圓在圓錐曲線高考命題中的特點

在近幾年的高考中，有關圓錐曲線與圓結合考查的問題比較多，這應該是同學們值得特別重視的考情!通過對這些高考題的命題分析，我們不難看出該類高考題具有如下兩個命題特點.

1. 通過直線與圓錐曲線相交，來考查某個點與圓的位置關系，難度適中

例1 (2010年四川高考)已知定點A(-1，0)，F(2，0)，定直線l∶x=，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.

例2 (2010年浙江高考)已知m>1，直線l∶x-my-=0，橢圓C∶+y2=1，F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點. (Ⅰ)當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程;(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A，B兩點，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H. 若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍.

分析 易得例1(Ⅰ)為x2-=1(y≠0，例2(Ⅰ)為x-y-1=0;例1(Ⅱ)與例2(Ⅱ)就是點與圓的位置關系的問題.同學們知道，點與圓的位置關系有三種:點在圓內、點在圓上、點在圓外，相應的點與圓心的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑，這是解題的一個切入口.以例2(Ⅱ)為例，我們可以這樣尋找解題的思路:先設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立直線l與橢圓C方程，消去x(注:也可以按常規消去y，但計算量要大)得2y2+my+-1=0，由判別式△>0知m2<8，又由韋達定理得y1+y2=-，y1y2=-，由三角形重心公式得G(，)，H(，)，因此以線段GH為直徑的圓心M(，)，因為原點O在圓內，所以|OM|

點與圓的位置關系的另一個切入點是與向量結合，可以是以向量背景考查，也可以是用向量方法解題，例如下面的例3就是以向量背景來命題.

例3 (2010年湖北高考)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1，0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.(Ⅰ)求曲線C的方程;(Ⅱ)是否存在正數m，對于過點M(m，0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有#8226;<0?若存在，求出m的取值范圍;若不存在，請說明理由.

分析 同學們知道，當點在圓上時，應有垂直關系，例如例1(Ⅱ)只要判斷FM⊥FN是否成立(即直線FM與FN的斜率之積是否為-1)，當然，從向量的角度考慮，FM⊥FN等價于#8226;=0，因此，點是否在圓上就是#8226;=0是否成立，那么，若點在圓內就有#8226;<0，點在圓外就有#8226;>0，所以，例3(Ⅱ)中條件#8226;<0，實際上就是說點F在以線段AB為直徑的圓內，從而可以用前面例2(Ⅱ)的解決方法得到3-2

2. 通過設計圓與圓錐曲線的綜合問題，來考查同學們分析問題、解決問題的能力，具有比較大的難度.

考查這種類型的考題最具代表性的省份是廣東，2007年高考和2009年高考都考查了這種題型(其中2008年是拋物線與橢圓型)，解題時需要同學們有較強的分析問題、解決問題的能力.

例4 已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P(m，4)到其準線的距離等于5.(1)求拋物線G的方程;(2)如圖2，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓紅x2+(y-1)2交于A、C、D、B四點，試證明|AC|#8226;|BD|為定值;(3)過A、B分別作拋物線G的切線l1，l2，且l1，l2交于點M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值.

分析 本題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，分析2、分析解決問題能力，背景新穎，綜合要求高，第(1)較簡單，易求得拋物線G的方程為x2=4y;第(2)問重在分析，需要同學們能夠進行|AC|=|AF|-|CF|，|BD|=|BF|-|DF|的轉化，聯立直線AB方y=kx+1與拋物線G方程得x2-4kx-4=0，若設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AC|=y1，|BD|=y2，x1+x2=4k，x1#8226;x2=-4，所以y1y2==1，故|AC|#8226;|BD|為定值1;第(3)問一般可考慮兩條思路，思路1:△ACM與△BDM面積之和可以看成是△ABM與△CDM面積差，由直線AM于拋物線相切于A點，由導數方法可求得直線AM方程為y=x1x-x21，同理得直線BM方程為y=x2x-x22，由兩者方程得M(2k，-1)，故點M到直線AB距離d== 2， |AB|===4(1+k2)，于是△ACM與△BDM面積之和S=(|AB|-2)#8226;d=×(2+4k2)×2=2(1+2k2)，顯然當k=0時，即AB方程為y=1時，△ACM與△BDM面積之和最小值為2. 思路2:注意到(2)中|AC|#8226;|BD|為定值，可利用基本不等式解決，△ACM與△BDM面積之和S=(|AC|+|BD|)#8226;d，因為|AC|+|BD|≥2=2，當且僅當k=0時等號成立.而當k=0時，d也取到最小值2，所以，當k=0時，即AB方程為y=1時，△ACM與△BDM面積之和最小值為2.

練習已知直線l與拋物線x2=4y相切于點P(2，1)，且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為(2，0).(1)若動點M滿足#8226;+||=0，求動點M的軌跡Q;(2)F1，F2是軌跡Q的左，右焦點，過F1作直線m(不與軸x重合)，m與軌跡Q相交于C，D，并與圓x2+y2=3相交于E，F.當#8226;=1時，求△F2CD的面積S.

分析 用導數求得直線l方程y=x-1，從而得A(1，0)，由向量運算法則就可以求得第(1)動點M的軌跡Q為橢圓+y2=1;對于第(2)問，先由直線m方程y=k(x+1)與圓方程得(1+k2)x2+2k2x+k2-3=0，設E(x1，y1)，F(x2，y2)，由韋達定理及#8226;=1可得k2=3;同理，由直線m方程與橢圓方程得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0，即7x2+12x+4=0，所以由相交弦長公式得|CD|=，由點到直線的距離公式處F2到CD的距離為，故△F2CD的面積S=××=.

責任編校徐國堅