古代數學泰斗劉徽及其偉大成就

【摘要】劉徽是中國古代最杰出的數學家之一，也是具有世界影響的數學家。他在算術、代數、幾何方面有著輝煌的成就。對中國古代數學體系的形成和發展影響很大，是中國古代數學的泰斗。

【關鍵詞】劉徽；算術；代數；幾何；成就

數學是中國古代科學中一門重要的學科。我國歷史上曾經是個數學比較發達的國家，有很多卓越的數學家，及重要的數學著作，對世界科學的發展產生過一定影響。公元三世紀是我國數學理論發展的重要時期。在這一時期，中國古代杰出的數學家——劉徽做了許多創造性的數學理論工作，對我國古代數學體系的形成和發展影響很大。在世界數學史上，也占有重要的地位。他所撰的《九章算術注》與《海島算經》作為我國寶貴的數學遺產而流傳至今。并且他在算術、代數、幾何方面有著輝煌的成就。

一、在算術上的成就

1.十進小數

他是世界上最早提出十進小數概念的人。“少廣”章開方術注：“……求其微數，微數無名者，以其為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細……”就是說的十進小數。即：把忽（當時最小的長度單位）以下的第一位數作以10為分母（“其一退以十為母”）的分數，第二位數作以100為分母（“其再退以百為母”）的分數，……。這種無名的“微數”實際上就是現在小數的小數點后的部分。劉徽的十進小數記法在世界數學史上是一項偉大的成就，外國到十四世紀才出現同樣的思想，比我國晚了一千多年。

2.齊同術

“齊同術”是劉徽從《九章算術》中關于分數的加減法與方程組解法中概括出來的一種方法。劉徽認為，“凡（分）母互乘（分）子謂之齊，群母相乘謂之同”。分數要進行加減運算，必須有同樣的分母，做到“同”（通分），還要使每一個分數的分子與分母同步擴大，做到“齊”，即“母同子齊”，分數才能加減。例如，對于分數a/b和c/d，“凡（分）母互乘（分）子謂之齊”就是把，稱之為齊，“群母相乘謂之同”就是把稱之為同。劉徽又把他的齊同術進一步加以解釋：“同”是一群分數的公分母，“齊”是由“同”而來，是為了使分數之值不變．雖然可以直接由定義求“齊”、“同”，但當分子分母都很大時，計算就不方便了．因而，劉徽提出用諸分數分母的最小公倍數去求：“齊”、“同”的方法，即“母除率，率乘子為齊”，“率”就是(諸分母的)最小公倍數。

劉徽不僅完成了齊同術理論，而且還推廣到用齊同術去求幾個分數的平均值，解釋衰分術，解“均輸”、“盈不足”和“方程”等問題。還將齊同術用在聯立方程組的解法中，提出了互乘消元法，使消元過程得以簡化。齊同術在外國沒有提出過，因此可以說是我國古代算術的一個創造。

二、在代數上的成就

1.對于正負數的認識

在我國，很早就認識了負數，負數概念的建立是中國古代數學最杰出的創造之一。前蘇聯的數學史學家尤什凱維奇在《中國學者在數學領域中的成就》中說：“在《九章算術》第八章中，破天荒第一次在科學史上看到了正量與負量的區分……”。

劉徽在《九章算術注》中第一次深刻闡述了自己的觀點．給出了正負的定義:“今兩算得失相反，要令正負以名之。”“算”當時是指算籌，如果計算時用算籌代表“得”，“失”兩種量，那就要用正負數來定義。這個看法是很正確的，對后來的數學有深遠的影響。

2.改進解線性方程組的“直除法”

《九章算術》中的“方程術”是最早解“方程”的方法，主要是對方程實施“遍乘”和“直除”而達到消元的目的，比較麻煩。劉徽在方程章的注釋中，對直除法加以改進，創立了互乘相消法。雖然，這種方法與現代加減消元法一致，不過那時用的是籌算。劉徽認為，這種方法可以推廣到多元，“以小推大，雖四、五行不異也。”他還進一步指出，“相消”時要看兩方程首項系數的同異，同則相減，異則相加。劉徽的工作，大大減化了線性方程組解法。

此外，劉徽在深入研究《九章算術》方程章的基礎上，提出了比較系統的方程理論。劉徽所謂“程”是程式或關系式的意思，相當于現在的方程，而“方程”則相當于現在的方程組。他說：“二物者再程，三物者三程，皆如物數程之．并列為行，故謂之方程。”這就是說：“有兩個所求之物，需列兩個程；有三個所求之物，需列三個程。程的個數必須與所求物的個數一致。諸程并列，恰成一方形，所以叫方程。”這里的“物”，實質上是未知數，只是當時尚未抽象出未知數的明確概念。定義中的“皆如物數程之”是十分重要的，它與劉徽提出的另一原則“行之左右無所同存”，共同構成了方程組有唯一解的條件。若譯成現代數學語言，這兩條即：方程個數必須與未知數個數一致，任意兩個方程的系數不能相同或成比例。劉徽還認識到，當方程組中方程的個數少于所求物個數時，方程組的解不唯一；如果是齊次方程組，則方程組的解可以成比例地擴大或縮小，即“舉率以言之”。對于方程組的性質，劉徽總結出如下諸條：“令每行為率”，即方程各項成比例地擴大或縮小，不改變方程組的解；“每一行中，雖復赤黑異算，無傷”，即方程各項同時變號，不改變方程組的解；“舉率以相減，不害余數之課也，即兩方程對應項相減，不改變方程組的解。很明顯，劉徽對于線性方程組的初等變換，已經基本掌握了。不過，他沒有考慮交換兩個方程的位置，因為不進行這種變換亦可順利求出方程組的解，而且調換算籌的位置是不方便的。

三、在幾何上的成就

1.圓面積、圓周率與割圓術

我國古代相傳有“周三經一”的說法，劉徽發現這僅是圓內接正六邊形的周長與圓徑（圓的直徑）之比，而非圓周長與圓徑之比，因此以3為p值來計算圓面積和圓柱、圓錐的體積等是很不精確的。因此他提出了割圓術，他首先從圓內接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細，正多邊形的面積與圓面積之差越小，于是會“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。”也就是說當邊數成倍增加地分割下去，則被分割的圓弧和所對應正多邊形的邊就愈短，這就是“割之彌細”，于是圓內接正多邊形的面積與圓面積的差愈小，這就是“所失彌少”。按照這種方法，如果分割次數無限增加時，則正多邊形勢必與圓重合，這樣正多邊形面積就與圓面積相等，而“無所失矣”，上述這段注文，充分體現了劉徽的極限思想。這一思想也提供了計算圓周率的科學方法。

劉徽割圓術的出現，在世界數學史上雖晚于希臘的阿基米德，但在我國數學史上卻是十分重要的。首先劉徽的不等式只需要圓內接正多邊形、而不需要圓外切正多邊形，因而能夠達到事半功倍的效果．其次我們祖先用位值制記數及計算，乘方、開方等運算都能迅速地完成，遠比希臘人的計算方便得多。

此外，《九章算術》中有計算圓面積的重要公式：“半周半徑相乘得積步”這是我國古代勞動人民通過大量生產實踐總結出來的正確成果。但是這個公式究竟是如何形成的，由于經文過于簡略，其他材料又十分缺乏，因而不可稽考。

2.幾何定理的證明

劉徽采用出入相補原理，證明了《九章算術》中許多幾何公式和定理，其中包括平面幾何和立體幾何定理。在研究立體幾何時，發現了一條重要原理：對兩個等高的立體，若用平行于底面的平面截得的面積之比為一常數，則這兩立體的體積之比也等于該常數。這一原理可稱為“劉徽原理”。在《九章算術注》中，劉徽多次運用了這一原理，例如，圓臺體積：外切正四梭臺體積=圓面積：外切正方形面積=。書中對圓錐、圓臺等旋轉體體積公式的推導，都是以劉徽原理為依據的。

3.對球體積的研究

我國古代把球稱為“立圓”，又叫做“丸”。劉徽首先發現《九章算術》中：“球與其外切等邊圓柱體積之比是”是錯誤的，試圖利用劉徽原理求出正確的球體積公式。他首先作球的外切立方體，然后用兩個直徑等于球徑的圓柱從立方體內切貫穿，于是，球便被包在兩圓柱相交的公共部分，而且與圓柱相切。此兩圓柱的共同部分的形狀，劉徽稱之為“牟合方蓋”。根據劉徽原理，球體積的計算公式就歸結為如何計算牟合方蓋的體積。這是劉徽對球體積計算的一個重大貢獻。盡管劉徽并沒有找到計算牟合方蓋的方法，但是他為后人指明了方向。

劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生，他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。吳文俊先生說：“從對數學貢獻的角度來衡量，劉徽應該與歐幾里德、阿基米德等相提并論。”

參考文獻：

[1]吳文俊.中國數學史大系:第三卷[M].北京:北京師范大學出版社，1998.

[2]李文林.數學史概論[M].北京:高等教育出版社，2003.

[3]郭書春.中國古代數學[M].北京:商務印書館，1997，164.

[4]李繼閔.東方數學典籍〈九章算術〉及其劉徽注研究[M].西安：陜西人民教育出版社，1990，263-270.