一道指數(shù)函數(shù)題的引申與推廣

原題:(高中數(shù)學(xué)必修一55頁)對任意的x，x∈R，若函數(shù)f(x)=2，比較與f()的大小關(guān)系。

分析:比較大小，常用的方法是比較法，有作差比較和作商比較兩種，本題最好用作差比較法。

解:∵f(x)=2

∴=，f()=2。

∴-f()=-2

===≥0

∴≥f()

引申:若x≠x，則圖形如下:其函數(shù)曲線任意兩點A與B之間的部分位于弦AB的下方。

其幾何意義為:與f()的大小關(guān)系為梯形的中位線與中點的函數(shù)值所表示的線段之間的大小關(guān)系，顯然，>f()。

當(dāng)x=x時，=f()，∴≥f()。

從上題可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=2的圖像是下凹的。

推廣:在討論函數(shù)圖像時，我們經(jīng)常會遇到具有以下兩種特性的函數(shù):凹函數(shù)、凸函數(shù)。

凹凸函數(shù)定義(根據(jù)同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編《高等數(shù)學(xué)》第201頁):

設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(a，b)上任意兩點x、x，恒有:

(1)f()<，則稱f為(a，b)上的凹函數(shù);

(2)f()>，則稱f為(a，b)上的凸函數(shù)。

凹凸函數(shù)的幾何特征:

幾何特征1(形狀特征)

如圖，設(shè)A，A是凹函數(shù)y=f(x)曲線上兩點，它們對應(yīng)的橫坐標(biāo)x

凹函數(shù)的形狀特征是:其函數(shù)曲線任意兩點A與A之間的部分位于弦AA的下方;

凸函數(shù)的形狀特征是:其函數(shù)曲線任意兩點A與A之間的部分位于弦AA的上方。

簡記為:形狀凹下凸上。

幾何特征2(切線斜率特征)

設(shè)A，A是函數(shù)y=f(x)曲線上兩點，函數(shù)曲線A與A之間任一點A處切線的斜率:

凹函數(shù)的切線斜率特征是:切線的斜率y=f(x)隨x增大而增大;

凸函數(shù)的切線斜率特征是:切線的斜率y=f(x)隨x增大而減小;

簡記為:斜率凹增凸減。

幾何特征3(增量特征)

設(shè)函數(shù)g(x)為凹函數(shù)，函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，其函數(shù)圖像如圖8、9所示，由圖10、11可知，當(dāng)自變量x逐次增加一個單位增量Δx時，函數(shù)g(x)的相應(yīng)增量Δy，Δy，Δy…越來越大;函數(shù)f(x)的相應(yīng)增量Δy，Δy，Δy…越來越小。

凹函數(shù)的增量特征是:Δy越來越大;

凸函數(shù)的增量特征是:Δy越來越小;

簡記為:增量凹大凸小。

弄清了上述凹凸函數(shù)及其圖像的本質(zhì)區(qū)別和變化的規(guī)律，就可準(zhǔn)確迅速、簡捷明了地解決有關(guān)凹凸的曲線問題。

例1:(2005湖北卷)在y=2，y=logx，y=x，y=cos2x這四個函數(shù)中，當(dāng)0恒成立的函數(shù)的個數(shù)是(?搖?搖)。

A.0?搖?搖B.1?搖?搖C.2?搖?搖D.3

分析:運用數(shù)形結(jié)合思想，考察各函數(shù)的圖像。注意到對任意x，x∈I，且x時，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖像是“上凸”的，由此否定y=2，y=x，y=cos2x，應(yīng)選B。

評注:本小題主要考查函數(shù)的凹凸性，試題給出了四個基本初等函數(shù)，要求考生根據(jù)函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)——凹凸性，對試題中的不等關(guān)系式:f()>，既可以利用函數(shù)的圖像直觀的認(rèn)識，又可以通過代數(shù)式的不等關(guān)系來理解。考查的重點是結(jié)合函數(shù)的圖像準(zhǔn)確理解凹凸的含義。

例2:(2005北京卷理13)對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x，x(x≠x)，有如下結(jié)論:

①f(x+x)=f(x)#8226;f(x);②f(x#8226;x)=f(x)+f(x);

③>0;④f()<。

當(dāng)f(x)=lgx時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是。

答案:(②③)。

評注:本題把對數(shù)的運算(①②)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(③)、對數(shù)函數(shù)圖像的凹凸性(④)等知識有機地合成為一道多項填空題，若對函數(shù)的性質(zhì)有較清楚的理解便不會有困難，而靠死記硬背的考生就會有問題。

例3:(1998全國高考題)

向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖像，如圖12所示，那么水瓶的形狀是(圖13中的)( )。

解:因為容器中總的水量(即注水量)V關(guān)于h的函數(shù)圖像是凸的，即每當(dāng)h增加一個單位增量Δh，V的相應(yīng)增量ΔV越來越小。這說明容器的上升的液面越來越小，故選B。

例4:(2006重慶理)如圖所示，單位圓中弧AB的長為x，f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)y=f(x)的圖像是( )。

解:易得弓形AxB的面積的2倍為f(x)=x-sinx。由于y=x是直線，每當(dāng)x增加一個單位增量Δx，y的對應(yīng)增量Δy不變;而y=sinx是正弦曲線，在[0，π]上是凸的，在[π，2π]上是凹的，故每當(dāng)x增加一個單位增量Δy時，y對應(yīng)的增量i(i=1，2，3…)在[0，π]上越來越小，在[π，2π]上是越來越大，故當(dāng)x增加一個單位增量Δx時，對應(yīng)的f(x)的變化，在x∈[0，π]上其增量越來越大，在x∈[π，2π]上，其增量則越來越小，故f(x)關(guān)于x的函數(shù)圖像，開始時在[0，π]上是凹的，后來在[π，2π]上是凸的，故選D。

練習(xí):(2008全國一2)汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖像可能是(A)。

通過以上的例子可以看出，在復(fù)習(xí)時，有必要留意以高等數(shù)學(xué)知識為背景的創(chuàng)新題與信息題，也有必要讓學(xué)生了解簡單高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)結(jié)合的知識，這樣既可以達(dá)到簡化運算、避免易錯點的目的，又可以突破難點，找到規(guī)律性的解題途徑，更為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。同時使學(xué)生認(rèn)識到知識學(xué)得越多、越深入，解決起問題來越有規(guī)律性、越簡單，從而使他們渴望學(xué)習(xí)，渴望積累，更進(jìn)一步增加分析問題、解決問題的能力。

參考文獻(xiàn):

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué).