰ中求出參數(shù)所滿足的關(guān)系就得到公共解.

解 (聯(lián)立法) 將方程組和方程聯(lián)立,后可得線性方程組:

其系數(shù)矩陣

顯然,當(dāng) a≠1,a≠2時(shí)無(wú)公共解;當(dāng) a=1時(shí),可求得公共解為ξ=k(1,0,-1)T,k為任意常數(shù);當(dāng) a=2時(shí),可求得公共解為ξ=(0,1,-1)T.

4 矩陣秩求解

與線性方程組有關(guān)的矩陣秩的問(wèn)題主要是利用齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩、未知數(shù)的個(gè)數(shù)、解向量的維數(shù)以及基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)來(lái)推導(dǎo)有關(guān)矩陣秩的關(guān)系[5].

例 4(2006年試題數(shù)學(xué)一) 已知非齊次線性方程組

有 3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.(Ⅰ)證明方程組系數(shù)矩陣 A的秩 r(A)=2.

證明 設(shè)α1,α2,α3是方程組 Ax=b的 3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,其中

則α1-α2,α1-α3是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0的解,且線性無(wú)關(guān).(否則,易推出α1,α2,α3線性相關(guān),矛盾).所以,n-r(A)≥ 2,即 4-r(A)≥ 2?r(A)≤2.

因此r(A)=2.

本題綜合考查矩陣的秩、初等變換及方程組系數(shù)矩陣的秩和基礎(chǔ)解系的關(guān)系,這是考查綜合思維能力的一種重要形式.

[1]徐仲.理工科線性代數(shù)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2002:61-77.

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2000:104-146.

[3]劉三陽(yáng),王世儒,毛用才,等.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2000:277-297.

[4]趙樹嫄.線性代數(shù) [M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2008:109-156.

[5]張禾瑞.高等代數(shù) [M].北京:高等教育出版社,1999:141-168.

The SolvingMethods of L inear Equations in the Postgraduate Entrance Examnition of AdvancedMathmatics

L IANG Cun-li

(Depar tment of Education,TibetNationalities Institute,Xianyang Shaanxi 712082,China)

This paper takes the exercises from the postgraduate entrance examinations of advanced mathmatics for examples and summarises fourperspectivesof checkingLinear Equations in the examnations.Meanwhile itoffers the responding solvingmethods.The four perspectives are the solving of linear systemswithout parameter,the solving of equationswith parameter,the solving of common solution of linear equations and the solving of the rank of a matrix

postgraduate;entrance examinations;Linear Equations;the types of exercises;analysis and solution

O 174

A

1673-2103(2010)05-0100-05

2010-07-01

梁存利 (1969-),男,陜西西安人,講師,碩士,研究方向:高數(shù)教學(xué)法,智能計(jì)算等.