例談高考熱點問題——函數

摘要函數是高考數學中的熱點問題，本文主要是從函數的圖象和性質、函數與方程及不等式的綜合問題和函數的實際應用三個方面，與近兩年的高考真題結合在一起，闡述了高考中函數的重要地位，以及重要的函數思想方法。

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

函數是高考數學的重點內容之一，函數的觀點和思想方法是高中數學的一條重要的主線，填空題、解答題每年都有函數的身影，而且常考常新。以基本函數為背景的綜合題和應用題是近幾年的高考命題的新趨勢。函數的圖象也是高考命題的熱點之一，數形結合思想是高考重點考查的思想方法。

函數部分考查的重點為:函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性和函數的圖象;指數函數、對數函數的概念、圖象和性質;應用函數知識解決一些實際問題。

1 函數的性質與圖象

函數的性質是高考考查的重點內容。根據函數單調性和奇偶性的定義，能判斷函數的奇偶性，以及函數在某一區間的單調性，從數形結合的角度認識函數的單調性和奇偶性，掌握求函數最大值和最小值的常用方法。函數的圖象是函數性質的直觀載體，能夠利用函數的圖象歸納函數的性質。對于抽象函數一類，也要盡量畫出函數的大致圖象，利用數形結合討論函數的性質。

例1.(2010山東理數)設f(x)為定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=2x+2x+b(b為常數)，則f(-1)= __________。

解析:因為f(x)為定義在R上的奇函數，所以有f(0)=20+2€?+b=0，解得b = -1，所以當x≥0時， f(x)=2x+2x-1，即f(-1)=-f(1)=-(21+2€?-1)=-3。

點評:本題考查函數的基本性質，熟練函數的基礎知識是解答好本題的關鍵。

例2.(2010全國卷1理數)直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個交點，則a的取值范圍是________。

解析:如圖，在同一直角坐標系內畫出直線y=1與曲線y=x2-|x|+a，觀圖可知，a的取值必須滿足

解得1

點評:本小題主要考查函數的圖像與性質、不等式的解法，著重考查了數形結合的數學思想。

例3.(2009山東卷理)已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間[0，2]上是增函數，若方程f(x)=m(m>0)在區間[-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=___

解析:因為定義在R上的奇函數，滿足(x-4)=-f(x)，所以(x-4)=f(-x)，所以， 由f(x)為奇函數，所以函數圖象關于直線x=2對稱且f(0)=0，由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，所以函數是以8為周期的周期函數，又因為f(x)在區間[0，2]上是增函數，所以f(x)在區間[-2，0]上也是增函數.如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區間[-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1

點評:本題綜合考查了函數的奇偶性，單調性，對稱性，周期性，以及由函數圖象解答方程問題，運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題。

2 函數與方程、不等式的綜合問題

函數與方程、不等式是密切相關的幾個部分，通過建立函數模型來解決有關他們的綜合問題是高考的考查方向之一，解決該類問題要善于運用轉化的思想方法，將問題進行不斷轉化，構建模型來解決問題.

例4.(2010天津理數)設函數f(x)=x2-1，對任意x∈[，+∞)，f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，則實數m的取值范圍是______.

解析:本題主要考查函數恒成立問題的基本解法，屬于難題。

依據題意得-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈[，+∞)上恒定成立，即-4m2≤--+1在x∈[，+∞)上恒成立。

當x=時函數y=--+1取得最小值-，所以-4m2≤-，即(3m2+1)(4m2-3)≥0，解得m≥，或m≤-。

點評:本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通常可以利用分離參數轉化為求函數最值的方法求解。

3 函數的實際應用

函數的實際運用主要是指運用函數的知識、思想和方法綜合解決問題.函數描述了自然界中量的依存關系，是對問題本身的數量本質特征和制約關系的一種刻畫，用聯系和變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立函數關系.掌握有關函數知識是運用函數思想的前提，考生應具備用初等數學思想方法研究函數的能力，運用函數思想解(下轉第153頁)(上接第151頁)決有關數學問題的意識是運用函數思想的關鍵。

例5.(2010江蘇卷)將邊長為1正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，

記S=，則S的最小值是________。

解析:考查函數中的建模應用，求解函數的最值。首先是設元，建立函數關系

設剪成的小正三角形的邊長為x，則:

然后求函數的最值，方法一:利用導數求函數最小值

當x∈(0，]時，S'(x)<0，遞減;當x∈(，1]時，S'(x)>0，遞增;

故當x=時，S的最小值是。

方法二:利用函數的方法求最小值。

令3-x=t，t∈(2，3]，∈(，)

則:

故當=時，S的最小值是。

點評:分式函數的求最值問題是高考數學中經常考查的內容之一，應在平時教學中加以重視。