函數實戰中的幾個理解盲點

傳統的學習觀認為，提高成績的方式有兩種，一是提高能力，二是減少失誤.知識不代表能力，更不代表智慧，思維能改變一切，學數學就是要學會思維.函數學習過程中，經常會遇到這樣的情況，一道并不復雜的題目，不同的同學會做出五花八門的解答.有時命題者想你這樣解答，可你考試時偏要那樣解答，出錯就不足為奇了.我們要做的是，讓自己深刻理解概念，靈活運用知識，即使出錯也要知道錯在哪里，為什么會錯，這樣今后就會減少錯誤，甚至避免錯誤，在不斷糾錯中提高.下面以函數簡單性質為例，通過對例題辨析式剖析，談談幾個學習過程中容易混淆的說法.

盲點1:定義域還是值域?

函數的定義將函數叫做從定義域到值域的映射，定義域即自變量x的取值范圍.即映射f:A→B中的原象集，而值域是函數值的取值范圍即映射f:A→B中的象集，實際應用中容易將兩者混淆，怎樣解決這一問題呢?可以將其容易混淆的部分對應起來選例題.

例1.①若函數f(x)=ln(x2+tx+2)的定義域為R，求實數t的取值范圍.

②若函數f(x)=ln(x2+tx+2)的值域為R，求實數t的取值范圍.

解析: ①函數f(x)=ln(x2+tx+2)的定義域為R即無論x取何實數， x2+tx+2>0恒成立.因此△=t2-8<0解得-2

②函數f(x)=ln(x2+tx+2)的值域為R即真數x2+tx+2能取遍一切正數，因此△=t2-8≥0解得t≤-2或t≥2. ∴ t的取值范圍為(-∞，-2]∪[2，+∞).第②小題告訴我們，單調函數必為從定義域到值域的一一映射，外函數y=lnm是單調遞增的，欲使其值域為R，m必須能取遍一切正數，即內函數m=x2+tx+2中函數值可以取遍一切正數.

盲點2:充分還是充要?

函數、方程、不等式是同一系列的，函數的零點，方程的根都有明顯的幾何意義體現在函數的圖像上，學習應將三者有機結合起來，并注重其內在聯系.然而實際應用過程中涉及到求參數取值范圍的問題時，的確有不少同學會把充分條件與充要條件混淆.

例2.①關于x的方程x2-ax+6=0的兩根均大于0，求實數a的取值范圍.

②關于x的方程x2-ax+6=0的兩根均大于2，求實數a的取值范圍.

解析: 對于①解答如下:設x1，x2為原方程的兩根，依題意△=a2-24≥0，x1+x2=a>0，x1x2=6>0，解得a≥2，即實數a的取值范圍是[2，+∞).

這個解答是沒有任何問題的，因為“兩根均大于0”是“兩根之和大于0且兩根之積大于0”的充要條件.

對于②有如下錯解:設x1，x2為原方程的兩根，依題意△=a2-24≥0，x1+x2=a>4，x1x2=6>4，解得:a≥2，即實數a的取值范圍是[2，+∞).

剖析: 這個結果顯然與正確答案不符，很多同學都會這么想，為什么會出樣的錯誤?因為以前做兩根均為正數的類似題目都是用判別式以及韋達定理完成的，類比推理套用.如果能從思維的根源去分析，這里涉及到充分條件與充要條件的問題，需要我們做進一步探究. 因為“兩根均大于2”是“兩根之和大于4且兩根之積大于4”的充分非必要條件.

正確解法: 設x-2=t，則原方程可化為:t2-(a-4)t-2t+10=0，原方程兩根均大于2即這個關于t的方程兩根均大于0.

設t1，t2為其兩根，由判別式及韋達定理△=(-a+4)2-4(-2a+10)≥0，t1+t2=a-4>0，t1t2=-2a+10>0，解得2≤a<5，即實數a的取值范圍是[2，5).當然也可以結合圖形用根的分布完成.

盲點3: f(x)在區間D上單調遞增還是f(x)的單調遞增區間為D?

函數的單調遞增區間與函數在某個區間上單調遞增是兩回事，也是同學很容易出錯的地方，這是截然不同的概念.函數的單調遞增區間是指函數單調遞增的范圍最大的區間，換句話說超過這個區間就不單調了.而函數在某個區間上單調遞增，則該函數在其任何子區間上都單調遞增.

例3. ①函數f(x)=x2+tx+2在區間[1，+∞)上單調遞增，求實數t的取值范圍;

②若函數f(x)=x2+tx+2的單調增區間為[1，+∞)，求實數t的取值范圍.

解析: ①∵f(x)=x2+tx+2在[-，+∞)上單調遞增，欲使f(x)在[1，+∞)上單調遞增，-≤1即t≥-2，換句話說就是:[1，+∞)[-，+∞)，∴實數t的取值范圍為[-2，+∞).

②依題意f(x)=x2+tx+2的單調增區間為[-，+∞)，∴-=1解得t=-2.這里函數f(x)=x2+tx+2在[1，+∞)上單調遞增，意味著區間[1，+∞)，是原函數的單調遞增區間的子集.而函數f(x)=x2+tx+2的單調增區間為[1，+∞)意味著超過區間[1，+∞)原函數就不是單調遞增函數了.

盲點4:函數f(x)=0還是函數f(x)既是奇函數又是偶函數?

嚴格地說，判斷函數的定義域與驗式并不矛盾，問題出在我們很多同學應用時沒有先考慮定義域.函數的奇偶性的定義:函數f(x)若在其定義域內任意自變量x都有:1°. f(-x)=-f(x)則稱函數f(x)為奇函數;2°. f(-x)=f(x)則稱函數f(x)為偶函數.這其中隱含了函數f(x)具有奇偶性的必要條件“函數的定義域關于原點必須是對稱的區域”，否則f(-x)，f(x)都不具備同時有定義，又談何是否相等呢?

例4.判斷下列函數的奇偶性:

①f(x)=+;②f(x)=+.

解析: 這兩個小題化簡后均可得到f(x)=0，但定義域卻不同，易知①的定義域為{-2，2}，是關于原點對稱的區域.而②的定義域為{4}，關于原點不對稱.因此函數①f(x)=+既是奇函數，又是偶函數.函數②f(x)=+是非奇非偶函數.判斷函數的奇偶性時，一定要先確定其定義域，若定義域關于原點不對稱，直接說這個函數是非奇非偶函數.若定義域關于原點是對稱的區域，再檢驗式子f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)是否成立再作出判斷.

盲點5:函數f(x)的值恒正還是函數f(x)的值域為(0，+∞)?

例5.①已知函數f(x)=ln(x2+tx+2)的函數值恒正，求t的取值范圍;

②函數f(x)=ln(x2+tx+2)的值域為[0，+∞)，求實數t的取值范圍.

解析: ①由函數f(x)=ln(x2+tx+2)的函數值恒為正數可知x2+tx+2≥1恒成立，即x2+tx+1>0恒成立，∴△=t2-4≤0解得-2≤t≤2，∴ t的取值范圍是[-2，2].

②∵ f(x)=ln(x2+tx+2)函數的值域為[0，+∞)， ∴函數g(x)=x2+tx+2的值域為[1，+∞)， ∵g(x)=x2+tx+2=(x+)2-+2，∴-+2=1即t=±2， ∴ t的取值范圍為{-2，2}.

盲點6:函數f(x)滿足f(x)=0還是函數f(x)是奇函數?

不少同學認為函數f(x)是奇函數則必有f(0)=0，但事實上，這兩者并不等價，其一是因為函數的定義域不一定有元素0.其二是f(0)=0并不能推出f(x)是奇函數，前者是后者的既非充分也非必要的條件.

例6.①奇函數f(x)定義在R上且對一切x∈R都有f(x+2)=-，求f(2008);

②f(x)函數定義在R上且滿足f(2-x)=f(2+x)、 f(7-x)=f(7+x)、且在閉區間[0，7]上僅有f(1)=f(3)=0，判斷f(x)的奇偶性.

解析: ①f(x)定義在R上且為奇函數，∴ f(0)=0，又∵對一切f(x+2)=-，∴ f(x+4)=-=f(x)，因此函數f(x)是周期函數，最小正周期為4，∴ f(2008)=f(0)=0. ②∵f(2-x)=f(2+x)，∴ f(2-3)=f(2+5)，即 f(-1)=f(5)，∵在[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0，∴ f(5)≠0，∴ f(-1)≠f(1)， ∴ f(x)是非奇非偶函數.

盲點7:函數f(x)的圖像關于y軸對稱與f(x)與g(x)的圖像關于y軸對稱?

例7. ①已知f(x)=x2+tx+2的圖像關于y軸對稱，求t的值;

②已知函數f(x)=x2+tx+2，且函數g(x)的圖像與函數f(x)的圖像關于y軸對稱，求函數g(x)的解析式.

解析: ①∵ f(x)的圖像關于y軸對稱，∴ f(-x)=f(x)即x2-tx+2=x2+tx+2恒成立，解得t=0.

②∵f(x)=x2+tx+2，且f(x)與g(x)的圖像關于y軸對稱，∴ g(x)=x2-tx+2，即為所求解析式.

函數系列知識是高中數學最重要的知識系列，它可以聯系整個高中數學，在歷年高考中也是分值最高的知識系列.學好函數從某種意義上講就意味著學好了數學，準確理解每個概念的意思是學好函數的關鍵.

責任編校徐國堅