淺談行列式的計算方法

摘要行列式的計算是學習高等代數的基石，它是求解線性方程組，求逆矩陣及求矩陣特征值的基礎，但行列式的計算方法很多，綜合性較強，在行列式計算中需要我們多觀察總結，便于能熟練的計算行列式的值，文章通過幾個簡單的例子，介紹了計算行列式的幾種方法，并指明了用幾種計算方法時所需要的條件，以及在求解的過程中，需要根據行列式的特點選擇適當的方法，以便簡化計算。

關鍵詞行列式 計算方法 簡化計算

中圖分類號:O17文獻標識碼:A

在大學一年級《高等代數》課程中，我們學習了行列式。行列式是代數學中一個重要內容，它在解線性方程組、求逆矩陣 、求矩陣的特征值中占有不可替代的地位，在大學線性代數課程中，行列式在代數學的其他內容的學習中起著重要的計算工具的作用，但行列式的計算也是一個很麻煩的問題，n階行列式一共有 n!項 ，計算它就需要做 n!(n一1)個乘法，當 n較大時，n!是一個相當大的數字，直接從定義來計算行列式幾乎是不可能的事，但它有著一定的規律性和技巧性。根據我們所學的各種行列式的特點，我歸納了幾種行列式的常用的計算方法。

1 化行列式為三角形

根據定義我們可以得到，上(下)三角形行列式、對角形行列式的值都等于主對角線上元素之積。因此可以利用行列式的性質將行列式化為上(下)三角形行列式計算。

即:

化行列式為三角形是將原行列式為上(下)之后，再進行計算的一種方法。應用行列式的性質，構造出元素“0”是化三角形對角形行列式的關鍵。

具體方法如下:

以ri表示行列式的第i行，ci表示第i列，通過

① 交換第i，j兩行或列，記作rirj或cicj

② 第i行或i列乘以數k，記作ri(k)或ci(k)

③ 數k乘以第i行或i列加到第j行或j列上，記作rj+ri(k)或cj+ci(k)三步對行列式或進行變形，化為三角形行列式。

例1.1 計算下列行列式

解:

原則上，每個行列式都可以利用行列式的性質化為三角形行列式。但對于階數較高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在較多情況下，總是先和用行列式的性質將其作某種保值變形，再將其化為三角形行列式。

2 按行(列)展開降階計算行列式

按(行)列展開降階計算行列式的方法可根據1下述定理:

n階行列式D = |aij|(i，j=1，2，…，n)等于它的任何一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積的和。即:

其中Aij是D中元素aij的代數余子式，Aij = (-1)i+jMij。這是Mij是元素aij的余子式。

按行(列)展開降階可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續使用按行(列)展開，可以將n階行列式降階直至化為多個2階行列式計算。

例2.1計算行列式

解按第1列展開，因為這行已有一個0元素。

利用按行(列)展開降階計算行列式時要注意，一般情況下，并不能減少計算量，但當行列式中某一行(列)含有較多0元素時，它才能發揮它的作用。因此，在用按行(列)展開法時，先利用行列式的性質將其行(列)元素盡可能較多地化成0，再按該行(列)展開。

3 加邊法

對于某些比較復雜的行列式，為了便于計算，適當地升高一階反而會比較容易求得其值，這種方法叫做加邊法。一般情況，為保持行列式的值不變，我們增加一行和一列，并且一行一列的元素一般是由1和0組成，這樣就便于計算。

例3.1計算行列式

分析這個行列式的特點是除對角線外，各列元素分別相同。根據這一特點，可采用加邊法。

解:

上面一樣，如果一個行列式通過降階反而不易求其值，我們不妨考慮對其升高一階，這樣更容易計算。

4 遞推法

應用行列式的性質，把一個n階行列式表示成有‘相同結構’的低階行列式的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式。根據遞推關系式及某個低階初始行列式的值，就可以遞推求得n階行列式的值，這種計算行列式的方法叫做遞推法。

[注意]用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構，乳過沒有的話，就很難找出遞推關系式，從而不能使用此方法。

例4.1計算下列行列式

解 因為

又因為

利用遞推法計算行列式的結果，一般情況下可靠的，但也有特殊的情況。所以，我們需要對所得的結果進行驗證。分別從當n=1，2，…，n時進行驗證。一般情況只需驗證n=1，2以及n=n-1，n時結論成立。

5 利用析因子法計算行列式

如果行列式D中有一些元素是變量x(或某個產變數)的多項式，那么就可以將行列式D看作一個多項式f(x)，然后對行列式作一些變換，求出與f(x)的互素的一次因子，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個常熟因子c。根據多項式相等的定義。比較f(x)與g(x)的某一項的系數，求出c值，就可以求得D=cg(x)。

什么時候利用析因子法計算行列式呢?一般情況下，如果行列式中有兩行(其中含變數x)滿足:當x等于某一數時，該兩行相同，根據行列式的性質，可知D=0。那么x-a1就是一個一次因式，再找其他的互異數使得D=0，即得到與互素一次因子，那么就可以用此法。這種提取因式的方法叫做析因子法。

例5.1計算行列式

解因為x = €?時，行列式D的第1，2行對應成比例，其行列式為零;x = €?時，行列式D的第3，4行對應成比例，其行列式為零。故D有因子x-1，x+1，x-2，x+2，而D中x的最高次數為4，所以可設

D = c(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

令x = 0代入可得c = 5，故D = 5(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

6 利用數學歸納法計算行列式

利用數學歸納法計算行列式就是先利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出猜想值的嚴格證明。因此，數學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。(數學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了)一般情況下采用第二數學歸納法較多。

例6.1計算行列式

解 D1 = a+b， D2 = a2+ab+b2，D3 = a3+a2b+ab2+b3

猜測:Dn = an + an-1b + …+abn-1 + bn

證明:當n=1，2，3時，命題成立。

假如n≤1，2，3時命題成立，考察n=k時的情況

故命題對一切自然數n成立。

7 拆項法

如果一個行列式的某一行或者某一列的元素是兩個數或者多個數的和。若存在與行列式中另一行或另一列成比例的分行，則去掉該行中成比例的分行或分列;若不存在與行列式中另一列成比例的分行，則利用性質可將原行列式拆成兩個或多個行列式的和，從而化簡行列式。

例7.1利用行列式的性質證明:

分析 由于右端行列式的各列均為兩數之和，則可將它拆成兩個行列式之和，然后再去掉成比例的分列。

證明

8 提公因式法

例8.1計算

解 D的第一行有公因子a00，從第一提出公因子a00，將第一行的-a11倍加到第二行;從第二行提出公因子a10，將第一行乘以-a22，第二行乘以-a21一起加到第三行;從第三行提出公因子a20;依次下去，最后將第一行，第二行，…第n-1行分別乘以 -a(n-1)(n-1)， -a(n-1)(n-2)，…，-a一起加到第n行，從第n行提出公因子an-10得

9 變換元素法

依次下去……可得到

10 利用拉普拉斯定理

拉普拉斯定理的四種特殊情形:

例10.1 計算n階行列式

從以上各種方法，我們知道，計算行列式的各種方法之間是緊密聯系的，并且某些方法的本質是相同的，如此拆項法與變換元素法。

拆項法:若行列式的某行(列)是兩行(列)的和，則可將行列式分解為連個行列式的和。而變換元素法中

在這個方法中，它的核心是將D1相對應的D。所以，它的本質與拆項法是一致的。

在遞推法、加邊法、數學歸納法等方法中，常用到前面所介紹的三角形法，按行(列)展開法等。特別是(下轉第59頁)(上接第38頁)按行(列)展開法和三角形法是最基本的方法。計算行列式的各種方法之間是相互聯系，相輔相成的。這些方法的綜合運用給行列式的計算帶來了方便，為以后學習解線性方程組，求矩陣的秩，判斷向量的相關性以及求矩陣的特征值等打下基礎。

以上介紹的行列式的方法是計算行列式的基本方法，計算行列式的另外一些方法如目標行列式法、換元法、極限法、乘積法、導數法等，由于不常用，這里不作介紹。計算行列式的基本方法奠定了數學的理論基礎，同時也為數學在現實生活中的廣泛應用提供了理論依據。

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