一類函數(shù)最值問題的多法解析

典型問題: 已知函數(shù)f (x)=x+(-2≤x≤2)，求函數(shù)f (x)的最值.

解法一:(求導法)利用復合函數(shù)求導f ′(x)=1+(-2x)，令f ′(x)=0，則可解得x=±2，列表有:

可知:fmin(x)=-2，fmax(x)=4.

解法二:(三角換元法)可令x=2sin(-≤≤)，則=2cos，所以原式可變?yōu)?y=2cos+2sin=4sin(+).∵-≤≤，∴-≤+≤，∴當+=-即=-時，ymin=-2;當+=即=時，ymax=4.

解法三:(解析法)令=y，則x2+y2=8，其中2≥y≥0.再令b=x+y，即原函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為要求b的最值.x2+y2=8(2≥y≥0)表示半圓，b=x+y表示直線，即求直線與半圓有交點時，直線在y軸上截距b的最值.

由數(shù)形結(jié)合可知，當直線過點(-2，0)時，取最小值有bmin=-2.當直線與圓相切時，取b的最大值，此時=2，取最大值有bmax=4 .

解法四:(向量法)由解法三換元可以得到b=x+y，而b=x+y可以看作是向量=(1，1)與=(x，y)的乘積，x、y方程x2+y2=8(2≥y≥0)，∴b=#8226;=#8226;2cos=4cos(為與的夾角).

由圖可知:

當與重合時，夾角為0，cos最大，此時B=(2，2)，bmax=4cos0=4.

當與夾角最大時，即B=(-2，0)，此時bmin=(1，1)#8226;(-2，0)=-2.

方法總結(jié):求函數(shù)最值問題一直是同學們在函數(shù)章節(jié)感到較困難的內(nèi)容，這是因為求函數(shù)最值沒有固定的模式可以套用，但對于不同類型函數(shù)仍然有方法可循，在高中階段一般有求導法、數(shù)形結(jié)合法、一般函數(shù)法、換元化歸法，此外還可以用基本不等式、柯西不等式、三角不等式來求函數(shù)的最值，每種方法都有適用的范圍和條件.

(1)求導法是求函數(shù)最值的較為一般的方法，最適合在閉區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù).對于開區(qū)間要考慮區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性及圖像的變化趨勢，來確定函數(shù)的取值范圍. 求導法要注意函數(shù)的定義域和解題的規(guī)范，這里還要用到復合函數(shù)求導.

(2)換元法是求函數(shù)最值的一種常見方法，體現(xiàn)數(shù)學的化歸思想.它是將未知函數(shù)化成已知的一般函數(shù)，如一、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、“對勾”函數(shù)等，利用這些已知的函數(shù)來解決問題(一般函數(shù)法)，例如一、二次函數(shù)、“對勾”函數(shù)利用函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合來求最值，而三角函數(shù)一般通過“化一”來求解決最值問題，這里的解析法和向量法實際上也用到換元法，特別要注意自變量的范圍.

當然，在解決問題時還需要將多種方法靈活綜合運用，如此題中的向量法用到了換元法，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量求值，最后用數(shù)形結(jié)合確定最值.下面用向量法對此類函數(shù)的最值作一般形式的拓展，供大家參考.

拓展:對于函數(shù)f(x)=mx+n(a-r≤x≤a+r，r>0)，求函數(shù)f(x)的最值.

解析:令s=x-a，t=，則原式可變?yōu)閦=ms+nt+ma，且有s2+t2=r2(t≥0)表示半圓.

設(shè)=(m，n)，=(s，t)，則z=#8226;+ma=#8226;rcos+ma(為與的夾角)

(1)當m≥0，n≥0時，與方向相同時，取最大值;=(-r，0)時，取得最小值:zmax=#8226;r+ma，zmin=(m，n)(-r，0)+ma=-mr+ma.

(2)當m≤0，n≥0，如上圖

與方向相同時，取最大值;=(r，0)時，取得最小值.

zmax=#8226;r+ma，zmin=(m，n)(r，0)=mr+ma.

(3)當m≤0，n≤0時，=(-r，0)時，取得最大值;與方向相反時，取最小值.

zmax=(m，n)(-r，0)+ma=-mr+ma，zmin=-#8226;r+ma.

(4)當m≥0，n≤0時，=(r，0)時，取得最大值;與方向相反時，取最小值.

zmax=(m，n)(r，0)+ma= mr+ma，zmin=-#8226; r+ma.

責任編校 徐國堅