例談三類問題的突破規(guī)律

在學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對某些高考高頻類數(shù)學(xué)問題不能很好地解決.其實(shí)，這些問題不管以何種形式考查，只要同學(xué)們掌握解決問題的客觀規(guī)律，就能輕松獲得分?jǐn)?shù).本文給同學(xué)們支三類問題的突破規(guī)律，并希望同學(xué)們能舉一反三，在其他各章節(jié)中也能類似的進(jìn)行有效總結(jié)并應(yīng)用.

一、等差數(shù)列類比到等比數(shù)列的規(guī)律

在高考中，等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比問題時有出現(xiàn)，這部分題對同學(xué)們具有一定的困難，其實(shí)，此類問題是有規(guī)律可循的.

例1. 若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列bn=(n∈N*)也為等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，若數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，且cn>0，則數(shù)列dn=_______________也為等比數(shù)列.

分析:自從幾年前出現(xiàn)該題后，到目前本題已是非常普遍的一道題了，同學(xué)們都能比較好地理解:算術(shù)平均數(shù)類比到幾何平均數(shù)，即dn=(n∈N*).

例2. 已知命題: “若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且am=a，an=b(m≠n，m，n∈N*)，則am+n=”，現(xiàn)已知數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)為等比數(shù)列，且bm=a，bn=b(m

分析:本題同學(xué)們自己類比時，絕大多數(shù)同學(xué)都是錯誤的.究竟結(jié)果是怎樣的呢?我們可以先從問題的解決方法上得到結(jié)果.

設(shè){bn}的公比為q，則bn=bm#8226;qn-m，故q=()，因此bm+n=bmqn=a#8226;[()]n=().觀察等差數(shù)列中am+n=與等比數(shù)列中bm+n=()的結(jié)果，我們就可以歸納出等差數(shù)列類比到等比數(shù)列的規(guī)律:

等差數(shù)列中項(xiàng)前的系數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列中項(xiàng)的指數(shù);等差數(shù)列中項(xiàng)間的加(或減)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列中項(xiàng)間的乘(或除);等差數(shù)列中的除數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列中的開放數(shù).

有了上面的規(guī)律，再做下面的這道題就簡單了.

練習(xí):數(shù)列{an}是正項(xiàng)的等差數(shù)列，若bn(n∈N*)，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列.類比上述結(jié)論，寫出正項(xiàng)等比列{cn}，若dn=_________________，則{dn}也為等比數(shù)列.

分析:根據(jù)前面得到的規(guī)律可知dn=(c1#8226;c22#8226;c33

.....cnn)(n∈N*).

二、焦點(diǎn)三角形問題的突破規(guī)律

我們把橢圓或雙曲線的兩個焦點(diǎn)F1、F2及圓錐曲線上任一點(diǎn)P構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形，以這個三角形中的某些元素作為條件的圓錐曲線問題稱為焦點(diǎn)三角形問題，該類問題在圓錐曲線的出現(xiàn)頻率相當(dāng)高，是一類常見問題，但也是同學(xué)們比較懼怕的，因?yàn)榭偸歉杏X找不到解題的入口.其實(shí)，這類焦點(diǎn)三角形問題有一個解決的“基本程式”，同學(xué)們只要掌握了這個“基本程式”，則焦點(diǎn)三角形問題就能迎刃而解.

例3. 已知橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積.

分析:如圖1，根據(jù)橢圓定義可以知道PF1+PF2=8，在△F1PF2中，運(yùn)用余弦定理得F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cos∠F1PF2=(PF1+PF2)2-3PF1PF2，即48=64-3PF1PF2，PF1PF2=，再由三角形面積的正弦定理得S=PF1PF2sin∠F1PF2=.

例3的分析過程，基本代表了解決焦點(diǎn)三角形問題的基本程式，即一般可以分以下幾步操作:

第1步，先運(yùn)用橢圓或雙曲線的定義得到PF1+PF2=2a或PF1-PF2=2a;

第2步，抓住其中的一個內(nèi)角(比較多的為∠F1PF2)運(yùn)用余弦定理得F1F22=PF12+PF22-2PF1#8226;PF2cos∠F1PF2=(PF1+PF2)2-2PF1PF2-2PF1PF2cos∠F1PF2 .

由上述2步可以求出PF1PF2或cos∠F1PF2的值，如果要求焦點(diǎn)三角形的面積或題中有焦點(diǎn)三角形的面積這個條件，則再用第3步，用三角形面積的正弦定理S△FPF=PF1PF2sin∠F1PF2.

同學(xué)們請注意，當(dāng)△F1PF2為直角三角形時，余弦定理和正弦定理都將簡化.

只要我們掌握、理解好上述解決焦點(diǎn)三角形問題的基本程式，一般地說，此類圓錐曲線問題就都能比較輕松的解決了.我們接著看下去.

例4. 雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P是雙曲線M上任一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離是___________.

分析:這是雙曲線焦點(diǎn)三角形問題，解題時也只要按上述步驟操作即可.

第1步，PF1-PF2=6;

第2步，由F1F22=PF12+PF22得F1F22=(PF12-PF2)2+2PF1PF2，即100=36+2PF1PF2，所以PF1PF2=32;

第3步，由等面積法得PF1PF2=F1F2yP，故yP=.

練習(xí):已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，其右支上有一點(diǎn)P，使∠F1PF2=，且△F1PF2的面積為2.求該雙曲線的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析:根據(jù)離心率e=2可得b2=3a2，故可設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0)，則F1(-2a，0)、F2(2a，0).

第1步，PF1-PF2=2a(因?yàn)辄c(diǎn)P在右支上，所以PF1>PF2);

第2步，由F1F22=(PF1-PF2)2+2PF1PF2-2PF1PF2cos∠F1PF2得16a2=4a2+PF1PF2，PF1PF2=12a2;

第3步，由三角形面積的正弦定理S△FPF=PF1PF2sin∠F1PF2，即2=×12a2×，解得a2=.

所以該雙曲線的方程為-=1.

又由等面積法知2=×2×yP，解得yP=，代入雙曲線方程得-=1，解得xP=，因?yàn)辄c(diǎn)P在右支上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，±).

三、數(shù)列中n項(xiàng)和結(jié)構(gòu)的問題突破規(guī)律

如果要同學(xué)們計算a1+a2+…+an的值，或告訴你a1+a2+…+an為某個已知值，同學(xué)們都能想到數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，從而想到解題的方法，但有時題目不是以這樣明確的“數(shù)列和”形式出現(xiàn)，需要同學(xué)們有一定的“偵察能力”來識別“廬山真面目”.

例5. 在等比數(shù)列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0，1)，且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3與a5的等比中項(xiàng)為2.

(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)bn=log2an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)S1++…+最大時，求n的值.

分析:第(I)題同學(xué)們都能做出來an=25-n，這里不展開，我們主要來看第(II)題.第(II)題中同學(xué)們也能求得bn=log225-n=5-n，從而求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn==，但到此后，同學(xué)們就很難做下去了，主要是因?yàn)榭床欢甋1++…+的意思，又沒辦法一項(xiàng)一項(xiàng)的求出來后求和.實(shí)際上，S1++…+可以看成是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和!于是，我們可以從它的通項(xiàng)=入手求解，即有S1++…+==-(n2-17n)，所以可得當(dāng)n=8或n=9時S1++…+取最大值.

如果說例5中S1++…+還有比較“強(qiáng)”的數(shù)列和的痕跡的話，則下面的例6同學(xué)們感覺如何呢?建議同學(xué)們自己先做一下問題后再繼續(xù)看下去.

例6. 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公差d>0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng).

(I)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)數(shù)列{cn}對任意正整數(shù)n，均有+++…+=an+1，求c1+c2+…+c2010的值.

分析:第(I)題同學(xué)們也都能做出來，an=2n-1，bn=3n-1，這里也不展開了.第(II)題怎么求呢?無疑可以通過b1，b2，…，b2010，a2，a3，…，a2011逐步求得c1，c2，…，c2010的值，然后再相加求出結(jié)果，但這肯定是不現(xiàn)實(shí)的!其實(shí)與例5一樣，+++…+可以看成是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和!有了這個發(fā)現(xiàn)，我們就可以利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求出，從而得到cn的表達(dá)式，進(jìn)一步就可以求出c1+c2+…+c2010的值，即下面的解法:

因?yàn)?++…+=an+1…①，+++…++=an+2…②，②-①得=an+2-an+1=2，則cn+1=2bn+1…③，故cn=2bn=2#8226;3n-1…④.如果到此同學(xué)們就認(rèn)為求得了數(shù)列{cn}的通項(xiàng)就錯了!因?yàn)棰凼街衏n是從第二項(xiàng)開始的，所以④式中n≥2，即沒有包括c1，因此，c1是需要單獨(dú)求的.在①式中令n=1，則=a2，故c1=3，于是，數(shù)列{cn}的通項(xiàng)是cn=3， n=12#8226;3n-1， n≥2則c1+c2+…+c2010=3+=32010.

通過例5和例6的分析，我們可以得到啟示:在數(shù)列問題中，如果有n項(xiàng)和的結(jié)構(gòu)，則解題時一定要有數(shù)列和的意識，即可以看成是某一個數(shù)列的前n項(xiàng)和，這樣的話，問題就能變成同學(xué)們熟悉的，從而可以達(dá)到有效解題!

練習(xí):若數(shù)列a1+3a2+32a3+…+3n-1an=(n∈N*)，則an=_________.

分析:本題除了與例7、例8一樣找不到解題入口外，同學(xué)們還會被結(jié)構(gòu)所迷惑:等比乘等差結(jié)構(gòu)，用錯位相減法求和，但因?yàn)椴恢獢?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以又不得不放棄求解.其實(shí)，a1+3a2+32a3+…+3n-1an可以看成是數(shù)列{3n-1an}的前n項(xiàng)和，因此，應(yīng)該用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解.因?yàn)閍1+3a2+32a3+…+3n-1an=…①，a1+3a2+32a3+…+3n-1an+3nan+1=…②，所以②-①得3nan+1=，則an+1=，故an=(n≥2).又在①式中令n=1，得a1=，所以an=，n=1. n≥2

責(zé)任編校徐國堅(jiān)