隨機有限元可靠性分析在教學中的應用

摘要本文扼要的介紹了可靠度基本理論，著重闡述了一次可靠度方法。在結構可靠度的算例中，以平面框架作為研究對象，引入概率模型，分析了該框架結構層間位移的可靠度指標，得出各個功能函數(shù)中，隨機變量的靈敏度值，將可靠度和靈敏度用于結構受力性能的教學中可以提供定量和直觀的依據(jù)。

關鍵詞框架結構 可靠度 靈敏度 概率

中圖分類號:G420文獻標識碼:A

工程結構必須符合的規(guī)定條件包括安全性、實用性和耐久性。①為了確定結構的可靠性和各構件在結構中的作用，常使用確定性分析。而本文提出的不確定性分析能夠直觀定量的給出結構的失效概率和各構件的參與程度，輔助結構分析的教學。

1 可靠度基本概念

對結構功能函數(shù)Z = g(X)，結構處于失效狀態(tài) Z < 0 時的概率分布函數(shù)為Ff 。若以隨機向量X作為功能函數(shù)的變量則有失效概率Pf :

Pf = Prof{g(X) < 0}

工程應用假設功能函數(shù)Z服從正態(tài)分布(高斯分布)，使功能函數(shù)標準化，在極限狀態(tài)面上某一點用平面來近似極限狀態(tài)曲面，也就是把極限狀態(tài)函數(shù)在這點上進行泰勒展開，并省略二次以上的項:

得失效概率為②

其中

可靠度指標的定義

一次可靠度方法(FORM)的原理就是將求解失效概率的問題轉化為求解一次可靠度指標的問題，而一次可靠度求解的關鍵在于確定設計點的位置。從設計點的定義可以看作是有約束優(yōu)化的問題，可以通過線性搜索法進行求解。③④

其中，功能函數(shù)對于隨機變量梯度的計算可以通過隨機有限元方法進行。

2 框架結構可靠度計算

對于某一簡化的3層2跨平面框架結構，層高為3000mm，梁長度為4000mm，假設所有梁均采用250mm x 400mm截面，柱子均采用400mm x 400mm 截面。假設該平面框架荷載計算寬度為4000mm，板上受2kN/m2均布自重荷載，則自重荷載按照梁的長度平均分配到節(jié)點上可得各節(jié)點的等效節(jié)點荷載，由于框架底部固支在地面，地面層荷載和梁單元忽略不計。設結構受到橫向地震作用加速度系數(shù) = 0.15g，利用底部剪力法計算出每個節(jié)點所受到的橫向地震作用力。

考慮結構參數(shù)的不確定性，由荷載隨機變量模型的分析得到，認為橫向地震作用按極值II型分布，均值為標準值的1.06倍，變異系數(shù)為0.3。荷載和截面屬性作為隨機變量輸入，豎向荷載，材料彈性模量作為確定性變量處理。考慮橫向作用即隨機變量1~9的相關系數(shù)為1，其余隨機變量的相關系數(shù)為0。其中隨機變量的序號排列由低到高。

取框架的層間位移作為判斷結構是破壞的準則，功能函數(shù)寫成g1=- u2

式中1/550表示框架結構彈性層間位移限制，u2是第2層節(jié)點的橫向位移值。對于每一個功能函數(shù)利用一次可靠度方法計算可靠度指標，可以評估出結構在定義的破壞機制下的可靠性。

由上述分析可知，結構可靠度指標遠遠小于規(guī)范規(guī)定值3.7，可知結構存在安全性隱患。隨機變量經(jīng)過變換把相關性分離后的靈敏度，由數(shù)據(jù)可以知道，對于結構首層的層間位移其最大作用的是橫向地震荷載的取值。為了更清楚的比較其他隨機變量對于層間位移的參與程度，將為經(jīng)過相關系數(shù)分離變換的橫向荷載靈敏度顯示，由圖2可得，在同一層中，質量較大的質點對于層間位移的影響較大，在不同層間，樓層越高對層間位移的影響就越大，這部分結論與框架結構受力概念的分析一致，證明靈敏度分析的正確性。(下轉第71頁)

由圖可得，隨機變量10，11，16，17，18起到主要抵抗層間位移的作用，由圖3可知，該變量代表首層梁柱的慣性矩。

3 結論

綜上所述，對于平面框架的可靠度指標計算得出的結論與概念分析基本相符。在結構整體可靠度指標計算的過程中得出的各個隨機變量的靈敏度具有能夠直觀的反應結構構件在框架中的作用和重要性，可以作為結構分析的依據(jù)用于指導教學。使原本的抽象和艱澀的理論能夠更實質性的被反應出來。

注釋

①中華人民共和國建設部. GB 50068-2001. 建筑結構可靠度設計統(tǒng)一標準.北京: 中國建筑工業(yè)出版社，2002.3.

②梅剛. 基于非線性隨機有限元的結構可靠度問題研究.博士學位論文.北京:清華大學土木水利學院，2005.

③呂大剛.基于線性化Nataf變換的一次可靠度方法.工程力學，2007.5.24(5).

④貢金鑫，魏巍巍.工程結構可靠性設計原理. 北京:機械工業(yè)出版社，2007.