從高考題的錯解談“混淆”帶來的危機

2010年的高考數學理科第17題是一道難得的好題，它將統計中的頻率分布直方圖、超幾何分布、次獨立重復試驗的概率等巧妙地結合在一起，讓考生大開眼界.本人在鉆研解法時，發現了兩種解法竟有兩個不同結果，由此展開類比，產生了離散型隨機變量的概率求解時，存在著由“混淆”帶來的危機，請看:

一、混淆“超幾何分布”與“獨立重復試驗”

例1 (2010年廣東高考數學理科第17題)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上40件產品作為樣本算出他們的重量(單位:克)重量的分組區間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖下所示.

(1)根據頻率分布直方圖，求重量超過505克的產品數量.

(2)在上述抽取的40件產品中任取2件，設Y為重量超過505克的產品數量，求Y的分布列.(3)略

解析 第一問很簡單，易得結論為12.對于(2)我們有下述兩種求解方法:

法一:由于從40件產品中任取1件，其重量超過505克的概率為P==.

由題意可得Y的可取值為:0，1，2，

那么，P(Y=0)=C02()0(1-)2=，P(Y=1)=C12()(1-)=，P(Y=2)=C22()2(1-)0=，于是可寫出分布列.

法二:在上述抽取的40件產品中任取2件，其重量超過505克(即12件中)的個數為Y，顯然，其概率為超幾何分布，其分布列為P(Y=i)(i=0，1，2).

比較一下即知兩解法的結論不一致，誰是誰非?

評析 法一誤認為是獨立重復試驗的概率，其實是錯誤的.因為不能將“取2件超過505克的產品”看成是“取1件超過505克的產品”操作兩次.顯然，是混淆“超幾何分布”與“獨立重復試驗”.留心一下，你會發現，在離散型隨機變量的概率中，還真的存在不少容易混淆的情況.請看:

二、混淆“同時”與“一先一后”

例2 某班舉行元旦文藝聯歡，在聯歡中除了有固定節目外，還有抽簽確定的即興表演，規定每六人一組，每組要抽出三人進行表演;具體抽取辦法是:在暗箱中有三黃三白六個乒乓球，六人逐個上臺抽取(不放回)，抽到黃球者表演節目，若甲、乙在一組;求:(1)甲、乙都抽到黃球的概率;(2)在甲抽到黃球的前提下，乙也抽到黃球的概率.

解析 “甲、乙都被抽到黃球”也就是甲、乙都要表演節目;“在甲被抽到黃球的前提下，乙抽到黃球”還是甲、乙都要表演節目.因此，兩種說法是一回事，兩則概率相等，都是=.

評析 “甲、乙都抽到黃球”的概率確實是.假設A1，A2，A3表示三個黃球，B1，B2，B3表示三個白球，“在甲被抽到黃球的前提下，乙抽到黃球”，此時，僅看乙抽球的結果;假定甲將A1抽走，對于乙抽球的所有基本事件為:A2，A3，B1，B2，B3顯然，出現A2，A3時，乙抽到黃球，因此概率為.從構成的基本事件上可以看出它們的區別相當大，是完全不同的兩類問題.

三、混淆“互斥”與“獨立”

例3 甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?

解析 設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)=C230.82×0.2+C230.72×0.3 = 0.825.

評析 本題錯誤的原因是把相互獨立同時發生的事件當成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2次理解為事件“甲恰好投中兩次”及事件“乙恰好投中兩次”的并.其實，是事件“甲恰好投中兩次”及事件“乙恰好投中兩次”的交.正確解法如下:

設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，則兩人都恰好投中兩次為事件A#8226;B，于是

P(A#8226;B)=P(A)×P(B)=C230.82×0.2 +C230.72×0.3≈0.169.

四、混淆“P(B/A)”與“P(A#8226;B)”

例4 袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率.

解析 記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C，所以P(C) =P(B/A)= 6/9 = 2/3.

評析 本題錯誤在于P(A#8226;B)與P(B/A)的含義沒有弄清，其實，P(A#8226;B)表示在樣本空間S中，A與B同時發生的概率;而P(B/A)表示在縮減的樣本空間SA中，作為條件的A已經發生的條件下事件B發生的概率.正確解法如下:

P(C) = P(A#8226;B) = P(A)#8226;P(B/A) = 4/10 × 6/9 = 4/15.

經一事，長一智.通過對這道高考題解法的深究，發現了“一大串”問題，也許它使你以后現出此類錯誤的可能大大地降低了.

變式練習 設在15個同類型的零件中有兩個次品，每次任取一個，共取3次，并且每次取出后不再放回.若以X表示取出次品的個數，試求X的期望EX和方差DX.

誤解 依題意，可知X～B(3，)，從而有EX=np=3×=;DX=np(1-p)=3××=.

評析 產生以上錯誤解法的主要原因是沒有真正掌握二項分布與超幾何分布的概念，而將它們混為一談.二項分布的背景是“n次獨立重復試驗”，而超幾何分布的背景為“在含有M件次品的N件產品中任取n件”，他們的主要在“重復”與“不重復”的區別.如將題目中“并且每次取出后不再放回”改為“并且每次取出后放回”，則以上解法就對了.實際上，本題中X服從的是超幾何分布.正確解法如下:

由P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==. 從而X的期望EX和方差DX分別為:EX=0×+1×+2×]×+(1-)2 ×+(2-)2×=.

責任編校徐國堅