一般穩(wěn)態(tài)空時中的拉普拉斯算子＊

張建華

(菏澤學院物理系,山東菏澤 274015）

一般穩(wěn)態(tài)空時中的拉普拉斯算子＊

張建華

(菏澤學院物理系,山東菏澤 274015）

從歐氏空間梯度與散度的基本概念出發(fā),導出四維彎曲空時中的梯度與散度,得到一般穩(wěn)態(tài)空時中的標量、逆變矢量與協(xié)變矢量的Laplace算子.

梯度;散度;Laplace算子;四維彎曲空時;穩(wěn)態(tài)空時

引言

眾所周知,在歐氏空間三維直角坐標系中的梯度算子為

拉普拉斯算子定義為梯度的散度

歐氏空間任意正交曲線坐標系中的Laplace算子為[1]

三維歐氏空間和四維閔可夫空時都是平直空時,空時曲率為零;彎曲空時有兩種:黎曼空時——正曲率空時,和羅氏空時——負曲率空時.根據(jù)廣義相對論,大質量天體使它周圍的空時彎曲.在彎曲空時中,質點沿短程線運動,物質的能量——動量張量與空時曲率、空時度規(guī)滿足下述 Einstein場方程[2]:

與在平直空時中不同,在彎曲空時中描述物質運動的動力學方程不僅與質點所受的主動力有關,而且要受到空時度規(guī)的影響;與動力學方程密切相關的Laplace算子當然也受空時度規(guī)的制約.

在彎曲空時中,如何推導出 Laplace算子的具體形式呢?Vaidya-Bonner空時中的 Laplace算子[3]和一般球對稱動態(tài)空時中的Laplace算子[4]已經(jīng)給出.本文將推導出一般穩(wěn)態(tài)空時中的拉普拉斯算子.

1 四維彎曲空時中的梯度與散度

1.1 矢量的梯度與散度

與歐氏空時中梯度算子的表達式 (1)不同,在四維彎曲空時中必須引入空時聯(lián)絡Γρμν,它是由于彎曲空時中相鄰兩點時空性質的差異而引入的一個系數(shù).粒子物理學中,微觀粒子可分為費米粒子和玻色粒子;前者是自旋為半整數(shù)的粒子,后者是自旋為整數(shù)的粒子.其中自旋為零的粒子叫做標量粒子,例如π介子、η介子、κ介子等,相應的量子化場叫做標量場;而自旋為 1、質量為零的粒子叫做矢量粒子,例如光子,相應的量子化場叫做矢量場.還有旋量場,它表示自旋為的粒子.對于矢量,必須區(qū)分逆變矢量和協(xié)變矢量.

逆變矢量的協(xié)變微分定義為逆變矢量的梯度[5],即

協(xié)變矢量的梯度定義為它的協(xié)變微分,即

逆變矢量的梯度的縮并定義為逆變矢量的散度,即

求協(xié)變矢量的散度,首先通過度規(guī)升降指標,將協(xié)變矢量變?yōu)槟孀兪噶?然后縮并,即

式 (7)和式 (8)可以分別變成

以及

式 (9)、式 (10)分別是逆變矢量和協(xié)變矢量的散度的度規(guī)表達式,也叫做逆變矢量和協(xié)變矢量的 Laplace算子表達式.

1.2 標量的梯度與散度

在四維彎曲空時中,設有標量場Φ,它的梯度為

這是一個協(xié)變矢量.按照式 (10),它的散度為

式 (12)就是標量的散度表達式,又叫做標量的 Laplace算子.

2 一般穩(wěn)態(tài)空時中的 Laplace算子

2.1 一般穩(wěn)態(tài)空時線元

靜態(tài)空時通常指施瓦希空時和 Reissner-Nordstr?m空時,它們的空時線元分別是[6]

上兩式中的 r、m、Q分別表示天體的球半徑、質量和電荷,它們均不隨時間變化.

穩(wěn)態(tài)空時是黎曼空時的一種,一般包括 Kerr空時和 Kerr-Newman空時,是非球對稱的軸對稱空時.Kerr空時度規(guī)是[7]

Kerr-Newman空時度規(guī)是

式 (15)和 (17)中的 r、m、a分別表示天體半徑、質量和單位質量的角動量;而 Q表示 Kerr—Newman黑洞所帶電荷.

將ωB=2m ar以及 B代入式 (15),進行恒等變形,則式 (15)可以變?yōu)?/p>

比較式 (17)和 (19),發(fā)現(xiàn)式 (17)表示一個帶電轉動黑洞的外部空時,而式 (19)則表示不帶電的轉動黑洞的外部空時,它們都是穩(wěn)態(tài)空時.

2.2 一般穩(wěn)態(tài)空時中的Laplace算子

為使研究的問題具有一般性,可設式 (17)作為一般穩(wěn)態(tài)空時的空時線元.由式(17),可以得到度規(guī)行列式之值為

度規(guī)的逆變形式為

將式 (20)、(21)代入式 (10),可得一般穩(wěn)態(tài)空時中標量場的拉普拉斯算子為

將式 (20)、(21)代入式 (9),得一般穩(wěn)態(tài)空時中逆變矢量場的 Laplace算子為

注意,該式中 (a0,a1,a2,a3)=aμ,是逆變矢量的四個分量.

將式 (20)、(21)代入式 (10),得一般穩(wěn)態(tài)空時中協(xié)變矢量場的 Laplace算子為

3 結論與展望

我們已經(jīng)從歐氏空間梯度與散度的概念出發(fā),推導出四維彎曲空時中矢量及標量的梯度以及 Laplace算子的一般表達式;在此基礎上得到了一般穩(wěn)態(tài)空時中的標量及矢量的 Laplace算子,它們分別由式 (22)、(23)、(24)所表示.

1)由式 (22),令 Q=0,可得 Kerr黑洞周圍空時中標量場的 Laplace算子:

式中:Δ=r2+a2-2m r.

2)在式 (25)中,令 a=0,Q≠0,則得 Reissner-Nordstr?m空時中標量場的 Laplace算子:

3)若令 a=0,Q=0,則得 Schwarschild空時中標量場的 Laplace算子:

4)由式 (26)、(27),不難導出矢量場在 Kerr黑洞周圍空時中、Reissner-Nordstr?m空時中、Schwarzschild空時中的 Laplace算子.

[1]謝樹藝.矢量分析與場論[M].北京:人民教育出版社,1978:70.

[2]王永久,唐智明.引力理論與引力效應[M].長沙:湖南科技出版社,1990:92.

[3]張建華.Vaidya-Bonner空時中的 Laplace算符[J].商丘師范學院學報,2007,30(3):57-60.

[4]張建華.一般球對稱引力場中的拉普拉斯算子[J].菏澤學院學報,2008,30(2):56-60.

[5]劉遼,趙崢.廣義相對論[M].第 2版.北京:高等教育出版社,2004:52.

[6]趙崢.黑洞的熱性質與時空奇異性[M].北京:北京師范大學出版社,1999:47-54.

[7]Kerr R P.Gravitational Field of a SpinningMass as an Example of Algebraically SpecialMetrics[J].Phys Rev Lett,1963,11:237.

Laplace Operator in Generally Steady State Space-T ime

ZHANG Jian-hua
(Department of Physics,Heze University,Heze Shandong 274015,China)

Starting from the basic conceptions of gradient and divergence in Euclidean space,we drive out the gradient and divergence in 4-D curve space-time,and the Laplace operator of a scalar,or converter and covariant vector in generally steady state space-time are obtained.

gradient,divergence,Laplace Operator,4-D curve space-time,steady state space-t ime.

O 175.3

A

1673-2103(2010)05-0055-04

2010-03-08

國家自然科學基金資助項目 (1077302)

張建華 (1946-),男,山東單縣人,教授,研究方向:黑洞物理和宇宙學.