運用聯想探究圓錐曲線的切線方程

〔關鍵詞〕 中學數學;圓錐曲線;聯想;切線方程

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)04(B)—0057—01

聯想是一種心理活動，也是思維的過程，同時也是探求知識的一種不可缺少的方法.人教版高中數學第二冊(上)第75頁例題2，給出了一個結論:經過圓x2+y2=r2上一點M(x0，y0)的切線方程為x0x+y0y=r2;當M(x0，y0)在圓外時，過M點引切線有且只有兩條，過兩切點的弦所在的直線方程為x0x+y0y=r2.那么，在圓錐曲線中，上述結論又將如何?我們不妨進行聯想.

聯想一:(1)過橢圓■+■=1(a>b>0)上一點

M(x0，y0)的切線方程為■+■=1;(2)當M(x0，y0)在橢圓■+■=1的外部時，過M引橢圓的切線有且只有兩條，過兩切點的弦所在的直線方程為■+■=1.

證明:(1)對■+■=1的兩邊關于x求導，得■+■=0，則y'│■=-■.由點斜式得切線方程為y-y0=-■(x-x0)，即■+■=■+■=1.

(2)設過橢圓■+■=1(a>b>0)外一點M(x0，y0)引兩條切線，切點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).由(1)可知過A，B兩點的切線方程分別為:■+■=1，■+■=1.又因M(x0，y0)是兩條切線的交點，所以有■+■=1，■+■=1.觀察以上兩個等式，發現A(x1，y1)，B(x2，y2)滿足直線■+■=1，所以過兩切點A、B兩點的直線方程為■+■=1.

評注:因M(x0，y0)在橢圓■+■=1(a>b>0)上位置(在橢圓上或橢圓外)的不同，同一方程■+■=1表示的幾何意義亦不同.

聯想二:(1)過雙曲線■-■=1(a>0，b>0)上一點M(x0，y0)的切線方程為■-■=1;(2)當M(x0，y0)在曲線■-■=1的外部時，過M引切線有且只有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為■-■=1.(證明同上)

聯想三:(1)過圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A，C不全為零)上一點M(x0，y0)切線方程為Ax0x+Cy0y+D■+E■+F=0;(2)當M(x0，y0)在圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A，C不全為零)的外部時，過M引切線有且只有兩條，過兩切點的弦所在的直線方程為Ax0x+Cy0y+D■+E■+F=0.

證明:(1)對兩邊關于x求導，得2Ax+2Cyy'+D+Ey'+0得y'│■=-■，由點斜式得切線方程為y-y0=-■(x-x0)，即2Cy0y-2Cy02+Ey-Ey0+2Ax0x+Dx-2Ax02-Dx0=0…………………………①

因為2Ax02+Cy02+Dx0+Ey0+F=0 ……………………②

由①-②×2可求得切線方程為Ax0x+Cy0y+D■+E■+F=0.

(2)證明略.

過曲線上的點M(x0，y0)的切線方程為:把原方程中的x2用x0x代換，y2用y0y代換.若原方程中含有x或y的一次項，把x用■代換，y用■代換，得到的方程即為過該點的切線方程.當點M(x0，y0)在曲線外部時，過M引切線有且只有兩條，過兩切點的弦所在的直線方程為Ax0x+Cy0y+D■+E■+F=0.

通過以上聯想可得出以下幾個推論:

推論1:(1)過拋物線y2=2px(p>0)上一點M(x0，y0)的切線方程為y0y=p(x+x0);(2)過拋物線y2=2px(p>0)的外部一點M(x0，y0)引兩條切線，過兩切點的弦所在的直線方程為y0y=p(x+x0).

推論2:(1)過拋物線y2=-2px(p>0)上一點M(x0，y0)的切線方程為y0y=-p(x+x0);(2)過拋物線y2=-2px(p>0)的外部一點M(x0，y0)引兩條切線，過兩切點的弦所在的直線方程為y0y=-p(x+x0).

推論3:(1)過拋物線x2=2py(p>0)上一點M(x0，y0)切線方程為x0x=-p(y+y0);(2)過拋物線x2=-2py(p>0)的外部一點M(x0，y0)引兩條切線，過兩切點的弦所在的直線方程為x0x=-p(y+y0).

推論4:(1)過拋物線x2=-2py(p>0)上一點M(x0，y0)的切線方程為x0x=-p(y+y0);(2)過拋物線x2=-2py(p>0)的外部一點M(x0，y0)引兩條切線，過兩切點的弦所在的直線方程為x0x=-p(y+y0).