定積分的考查方向

定積分是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，為傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)注入了新鮮血液.自2008年開始，許多省份的高考題都有考查，它已成為高考的新熱點(diǎn).本文結(jié)合實(shí)例談?wù)劯呖济}可能出現(xiàn)的的考查方向，供同學(xué)們參考.

題目:(2010年陜西卷/理)從如圖1所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則M點(diǎn)取自陰影部分的概率為 .

解析:符合幾何概型，只需求出陰影部分的面積，轉(zhuǎn)化為陰影部分的面積與長方形區(qū)域的面積之比.長方形區(qū)域的面積為3，陰影部分部分的面積為

3x2dx=x310=1，所以點(diǎn)M取自陰影部分部分的概率為.由于定積分的概念和幾何意義都與幾何圖形的面積問題有關(guān)，所以定積分的重要應(yīng)用之一就是計(jì)算一些圖形的面積，尤其是不規(guī)則圖形的面積.因此，幾何概型可以與定積分聯(lián)系起來，這是定積分的最重要的一個(gè)熱點(diǎn)題型，應(yīng)引起重視.

對比參考:在以往的高考題中，定積分主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查以下三個(gè)方面.

(1)定積分的計(jì)算，如(2010年湖南卷/理)dx等于()

A. -2ln2 B. 2ln2C. -ln2D. ln2

簡解:dx=lnx 42=ln4-ln2=ln2，故選D.本題為教材選修2-2例題改編而來.原題為:計(jì)算定積分dx.

評(píng)注:求函數(shù) f(x)在某個(gè)區(qū)間上的定積分，關(guān)鍵是求出函數(shù) f(x)的一個(gè)原函數(shù)，要正確運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算的關(guān)系.運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù).

(2)求封閉圖形面積，如(2010年山東卷/理)由曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積為( )

A.B. C.D.

簡解:(x2-x3)dx=(x3-x4) 21=×1-×1=，故選A.

評(píng)注:求由曲線圍成的平面圖形的面積，一般是應(yīng)先畫出它的草圖，借助圖形的直觀性確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限，進(jìn)而由定積分求出其面積.

① 如果用微積分基本定理求解比較麻煩時(shí)，常常聯(lián)想到定積分的幾何意義，從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.

② 關(guān)于定積分的幾何意義，在[a，b]上，①若f(x)≥0，則定積分f(x)dx表示由曲線y=f(x)，x軸及直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形的面積;②若f(x)≤0，則定積分f(x)dx表示上述曲邊梯形的面積的相反數(shù);③若函數(shù)f(x)在[a，b]上有正有負(fù)(如圖2)，定積分f(x)dx的幾何意義是介于曲線y=f(x)，x軸以及直線x=a，x=b之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積取負(fù)號(hào)，即是正、負(fù)面積相消后的結(jié)果.

③ 據(jù)定積分的幾何意義，有些定積分直接可以從幾何中的面積公式得到，例如:

dx=1#8226;dx=高為1、底為b-a的矩形面積=b-a;xdx=高為a，底為a的直角三角形面積=a2;dx=半徑為R的上半圓的面積=πR2;sinxdx=0(正負(fù)面積相消后的代數(shù)面積為0).

(3)定積分的物理應(yīng)用，如:一物體在力F(x)=3x+4的作用下，沿著與F相同的方向，從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=4處，力F所做的功為.

簡解:本題是人教A版選修2-2中1.7.2定積分在物理中的應(yīng)用例4的變式題.W=F(x)dx=(3x+4)dx

=(x2+4x) 40=40.

評(píng)注:定積分的物理應(yīng)用常見以下兩種題型.如果物體沿與變力F(x)相同方向移動(dòng)，那么從位置x=a到x=b力F所做的功是W=F(x)dx;如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路程路程函數(shù)s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t) ≥0)在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s=v(t) dt.

【思考與啟示】微積分在高考試題中的滲透，拓寬了高考命題思路，增強(qiáng)了試題的綜合程度，為發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力提供了有效途徑.隨著命題視角與觀念的更新，除了單純考查定積分的常見應(yīng)用——計(jì)算、求面積和物理應(yīng)用，凸顯知識(shí)交匯，考查綜合能力，實(shí)現(xiàn)新而不難，新而不凡，是命題的一個(gè)重要思路.下面例舉定積分與其它知識(shí)的習(xí)題.(請同學(xué)們根據(jù)前面的分析，自己先試著思考和做一下本題，然后再接著看簡解)

一、定積分與概率的交匯

練習(xí)1:利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0，1)上產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)a和b，則方程x=-2a-有實(shí)根的概率為()

A. B.

C.D.

簡解:x=-2a-有實(shí)根，即x2+2ax+b=0有實(shí)根，所以△≥0，即b≤a2.如圖4，

S陰影=a2da=a310=，則概率為.

二、定積分與數(shù)列的交匯

練習(xí)2:等比數(shù)列an中，a3=6，前三項(xiàng)和S3=4xdx，則公比q的值為()

A. 1B. - C. 1或- D.-1或-

簡解:∵S3=4xdx=18，∴a1+a2=(1+q)=12，即2q2-q-1=0，解得q=1或q=-.

三、定積分與二項(xiàng)式定理的交匯

練習(xí)3:在(3#8226;-2#8226;)11的展開式中任取一項(xiàng)，設(shè)所取項(xiàng)為有理項(xiàng)的概率為p，則xpdx=()

A. 1 B.C. D.

簡解:因?yàn)檎归_后展開式共有12項(xiàng)，其通項(xiàng)公式為Tr+1=Cr11#8226;(3)11-r#8226;(-2)r=Cr11#8226;311-r#8226;(-2)r#8226;x，r=0，1，…，11，其中只有第4項(xiàng)和第10項(xiàng)是有理項(xiàng)，故所求概率為P==，所以xpdx=xdx=.

四、定積分與導(dǎo)數(shù)的交匯

練習(xí)4:在曲線y=x2(x≥0)上的某點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為.試求:切點(diǎn)A的坐標(biāo)以及切線方程.

簡解:如圖由題可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x02)，則切線方程為y=2x0x-x02，切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，則由題可知有S=x2dx+(x2-2x0x+x02)dx==.

∴ x0=1，所以切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程分別為A(1，1)，y=2x-1.

五、定積分與最值的交匯

練習(xí)5:如圖5所示，已知曲線C1∶y=x2與曲線C2∶y=-x2+2ax(a>1)交于點(diǎn)O、A，直線x=t(0

(1)寫出曲邊四邊形ABOD(陰影部分)的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式S=f(t);

(2)求函數(shù)S=f(t)在區(qū)間(0，1]上的最大值.

簡解:(1)由y=x2，y=-x2+2ax，得點(diǎn)O(0，0)，A(a，a2)，又由已知得B(t，-t2+2at)，D(t，t2)，故S=(-x2+2ax)dx-#8226;t#8226;t2+(-t2+2at-t2)#8226;(a-t)=t3-at2+a2t.

∴S=f(t)=t3-at2+a2t(0

(2)f ′(t)=t2-2at+a2，令f ′(t)=0，即t2-2at+a2=0，解得t=(2-)a或t=(2+)a(由t≤1，舍去).

若(2-)a≥1，即a≥時(shí)，∵(0

當(dāng)00，∴f(t)在區(qū)間(0，(2-)a]上單調(diào)遞增，

當(dāng)(2-)a

綜上所述[ f (t)]max=a2-a+，a≥(-1)a3.1

總之，作為新增內(nèi)容的定積分，我們既不能深挖洞，也不能蜻蜓點(diǎn)水、一帶而過;要以新課標(biāo)為依據(jù)，按照高考考試說明的要求，努力把握高考的脈搏，做到高效備考.

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)