怎樣的三角形可以被分割為兩個等腰三角形

問題:已知△ABC，當△ABC滿足什么條件時，可以用過頂點的一條直線將它分割成兩個等腰三角形?如何分?

一、探索結論

可以按三角形三個角的關系，分類討論如下:

(一)當△ABC是等邊三角形時，顯然不能分為兩個等腰三角形。

(二)當△ABC是頂角小于底角的等腰三角形時，不妨設∠A<∠B=∠C，如圖(1)。

此時，只能從∠B或∠C中分出一個角，使之等于∠A，不妨設∠A=∠ABD，這樣△ABD是等腰三角形。要使△BCD也是等腰三角形，只可能是∠C=∠BDC或∠CBD=∠BDC。

1.若∠C=∠BDC，設∠A=x°，則∠C=∠BDC=2x°，∠DBC=x°，由三角形的內角和，得x+2x+2x=180，x=36，∴△ABC的三個內角分別是∠A=36°，∠B=∠C=72°。

2.若∠CBD=∠BDC，設∠A=x°，則∠CBD=∠BDC=2x°，∠C=3x°，由三角形的內角和，得x+3x+3x=180，x=≈25.71，∴△ABC的三個內角分別是∠A=(25)°≈25.71°，∠B=∠C=(77)°≈77.14°。

(三)當△ABC是頂角大于底角的等腰三角形時，不妨設∠A>∠B=∠C，如圖(2)。

此時，只能從∠A中分出一個角，使之等于∠B或∠C，不妨設∠B=∠BAD，這樣，△ABD是等腰三角形。要使△ADC也是等腰三角形，只可能∠C=∠DAC，或∠CDA=∠DAC。

1.若∠C=∠DAC，設∠B=x°，則∠C=∠BAD=∠DAC=x°，∠ADC=2x°，由三角形的內角和，得x+x+2x=180，x=45，∴△ABC的三個內角分別是∠A=90°，∠B=∠C=45°。

2.若∠CDA=∠DAC，設∠B=x°，則∠C=∠BAD=x°，∠CDA=∠DAC=2x°，由三角形的內角和，得x+2x+2x=180，x=36，∴△ABC的三個內角分別是∠A=108°，∠B=∠C=36°。

(四)當△ABC是不等邊三角形時，不妨設∠A>∠B>∠C。

此時，只能從∠B中分出一個角，使之等于∠C，或從∠A中分出一個角，使之等于∠B或∠C。

1.從∠B中分出∠DBC=∠C，這樣，△BCD是等腰三角形，如圖(3)。要使△ABD也是等腰三角形，只可能∠A=∠ADB，或∠ABD=∠ADB。

①若∠A=∠ADB，設∠C=x°，則∠A=∠ADB=2x°，即只需最大角是最小角的2倍。

②若∠ABD=∠ADB，設∠C=x°，則∠ABD=∠ADB=2x°，∠ABC=3x°，即只需次大角是最小角的3倍。

2.從∠A中分出∠BAD=∠B，這樣，△ABD是等腰三角形，如圖(4)。要使△ADC也是等腰三角形，只可能∠C=∠CAD，或∠CAD=∠CDA。

①若∠C=∠CAD，設∠C=x°，∠B=y°，則∠BAD=x°，∠CAD=y°，由三角形的內角和，得x+x+y+y=180，x+y=90，即只需△ABC是直角三角形。

②若∠CAD=∠CDA，設∠B=x°，則∠BAD=∠B=x°，∠CAD=∠CDA=2x°，∠BAC=3x°，即只需最大角是次大角的3倍。

3.從∠A中分出∠DAC=∠C，這樣，△ADC是等腰三角形，如圖(5)。要使△ABD也是等腰三角形，有三種可能:

①若∠B=∠ADB，設∠C=x°，則∠B=∠ADB=2x°，即只需次大角是最小角的2倍。

②若∠B=∠BAD，設∠C=x°，∠B=y°，則∠DAC=x°，∠BAD=y°，由三角形的內角和，得x+x+y+y=180，x+y=90，即只需△ABC是直角三角形。

③若∠BAD=∠BDA，設∠C=x°，則∠DAC=x°，∠BAD=∠BDA=2x°，∠BAC=3x°，即只需最大角是最小角的3倍。

綜上所述，能分割成兩個等腰三角形的情形如下表:

二、應用舉例

【問題1】(2008年浙江寧波中考題)

(1)如圖1，△ABC中，∠C=90°，請用直尺和圓規作一條直線，把△ABC分割成兩個等腰三角形(不寫作法，但須保留作圖痕跡)。

(2)已知內角度數的兩個三角形如圖2、圖3所示。請你判斷，能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形?若能，請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數。

解:(1)只需作斜邊AB上的中線即可，圖略。

(2)在圖2中，∠B=72°，∠B=3∠A，所以從∠B中分出一個24°角(與∠A相等)，并且以這個角和∠A為兩個內角構成一個等腰三角形即可。分割成的兩個等腰三角形的頂角分別是132°和84°。

在圖3中，∠A=24°，不能分割成兩個等腰三角形。

【問題2】(2007年山西太原中考題)

數學課上，同學們探究下面命題的正確性:頂角為的等腰三角形具有一種特性，即經過它某一頂點的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形。為此，請你解答問題(1)。

(1)已知:如圖(1)，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直線BD平分∠ABC交AC于點D。

求證:△ABD與△DBC都是等腰三角形。

(2)在證明了該命題后，小穎發現:下列兩個等腰三角形如圖(2)、(3)也具有這種特性。請你在圖(2)、圖(3)中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標出所畫等腰三角形兩個底角的度數。

(3)接著，小穎又發現:直角三角形和一些非等腰三角形也具有這樣的特性，如:直角三角形斜邊上的中線可把它分成兩個小等腰三角形。請你畫出兩個具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標出三角形各內角的度數。(說明:要求畫出的兩個三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形。)

(2)如下圖:

0<α<45°，其中α≠30°，α≠36°;

0<α<45°，其中α≠30°，α≠36°，α≠。

【問題3】(2007年江蘇無錫中考題)

(1)已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形。(請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來。只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數。)

(2)已知△ABC中，∠C是其最小的內角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請探求∠ABC與∠C之間的關系。

解:(1)如圖，有2種不同的分割方法:①作BC邊上的中線;②在∠B中分出一個22.5°的角。

(2)設∠ABC=y，∠C=x，過點B的直線交邊AC于D。在△DBC中，

①若∠C是頂角，如圖1，則∠ADB>90°，

∠CBD=∠CDB=(180°-x)=90°-x，∠A=180°-x-y。

此時只能有∠A=∠ABD，即180°-x-y=y-(90°-x)，

∴3x+4y=540°，即∠ABC=135-∠C。

②若∠C是底角，則有兩種情況。

第一種情況:如圖2，當DB=DC時，則∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x。

由AB=AD，得2x=y-x，此時有y=3x，即∠ABC=3∠C。

由AB=BD，得180°-x-y=2x，此時3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C。

由AB=BD，得180°-x-y=y-x，此時y=90°，即∠ABC=90°，∠C為小于45°的任意銳角。第二種情況，如圖3，當BD=BC時，∠BDC=x，∠ADB=180°-x>90°，此時只能有AD=BD，從而∠A=∠ABD=∠C<∠C，這與題設∠C是最小角矛盾。

∴當∠C是底角時，BD=BC不成立。

【問題4】(2002年廣東中考題)

在△ABC中，AB=AC，若過其中一個頂點的一條直線，將△ABC分成兩個等腰三角形，求△ABC各內角的度數(只要求出三個不同的解)。

解:(1)如圖(1)，若△ABC中底角是頂角的2倍，設∠A=x°，∠B=∠C=2x°，則x+2x+2x=180，x=36°，三內角分別為36°，72°，72°。

(2)如圖(2)，若△ABC中頂角是底角的2倍，設∠B=∠C=x°，∠A=2x°則x+x+2x=180，x=45°，三內角分別為90°，45°，45°。

(3)如圖(3)，若△ABC中頂角是底角的3倍，設∠B=∠C=x°，∠A=3x°，則x+x+3x=180，x=36°，三內角分別為108°，36°，36°。

*(4)如圖(4)，若△ABC中底角是頂角的3倍，設∠A=x°，∠B=∠C=3x°，則x+3x+3x=180，x=(25)°≈25.71°，三內角分別為(25)°，(77)°，(77)°。