淺談條件概率在生活中的應用

摘要條件概率實際概率論中非常重要的概念之一。也有許多學者對其中應用方面進行研究，取得很多重要成果。本文在其基礎上，通過查閱各類資料，問卷調查等方面收集各方面的信息，分析統計得到一些生活中較常見的應用實例。在深刻理解條件概率的定義、相關性質、概率計算以及三個重要公式的基礎上，本文主要討論了條件概率在生活中的應用廣泛性，在對其應用進行列舉分析外，并對實用實例進行進一步的說明和拓展。

關鍵詞條件概率全概率貝葉斯應用

中圖分類號:O21文獻標識碼:A

人類在解決工農業生產，工程技術，科學研究和各種社會活動中的各種各樣的實際問題時，有必要也有可能考慮隨機因素的影響。在實際問題中，常常需要計算較為復雜的事件的概率，當研究一個或多個隨機變量時，常常會遇到這樣的情形，在已知某隨機事件(一般說來與被研究的隨機變量有關)發生的條件下，求這個或這些隨機變量取值的條件概率。例如:“在事件B發生的條件下，計算事件A發生的概率”。這就是條件概率問題，而本文就條件概率的定義、三個重要公式及應用進行探討。

1 條件概率的定義

定義1:對任意事件A和B，P(B)>0，則稱P(A|B)= 。為在事件B已知發生的條件下，事件A發生的條件概率。

定義2:若事件A發生的可能性不受事件B發生的影響，即P(A|B)=P(A)，則稱事件A與B是獨立的。

在古典概型中，設試驗E的基本事件總數為N，B所含的基本事件數為m(m>0)。AB所含的基本事件數為k，即有:

P(A|B)===

2 關于條件概率的三個重要公式

2.1 乘法公式

由條件概率的定義，立即可以得到下述公式

乘法公式 設A、B為兩事件，若P(B)> 0，則P(AB)=P(B)P(A|B)

若P(A)> 0，則P(AB)=P(A)P(B|A)

上述兩式可以用來求某些積事件的概率，且很容易推廣到多個事件的積事件的情況。

如:設A、B、C為事件，且P(AB)> 0，則有P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB)

在這里，注意到由假設P(AB)> 0，可推得P(A)P(AB)> 0一般，假設A1、A2、……An為n個任意事件n≥2，P(A1A2…An-1)> 0，則有:

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A1A2…An-1)。

2.2 全概率公式

貝努利概型 如果試驗E只有兩個可能的結果，B與B，并且P(A)= P(0 < P < 1)那么把E獨立地重復進行n次的試驗構成了一個試驗，這個試驗稱為n重貝努利試驗或貝努利概型。

設A、B是兩個事件，那么A可以表示為A=AB∪AB，顯然AB∩AB=，如果P(B)、P(B)> 0，則P(A)=P(AB)+P(AB)= P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)

上式是概率論中頗為簡單事件，為了求復雜事件的概率，最后利用概率可加性得到最終結果，這一方法的一般化就是所謂的全概率公式。

定義3:設S為試驗E的樣本空間，B1、B2、……Bn為E的一組事件。

若:(1)BiBj = i≠j，i = j =1、2、3、……n

(2)B1∪B2……∪Bn = S

則稱B1、B2、……Bn為樣本空間S的一個劃分。

若B1、B2、……Bn是樣本空間的一個劃分，那么，對每次試驗，事件B1、B2、……Bn中必有一個且只有一個發生。

全概率公式 設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1、B2、……Bn為S的一個劃分，且P(Bi) > 0，(i = 1，2，……n)則對任意事件A，有:

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+……+P(Bn)P(A|Bn)

=P(Bi)P(A|Bi)

2.3 貝葉斯公式

貝葉斯公式 設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1、B2、……Bn為S的一個劃分，且P(A)> 0，P(Bi)> 0(i = 1，2，……n)

則P(Bi|A) = (i=1，2，……n)

3 條件概率的實際應用

3.1 條件概率在天氣預測中的應用

由長期的統計資料分析各有關規律，以便應用于來年的此類情況的預測是一個非常重要的手段，而在下例中就是從某地區六月的下雪打雷情況進行分析得到概率，對以后的同一時間下雨和打雷情況預測有一定參考。

例1、由長期的統計資料得知，在重慶東南地區的某一山區六月下雨(記作事件A)的概率為，打雷(記作事件B)的概率，既下雨又打雷的概率為，求P(A|B)，P(B|A)，P(A∪B)。

解:已知P(A) = ，P(B) = ，P(AB) =

由條件概率公式可得:

由事件和的概率公式可得:

P(A∪B)= P(A)+ P(B)- P(AB) =+-= 0.466

3.2 條件概率在抽簽問題中的應用

在日常生活中我們常常需要確定一個次序問題，除了一般的某種特殊規定條件下的次序外，而很多情況下都是采用抽簽的方法。

例2、某一招聘面試講課中共有10個課題，有3個較生疏的課題講起來較難三個人參加抽簽考試，不重復地抽，每個人抽一次，甲先抽，乙次之，丙最后，證明三個人抽到難簽的概率相等。

證明:設A、B、C分別為甲、乙、丙抽到難簽的事件。分別計算P(A)，P(B)，P(C)。

(1)P(A) = = 0.4

(2)P(B) = P[B(A+A)] = P(BA+BA)

= P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

其中A+A= ，AA =

= · + ·=== 0.4

(3)P(C)=P[C(A B+AB+AB+AB)]，

且A B+AB+AB+AB=，

且A B∩AB∩AB∩AB =

P(C) = P(A)·P(B|A)·P(C|AB)+ P(A)·P(B|)·P(C|AB)+ P(A)·P(B|A)·P(C|AB)+P(A)·P(B|A)·P(C|AB) = 0.4

P(A) = P(B) = P(C) = 0.4

即抽到難簽的概率與抽簽先后順序無關。

3.3 條件概率在產品質量檢測中的應用

產品質量對于我們消費者來說非常重要，所以我們要對質量進行檢測，產品質量檢測需要我們計算出產品被消費者接收的概率或其次品率，用條件概率的三個重要公式很容易計算出相應的概率。

例3、某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，提供根據以往的記錄有以下的數據:

設這三家工廠的產品在倉庫中是均勻混合的，且無區別的標志。

(1)在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率。

(2)在倉庫中隨機地取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產的概率分別是多少?試求這些概率。

解:設A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1，2，3)表示“所取到的產品是由第i家工廠提供的”，易知，B1，B2，B3是樣本空間S的一個劃分，且有:

P(B1)= 0.15，P(B2)= 0.80，P(B3)= 0.05，P(A|B1)= 0.02，

P(A|B2)= 0.01，P(A|B3)= 0.03。

(1)全概率公式:

P(A)= P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)

= 0.0125

(2)由貝葉斯公式:

同理可算得:P(B2|A) = 0.64P(B3|A) = 0.12

以上結果表明，這只次品來自第而家工廠的可能性最大。

3.4 概率在臨床醫學中的應用

條件概率在診斷疾病方面的應用也是非常有效的。

例4、假設用某種簡化的試驗來診斷結核，經診斷真正患有結核者被診斷為結核的概率是0.95未患結核的概率為0.90，現對一批患結核為萬分之四的人進行結核普查試驗，某人被診斷患有結核。試求此人真正患有結核的概率有多大?

解:設A={某人被診斷為患有結核}，A1={某人真正患有結核}，A2={某人未患有結核}，顯然B能且只能與A1、A2之一同時發生，即B = A1+A2，已知P(A1) = 0.0004。P(A2) = 0.9996，P(B| A1)= 0.5，P(B| A2) = 1-0.90 = 0.10

由全概率公式可得:

P(B)= P(A1)·P(B|A1)+ P(A2)·(B|A2)

= 0.0004€?.95+0.9996€?.10

= 0.10034

再由逆概率公式得:

此結果說明，診斷患有結核者，真正患有結核的可能性不大，(一千人中不到四人)，故不必太緊張。建議做一下其他項目的相應檢查，經多次論證。才能得到比較確切的結果。但是也有可能有人回懷疑這個結果，認為0.38%太小了，實際上，我們假設某城市有100萬人，則有3800人患有結核，而99萬6200人未患肺結核，出現這種不符合的情況原因，在于未患結核而被錯誤地診斷為肺結核太多了，所以對于醫學診斷方面還需要更先進行的技術使正確率提高。

3.5 條件概率在無線電通訊中的應用

在通信系統的設計中，應用條件概率，確定最佳接收件，使信源的消息在有噪聲和干擾存在的信道中傳輸，信息到達目的地后產生的錯誤，概率為最小，來自信源的消息經過信道編碼，調制等加工處理進行信道在噪聲和干擾的信道中傳輸，到達接收端經信道解碼，檢測、判決送給接收者。

例5、在通訊渠道中，可傳送字符AAAA、BBBB、CCCC三者之一，假定傳送這三者的概率分別為0.3，0.4，0.3，由于通道噪聲的干擾，正確接收到被傳送字母的概率為0.6，而收到其他字母的概率為0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影響，若接收到的是ABCA，問被傳送的是AAAA的概率?

解:分別以A、B、C表示傳送字符AAAA、BBBB、CCCC以M表示接收到ABCA。

由題意知:P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(C) = 0.3，

P(M|A)= 0.62€?.22，P(M|B)= 0.6€?.23，P(M|C)= 0.6€?.23

由貝葉斯公式有:

P(A|M)

3.6 條件概率在問卷調查中的應用

在做有關敏感性問題的調查時，往往由于被調查者對真實情況的隱瞞而得不到真實的調查結果。而在下面就以學生考試作弊為例，提供了一個簡單的方法可以解決被調查者對真實情況的隱瞞的情況。

例6、設計了以下方案，這個方案的核心是以下兩個問題:

問題1:你的生日是在7月1號之前?

問題2:你是否在考試時作過弊?

被調查者只需回答其中一個問題，至于回答哪一個問題與被調查者從一個袋子里事先摸出一個球，看過顏色后放回，若抽出白球則回答問題1;若抽出紅球則回答問題2。袋中只有白球和紅球，且紅球的比率是已知的。即

P(紅球) = ，P (白球) = 1-

被調查者無論回答問題1還是問題2，只需在下面問卷上認可的方框內打勾，然后將答卷放入一只密封的投票箱內。由于抽題與答卷都是在無人的房間進行的如何外人都不知道被調查者抽到什么顏色的球和在什么地方打勾，這樣就比較容易使被調查者確信他(她)參加這個調查不會泄露個人秘密。

當有較多人參加調查后，就打開投票箱進行統計。設有n張答卷，其中k張答“是”，答“是”的比率為，可以用 = k/n估計，記為P(是)=k/n

這里的“是”包含摸到白球后回答問題1“是”，這是一個條件概率，而一般認為是0.5，即P(是|白球)=0.5;還有就是摸到紅球后回答問題2“是”，者也是一個條件概率，即考試作弊同學在全體同學中所占的比率p，即

P(是|紅球) = p

由全概率公式得到:

P(是)= P(是|白球)P(白球)+ P(是|紅球)P(紅球)

= 0.5(1-)+ p

像這類敏感性問題的調查是社會調查中的一類，如一群人中參加賭博的比率，學生中上網玩大型游戲的比率等等都可以參照此方法組織調查，得到比較真實的數據。

5 小結

本文在條件概率的定義和性質的基礎上，提出了一些簡便的多元隨機變量的條件概率的計算方法，本文還立足于生活，對條件概率在生活中的簡單應用進行列舉，并對所舉例子進行了簡單總結。

參考文獻

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