淺析高中數學教學中逆向思維的培養

摘要思維能力中，逆向思維能力是很重要的一個感念，數學教學中強調逆向思維能力的培養對學生理解、分析、解決數學問題有著重大幫助。本文通過對高中生數學教學中逆向思維能力的重要性出發，分析了數學教學中學生對感念、定義、公式、習題解析進行逆向思維處理，從而提高其學習、解題效率。

關鍵詞高中數學 教學 逆向思維

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

數學是一門高思維的學科，是鍛煉人們智力的重要工具。數學學習中，通常會遇到某些困難，并且用傳統的思維方式不能解決時，而采用的不同角度、不同方向的思維方式。即逆向思維就是指從相反的角度對問題進行思考。它是跟傳統的正向思維方式(依據條件，而推出結論)相對應的，它是由果推出因，或再由因推出其他的果的過程。通過培養學生逆向思維能力，可以加強學生思維的靈活性和深刻性，并且提升其在新的條件下處理問題的能力。

1 加強高中生對概念、定義、公式的逆向思維理解、應用

傳統數學教學中，教師們往往只注重概念、定義的順序講解和應用，從而使得學生思維方式單向定型，于是，對于那些逆向思維應用公式、概念、定義卻顯得很不習慣。所以，在高中數學教學時，不但要鍛煉學生們理解、應用概念、定義的常規的順序思維方法，而且要注意學生逆向思維的培養，讓學生將感念、定義進行反向思考、應用，從而加強其對概念、定義的掌握程度。

1.1 通過對定義的逆向思考，深入掌握定義的內涵

所有的數學定義都是互逆的，正序是定義的判斷，逆序是定義的性質，通過對定義正向和方向的雙向把握，從而深入理解和掌握定義的真正含義。如:定義域關于原點并且則是奇函數，對于這個定義，對它的逆思考:如果一個函數是奇函數，一定成立并且定義域一定關于原點對稱。通過對定義的逆向思考，讓學生找出正序和逆序中條件和結論的互換，理解正向和逆向兩個定義的邏輯關系，從而鞏固學生的記憶。

1.2 掌握公式逆運算，加強做題效率

在教學中，要加強學生對公式的互逆運算的能力，對公式的逆運算很可能會讓問題變得簡化，使得做題方式具有靈活可變性，促使學生逆向思維習慣的養成。如:sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB這個三角函數公式，可以設計sin25cos25+cos25sin35=?之類的題，讓學生通過對公式逆向思維，而加強對公式的理解和把握。

1.3 理解定理、性質、法則的互逆性，掌握數學中的規律

在高中數學教學中，不但要對感念、定義深刻掌握，而且要掌握它們的性質、定理和法則，那么對它們進行互逆思考也應很重要，如反證法、等價關系和充要條件等都是逆思維的表現。具體措施:(1)在教學中要求學生對已知命題進行逆、否命題的設計，讓他們掌握已知命題與逆、否命題以及逆否命題的聯系。(2)在教學中使用反證法進行教學。反正法是證明命題的逆否命題成立而證明要證命題成立的證明方法。這個證明法在后面的解題教學中有具體講解，這里就不多說。(3)加強充要條件等知識的應用。在高中數學教學中，“充要條件”是一個很重要的概念，是數學中等價關系判斷的一個重要依據。

2 加強逆向思維在數學解題中的應用

數學教學中，做題是訓練學生思維能力的最直接方法之一，對學生逆向思維能力的培養有著直接的作用。所以，在高中數學教學中，加強逆向思維在數學解題中的應用已顯得格外重要，學生們通過逆向思考，從而增強其解題的效率、正確率。具體方法有:

2.1 以結果逐步索取原因

數學教學中，往往存在著一些題，對它們進行正向思維的論證或求解會遇到很多困難，然而若能及時引導學生們進行逆向思維，由結果索取原因，一步一步索取那些能使結果成立的充分必要條件，這樣會使學生順利的找到解題思路。

例題:正數:k，j滿足k + j = 1;x，y∈R;要我們求證(kx + jy)2 ≤ kx2 + jy2

證明:因為:k > 0，j > 0且k + j = l;

所以:k = 1 - j > 0，j = 1- k > 0

∴ kx2 + jy2 - (kx + jy)2

= kx2 + jy2 - k2x2 - 2kjxy - j2y2

= kx2(1 - k) + jy2(1 - j) - 2kjxy

= ab(x - y2)2 ≥0

所以:(kx+jy)2 ≤ kx2 + jy2

2.2 “正難則反”策略

由于在一些數學問題中，正向解題，困難很大，或者題目已知的條件非常復雜，于是，教師應該提醒學生采取逆向思維方式，從結論的相反面考慮，認真分析，而使問題變得容易。這種方法是先根據問題，從問題的相反面出發尋找其補集從而得出結果。

比如有這么一個例題:問一元二次方程(a + 2)x2 - 8x + a = 0在a滿足什么情況下至少存在一正實數根。對于這種題，考慮到次方程的解存在兩正、兩負、一正一負、誤解的情況，從正面來解非常復雜，因此可以先從問題中“至少存在一根為正”的要求出發，找出它的反面，即“方程的兩解都是負數”，從而求得補集，相對而言，簡單了許多。

2.3 分析法教學方法

在高中數學教學中，應該強調分析法教學方法，這對學生逆向思維能力的培養作用很大。分析法教學 (下轉第101頁)(上接第99頁)方法是在假設命題成立的基礎上根據結論探討其成立的充分必要條件的一種方法。在高中數學教學中，對于一些證明題，一般是按照邏輯推理的順序依據題目設定的條件來證明。可是，在一些情況下，問題并不是那么簡單，題設中告訴我們的條件非常有限或者比較隱蔽，這時，我們就必須考慮從它的結論出發，逆向推導其成立的充分必要條件，一步一步地進行推導，從而到達題設中已知的條件。最后反過來再安邏輯順序從題設出發進行證明。這就是高中數學中應用的比較多的分析法教學方式。一般在高中數學知識中的幾何、不等式等證明中比較常見。比如有這么一個例題:實數a，m，n，b滿足ab-mn=1;a2+m2+n2 +b2 -am+nb = 1.要我們求amnb的值。分析:要求的amnb的值不外乎就得各自的值，或者將am、nb或者ab、mn的值求出再乘積。第一種方法相對比較復雜，因而必須從第二種入手。同時從題目給出的第二個條件，我們可以聯想到完全平方式，將它變成a2+m2+n2 +b2-am+nb = ab-mn從而轉變成2a2+2m2+2n2 +2b2-2am+2nb-2ab+2mn = 0，即(a-m)2+(n+b)2+(a-b)2+(m+n)2 = 0，于是可以得知a = m，n = -b，a = b，m = -n;又由于ab-mn =1;所以可求得a2 = 1/2，得出abmn = 1/4。

2.4 相互轉換

在高中數學教學中，往往還會遇見這樣的一些題，當我們千方百計為其尋找答案時，卻苦苦而得不出答案，讓我們進入了死胡同。對于這些問題，可以采用相互轉換的方法，即當得不到結果時，可以適當的考慮問題中已知的其他相關條件或者元素，間接地求解。比如這么一個例題:證明:方程(2-2k)x +(5k+3)y+6k-3 = 0所表示的曲線在k為任意值必經過一定點。對這類題，我們就可以利用變形來求解。將其變為:(5y-2x+6)k+2x+3y-3 = 0，依據題意，k的值任意，式子終成立，所以5y-2x+6 = 0且2x+3y-3 = 0從而求得x = 33/16;y = -3/8。所以此曲線必經過點:(33/16，-3/8)。

3 結語

綜上所述，在高中數學教學中充分利用各種可以培養學生逆向思維能力的材料，如上面所說的概念、定義、公式、習題等等，訓練學生的逆向思維能力。逆向思維能力對學生理解、分析、解決問題有著重要的幫助，能為學生提供一種快捷、簡便的方法。因此，高中數學教師在教學中應該加強學生逆向思維的培養，積極地有意識地激發和引導學生的逆向思維意識，形成良好的逆向思維習慣，促進學生解題能力，同時也促進他們的學習興趣的培養。