巴菲特對超長期看跌期權(quán)的錯誤計算

[摘要]在巴菲特對投資者2009年的公開信中，他討論了BS模型應(yīng)用于超長期看跌期權(quán)所存在的一些問題。從直觀理解來看，本人認(rèn)為巴菲特在此文中犯了三個錯誤。巴菲特的做空看跌期權(quán)不過也是一種投機(jī)罷了。

[關(guān)鍵詞]巴菲特致投資者公開信 期權(quán)錯誤計算 指數(shù)長期期權(quán) BS模型

巴菲特在本年的致股東公開信中，用了整整一頁討論了BS模型應(yīng)用于歐式超長期認(rèn)沽期權(quán)所得出的荒謬結(jié)論。對于一個期限為100年的標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的10億美元的看跌期權(quán)空頭頭寸來講，巴菲特用以下公式:10億美元*1%*50%，計算得出其期望損失僅為500萬美元。在這里他假設(shè)最大的可能損失為10億美元，而且期權(quán)到期時指數(shù)下降50%的概率僅為1%。其后他進(jìn)一步地指出他賣出看跌期權(quán)損失的機(jī)會基本上是不存在的，從而得出結(jié)論BS公式的定價是荒謬的。

10億美元的價值。對于賣出的10億美元的看跌期權(quán)合約，巴菲特指出用BS公式計算出合約價值為250萬美元。這讓我疑惑，因為期權(quán)的價值也就是其價格。雖然期權(quán)不一定會按照其理論價值在市場上出售，但其理論價值和實際的交易價格卻不會相差達(dá)到四百倍。所以我可以斷定巴菲特合約的價值為10億美元，而不是他所說的250萬美元。

通過一個的簡單的計算重構(gòu)巴菲特的頭寸，取903點作為執(zhí)行價，并假設(shè)當(dāng)前指數(shù)水平為903點，波動率為15.5%，無風(fēng)險利率為3%。依據(jù)B-S公式計算出價值為2.5。如果把指數(shù)的每一點當(dāng)作1美元來看的話，那么每份期權(quán)的價值為2.5美元。所以一份10億美元的合約實際上是由4億份這樣的看跌期權(quán)構(gòu)成的。現(xiàn)在就有可能用巴菲特的計算方法重新計算。如果指數(shù)在到期時下降50%，那么看跌期權(quán)賣出者將要支付的金額超過1800億美元，這樣一來期望損失就為18億美元(仍然假設(shè)這種情形發(fā)生的概率為1%)，而不是巴菲特所計算的500萬美元。

巴菲特用于計算他賣出其看跌期權(quán)空頭頭寸的期望損失的方法是錯誤的，其理由有三個:第一，他并沒有考慮到那些損失較小而發(fā)生概率很大的可能和那些損失很大而發(fā)生概率較小的可能，但這些都顯著地影響到了期望損失的值;第二，巴菲特給出的1%的概率，只是直覺地取于現(xiàn)實，缺乏科學(xué)依據(jù)，概率值也太低;第三，用BS公式計算的期權(quán)價值為無套利價格(如果BS公式的假設(shè)成立的話)，所以指數(shù)的真實回報率與此是不相關(guān)的。

在BS公式中，指數(shù)是遵循隨機(jī)游走的幾何布朗運(yùn)動，并且100年后指數(shù)水平是對數(shù)正態(tài)分布的。那么指數(shù)最終賣出的看跌期權(quán)為實值期權(quán)的概率，用公式計算:P(ST < X )= 1 - N ( d2 ) = 12.3%， 其中，ST是指數(shù)的最終水平，X為執(zhí)行價格，N(*)是累積正態(tài)分布函數(shù)，d2 是B-S模型中定義的參數(shù)，并且d2是在風(fēng)險中性的條件下計算得到的值(并不是真實值)。進(jìn)一步地，我們計算出指數(shù)水平最終低于執(zhí)行價超過50%的概率近似等于5.4%，而這個值是巴菲特直觀假設(shè)值1%的五倍多，這樣按照巴菲特的方法計算期望損失則為4億8500萬美元。如果按照B-S公式，每份期權(quán)的期望損失為2.5美元，而巴菲特合約的期望損失為10億美元，也是賣出看跌期權(quán)所能獲得的報酬。

10億美元的總損失。巴菲特很可能在計算其賣出看跌期權(quán)這一交易的可能總損失是假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)從903點一直跌至0點的損失值。這樣指數(shù)的每一點也就代表了110.7萬美元。再用上述參數(shù)，用BS公式計算得出對于最大可能損失為10億美元的期權(quán)來說，其價值就為276.1萬美元，這就很接近巴菲特所算的250萬美元了。巴菲特將10億美元當(dāng)作其賣出看跌期權(quán)的價值的這種做法是不對的。用我們前面的分析方法，指數(shù)下跌超過執(zhí)行價50%的概率仍然是5.4%，100年里的期望損失為至少2700萬美元，而不是巴菲特估計的500萬美元。而相對于總可能損失10億美元來講，現(xiàn)期的期望損失溢價276.1萬美元，而不是巴菲特計算的25萬美元。

長期期權(quán)。巴菲特的很多結(jié)論都是利用現(xiàn)實數(shù)據(jù)得出的，比如說通貨膨脹率，留存收益等，這些都與無套利價格并不相關(guān)。巴菲特不相信BS公式對長期期權(quán)定價，但是他給出的理由很有問題。就算標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的變動是一個隨機(jī)游走過程而不是幾何布朗運(yùn)動，那么長期波動也是隨機(jī)的，無風(fēng)險利率水平在長達(dá)100年的時間里也可能波動很大。由于BS公式的假設(shè)不成立而造成了BS公式中計算的理論價值與真實值并不相關(guān)。可是巴菲特指出的理由與此并不相關(guān)。

在BS公式中，100年期的看跌期權(quán)價格對波動率和無風(fēng)險利率都是極為敏感的。計算無風(fēng)險利率為3%時，波動率變化而引起的期權(quán)價值變化的情況，當(dāng)波動率從15.5%下降到14.5%時，期權(quán)價值下降了33%;波動率從10%到15.5% 時， 期權(quán)價值上漲幅度甚至高達(dá)36倍。無風(fēng)險利率的不同，用BS公式計算的期權(quán)價值也有很大的差別，固定波動率15%，通過計算我們發(fā)現(xiàn)無風(fēng)險利率每變化一百個基點，相應(yīng)的期權(quán)價值甚至相差了十倍，這些差別是萬萬不可忽略的。所以即使BS公式是可以應(yīng)用于長期期權(quán)的，但是由于一些參數(shù)的細(xì)微差別，往往導(dǎo)致我們得出不正確的期權(quán)價值。如果模型中的參數(shù)都不正確，那么我們又怎么能斷定BS公式對長期期權(quán)的定價是高估了呢，又怎么能說其定價是荒謬的呢?

從某種意義上來說，巴菲特的觀點是建立在長期資產(chǎn)回報率或指數(shù)回報率可預(yù)測的基礎(chǔ)上的。可預(yù)測性即指更少的不確定性，更低的波動率，又或更低的期權(quán)價格(Lo和Wang，1995)。所以，如果將短期內(nèi)的正確的參數(shù)(如前指出這很可能是不存在的)應(yīng)用于BS公式中以計算長期期權(quán)的價格，那么我們就能說得出的期權(quán)價值是高估了的。

總而言之，一方面，我們不可能知道BS模型是高估還是低估了長期期權(quán)價格;另一方面，如果不用BS公式，我們根本沒有其他的途徑來定價這種長期期權(quán)。所以顯然地巴菲特錯誤地認(rèn)為BS或者其交易對手們都高估了定價。

參考文獻(xiàn):

[1]Warren Buffet，(2009): Letter to the Shareholders of Berkshire Hathway Inc.， February 27， 2009

[2]John C. Hull，(2006) : Options， Futures， and Other Derivatives， 6th ed. Upper Saddle River， NJ: Prentice Hall